1.1 集合的概念

对于①：某校2025年入学的全体高一年级新生,对象确定,能构成集合,

故①正确；

对于②： $ \sqrt{2} $ 的所有近似值,根据近似值的标准不一样得到的近似值不一样,因此对象不确定,故不能构成集合,故②错误；

对于③：某个班级中学习成绩较好是相对而言的,故这些学生对象不确定,不能构成集合,故③错误；

对于④：不等式 $ 3x-10 < 0 $ 的正整数解有1,2,3,能构成集合,故④正确.

故选 $ \mathrm{B} $ .

根据集合中元素的互异性得 $ a\ne b $ , $ b\ne c $ , $ a\ne c $ ，故这个三角形一定不是等腰三角形.故选 $ \mathrm{A} $ .

由题意, $ \sqrt{{x}^{2}} $ , $ (\sqrt{{x}^{2}})^{2} $ , $ -\sqrt[3]{{x}^{3}} $ 可分别化为 $ |x| $ , $ {x}^{2} $ , $ -x $ ,所以由实数 $ x $ , $ -x $ , $ |x| $ , $ \sqrt{{x}^{2}} $ , $ (\sqrt{{x}^{2}})^{2} $ , $ -\sqrt[3]{{x}^{3}} $ 所组成的集合,最多可含有3个元素,分别为 $ x $ , $ -x $ , $ {x}^{2} $ ,此时 $ x\ne ±1 $ 且 $ x\ne 0 $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

$ \sqrt{2}\in \mathbf{R} $ ， $ 0\notin {\mathbf{N}}_{+} $ ， $ \sqrt{4}=2\in \mathbf{N} $ ， $ \mathrm{\pi }\notin \mathrm{Q} $ ，因此①③④⑤正确; $ \sqrt{3}\notin \mathbf{Z} $ ，

$ |-2|=2\in \mathbf{Z} $ ，因此②⑥不正确.所以正确的个数为4.故选 $ \mathrm{A} $ .

由 $ m\in ｛1 {\rm ,3,4} $ , $ {m}^{2}｝ $ ，得 $ m=1 $ 或 $ m=3 $ 或 $ m=4 $ 或 $ m={m}^{2} $ .当 $ m=1 $ 时， $ {m}^{2}=1 $ ，不满足集合中元素的互异性，故不符合题意；当 $ m=3 $ 时， $ {m}^{2}=9 $ ，符合题意；当 $ m=4 $ 时， $ {m}^{2}=16 $ ，符合题意；当 $ m={m}^{2} $ 时，得 $ m=0(m=1 $ 舍去 $ ) $ ，此时 $ {m}^{2}=0 $ ，符合题意.

所以 $ m $ 所有可能取值的集合为 $ ｛0,3,4｝ $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

$ x $ , $ y $ , $ z $ 同为正数时,代数式的值为4,所以 $ 4\in M $ ；当 $ x $ , $ y $ , $ z $ 中只有一个负数或只有两个负数时,代数式的值为0，所以 $ 0\in M $ ；当 $ x $ , $ y $ , $ z $ 同为负数时,代数式的值为 $ -4 $ ，所以 $ -4\in M $ .故选 $ \mathrm{C}\mathrm{D} $ .

根据题意可得,集合 $ P $ 中的元素是27的正整数倍，集合 $ \mathbf{Q} $ 中的元素是111的正整数倍.易知 $ a={69}^{2}-{42}^{2}=(69-42)×(69+42)=27×111 $ ，可得 $ a $ 既是27的倍数，又是111的倍数，因此 $ a\in P $ 且 $ a\in \mathbf{Q} $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

由 $ -1\leqslant 2x+3\leqslant 8 $ ，解得 $ -2\leqslant x\leqslant \dfrac{5}{2} $ ，所以 $ ｛x|-1\leqslant 2x+3\leqslant 8 $ , $ x\in \boldsymbol{N} $ }= $ ｛x|-2\leqslant x\leqslant \dfrac{5}{2},x\in \boldsymbol{N}｝=｛0,1,2｝ $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

由 $ \begin{cases}x+y=0,\\ {x}^{2}-y=2,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}x=1,\\ y=-1\end{cases} $ 或 $ \begin{cases}x=-2,\\ y=2,\end{cases} $ 所以方程组 $ \begin{cases}x+y=0,\\ {x}^{2}-y=2\end{cases} $ 的解集是 $ ｛(1,-1) $ , $ (-2,2)｝ $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

集合 $ A=｛1,2,3｝ $ , $ B=｛a-b|a\in A $ , $ b\in A｝ $ ,则当 $ a=b $ 时, $ a-b=0 $ ；

当 $ a > b $ 时, $ a-b=1 $ 或 $ a-b=2 $ ;

当 $ a < b $ 时, $ a-b=-1 $ 或 $ a-b=-2 $ .

所以 $ B=｛-2 $ , $ -1 {\rm ,0,1} $ , $ 2｝ $ ,集合 $ B $ 中有5个元素.故选 $ \mathrm{A} $ .

对于①， $ \begin{Bmatrix}\left(x,y\right)\mid \begin{cases}x-y=1,\\ x+y=1\end{cases}\end{Bmatrix}=｛\left(1,0\right)｝=M $ .

对于②， $ ｛(x,y)|y=\sqrt{x-1}+\sqrt{1-x} $ }中 $ \begin{cases}x-1\geqslant 0,\\ 1-x\geqslant 0,\end{cases} $ 解得 $ x=1 $ ，故 $ ｛(x,y)|y=\sqrt{x-1}+\sqrt{1-x}｝=｛(1,0)｝=M $ .

对于③，当 $ n $ 为奇数时， $ x=-1 $ ；当 $ n $ 为偶数时， $ x=0 $ ，所以 $ ｛x|x=\dfrac{{\left(-1\right) ^ {n}}-1}{2} $ , $ n\in \boldsymbol{N}｝=｛-1 $ , $ 0｝\ne M $ .

对于④， $ ｛x|-1 < x < 2 $ , $ x\in \boldsymbol{N}｝=｛0,1｝\ne M $ .所以与 $ M $ 相等的集合的个数为2.故选 $ \mathrm{C} $ .

当 $ a=0 $ 时,由方程 $ -2x-1=0 $ ,解得 $ x=-\dfrac{1}{2} $ ,此时集合 $ A $ 中只有一个元素；

当 $ a\ne 0 $ 时,因为集合 $ A $ 中只有一个元素,所以 $ \mathrm{\Delta }={\left(-2\right) ^ {2}}-4a×(-1)=0 $ ,解得 $ a=-1 $ .

综上,实数 $ a $ 的取值集合为 $ ｛0 $ , $ -1｝ $ .

因为 $ 4\in A $ ,所以 $ {a}^{2}+a-2=4 $ 或 $ 1-a=4 $ .

若 $ {a}^{2}+a-2=4 $ ,则 $ a=-3 $ 或 $ a=2 $ ,当 $ a=-3 $ 时, $ 1-a=4 $ ,不满足集合中元素的互异性,舍去；

当 $ a=2 $ 时, $ 1-a=-1 $ ,满足题意.

若 $ 1-a=4 $ ,则 $ a=-3 $ ,此时 $ {a}^{2}+a-2=4 $ ,不满足集合中元素的互异性,舍去.综上, $ a=2 $ .

对于 $ \mathrm{A} $ ,解 $ {x}^{3}=x $ ,得 $ x=0 $ 或 $ x=1 $ 或 $ x=-1 $ ,而 $ -1\notin \boldsymbol{N} $ ,因此列举法表示为 $ ｛0,1｝ $ , $ \mathrm{A} $ 正确；

对于 $ \mathrm{B} $ ,符号“{}”包含“所有”“全体”等含义,而“ $ \boldsymbol{R} $ ”已表示所有的实数构成的集合,则实数集可以表示为 $ ｛x|x $ 为实数 $ ｝ $ 或 $ \boldsymbol{R} $ , $ \mathrm{B} $ 不正确；

对于 $ \mathrm{C} $ ,方程组 $ \begin{cases}x+y=0,\\ x-y=-1\end{cases} $ 的解是有序实数对,而 $ ｛x=-\dfrac{1}{2},y=\dfrac{1}{2}｝ $ 表示两个等式组成的集合, $ \mathrm{C} $ 不正确；

对于 $ \mathrm{D} $ ,由 $ (x-2)^{2}+(y+3)^{2}=0 $ 得 $ x=2 $ 且 $ y=-3 $ ,因此方程的所有解组成的集合为 $ ｛(2,-3)｝ $ , $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{D} $ .

由 $ \dfrac{6}{9-x}\in \boldsymbol{N} $ 可知 $ 9-x $ 为6的约数，所以 $ 9-x=1 {\rm ,2,3,6} $ .

又 $ x\in \boldsymbol{N} $ ，所以 $ x=8 {\rm ,7,6,3} $ ，此时 $ \dfrac{6}{9-x}=6 {\rm ,3,2,1} $ ，因此集合 $ ｛\dfrac{6}{9-x}\in \boldsymbol{N}|x\in \boldsymbol{N}｝ $ 用列举法表示为 $ ｛1,2,3,6｝ $ .

$ A=｛(x,y)||x|\leqslant 1 $ , $ |y|\leqslant 1 $ , $ x $ , $ y\in \boldsymbol{Z}｝=｛(-1,-1) $ , $ (-1,0) $ , $ (-1,1) $ , $ (0,-1) $ , $ (0,0) $ , $ (0,1) $ , $ (1,-1) $ , $ (1,0) $ , $ (1,1)｝ $ ，有9个元素（即9个点），

$ B=｛(x,y)||x|\leqslant 3 $ , $ |y|\leqslant 2 $ , $ x $ , $ y\in \boldsymbol{Z}｝=｛(-3,-2) $ , $ (-3,-1) $ , $ (-3,0) $ , $ (-3,1) $ , $ (-3,2) $ , $ (-2,-2) $ , $ (-2,-1) $ , $ (-2,0) $ , $ (-2,1) $ , $ (-2,2) $ , $ (-1,-2) $ , $ (-1,-1) $ , $ (-1,0) $ ， $ (-1,1) $ ， $ (-1,2) $ , $ (0,-2) $ , $ (0,-1) $ , $ (0,0) $ , $ (0,1) $ , $ (0,2) $ , $ (1,｝) $ , $ (1,-1) $ , $ (1,0) $ , $ (1,1) $ , $ (1,2) $ , $ (2,-2) $ , $ (2,-1) $ , $ (2,0) $ , $ (2,1) $ , $ (2,2) $ , $ (3,-2) $ , $ (3,-1) $ , $ (3,0) $ , $ (3,1) $ , $ (3,2)｝ $ ，有 $ 7×5=35 $ 个元素（即35个点），

所以 $ {x}_{1}+{x}_{2}=-4 $ 或 $ -3 $ 或 $ -2 $ 或 $ -1 $ 或0或1或2或3或4，共有9个值， $ {y}_{1}+{y}_{2}=-3 $ 或 $ -2 $ 或 $ -1 $ 或0或1或2或3，共有7个值，

所以 $ A\oplus B=｛({x}_{1}+{x}_{2},{y}_{1}+{y}_{2})|({x}_{1},{y}_{1})\in A $ , $ ({x}_{2},{y}_{2})\in B｝ $ 中的元素有 $ 7×9=63 $ 个．

$ \forall x\in \boldsymbol{Z} $ ， $ x\geqslant 0 $ 时可令 $ x $ 对应 $ \boldsymbol{N} $ 中的 $ 2x $ , $ x < 0 $ 时可令 $ x $ 对应 $ \boldsymbol{N} $ 中的 $ -2x-1 $ ，即可建立一一对应关系，故整数集与自然数集等势；实数集、无理数集与自然数集之间都无法建立一一对应关系，故选 $ \mathrm{B} $ .

由 $ {n}^{2}-1=(n+1)(n-1) $ ，可知 $ n-1 $ , $ n+1 $ 的奇偶性相同，

又 $ {n}^{2}-1 $ 为120的倍数，所以 $ n-1 $ , $ n+1 $ 均为偶数，

由 $ 120={2}^{3}×3×5 $ ，可知 $ n-1 $ , $ n+1 $ 中必有一个为10的倍数，

结合带余除法可知：从10开始10的倍数除以3的余数依次为 $ {\rm 1,2,0,1,2,0,} \cdots $ ，

①若10的倍数除以3的余数为1，则其加2为3的倍数，

可知 $ n-1 $ 为10的倍数， $ n+1 $ 为3的倍数，此时 $ n $ 的值是唯一的；

②若10的倍数除以3的余数为2，则其减2为3的倍数，

可知 $ n+1 $ 为10的倍数， $ n-1 $ 为3的倍数，此时 $ n $ 的值是唯一的；

③若10的倍数除以3的余数为0（即为30的倍数），符合题意，

可知 $ n-1 $ ， $ n+1 $ 均可为10的倍数，此时 $ n $ 的值有2个；

且 $ 1\leqslant n\leqslant 150 $ ，即 $ 2\leqslant n+1\leqslant 151 $ , $ 0\leqslant n-1\leqslant 149 $ ，

在1到151中，可知10的倍数有15个，30的倍数有5个，考虑到150的唯一性，

所以 $ S $ 的元素个数为 $ (15-5)×1+(5-1)×2+1=19 $ .