1.2 集合间的基本关系

菱形一定是平行四边形，故选项 $ \mathrm{A} $ 正确；

真子集具有传递性，故选项 $ \mathrm{B} $ 正确；

若一个集合是空集，则没有真子集，故选项 $ \mathrm{C} $ 错误；

由 $ \mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{n} $ 图易知选项 $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{D} $ .

由集合 $ A $ 得 $ x=\dfrac{4k+1}{4} $ ， $ k\in \boldsymbol{Z} $ ，则 $ A=｛\dots ,-\dfrac{7}{4},-\dfrac{3}{4},\dfrac{1}{4},\dfrac{5}{4},\dfrac{9}{4},\dots ｝ $ .

由集合 $ B $ 得 $ y=\dfrac{2k-1}{4} $ ， $ k\in \boldsymbol{Z} $ ，

则 $ B=｛\dots ,-\dfrac{7}{4},-\dfrac{5}{4},-\dfrac{3}{4},-\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{4},\dfrac{3}{4},\dfrac{5}{4},\dots ｝ $ .

所以 $ A⫋B $ ，故选 $ \mathrm{C} $ .

要使 $ x\in A $ ， $ \sqrt{x}\in \boldsymbol{Z} $ ，则 $ x=1 {\rm ,4,9} $ ，故 $ B $ 中含有三个元素，所以 $ B $ 的非空子集有 $ ｛1｝ $ ， $ ｛4｝ $ ， $ ｛9｝ $ ， $ ｛1,4｝ $ ， $ ｛1,9｝ $ ， $ ｛4,9｝ $ ， $ ｛1,4,9｝ $ ，共7个.故选 $ \mathrm{C} $ .

由题得 $ A=｛2,5｝ $ ， $ B=｛2,3,4,5｝ $ .因为 $ A\subseteq C⫋B $ ，所以根据子集和真子集的定义，集合 $ C $ 必须含有元素2,5，所以 $ C=｛2,5｝ $ 或 $ ｛2,5,3｝ $ 或 $ ｛2,5,4｝ $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

当 $ B=\mathrm{⌀} $ 时,满足 $ B\subseteq A $ ,此时 $ m+1 > 2m-1 $ ,解得 $ m < 2 $ ；

当 $ B\ne \mathrm{⌀} $ 时,由 $ B\subseteq A $ 得 $ \begin{cases}m+1\leqslant 2m-1,\\ -2\leqslant m+1,\\ 2m-1\leqslant 5,\end{cases} $ 解得 $ 2\leqslant m\leqslant 3 $ .

综上所述,实数 $ m $ 的取值范围为 $ ｛m|m\leqslant 3｝ $ .

故选 $ \mathrm{C} $ .

因为 $ A\subseteq B $ ，所以 $ 0\in B $ ，所以 $ a+1=0 $ 或 $ a-1=0 $ ，即 $ a=-1 $ 或 $ a=1 $ .

当 $ a=1 $ 时， $ A=｛0,1｝ $ ， $ B=｛1,2,0｝ $ ，满足 $ A\subseteq B $ ；当 $ a=-1 $ 时， $ A=｛0 $ , $ -1｝ $ ， $ B=｛1 {\rm ,0} $ , $ -2｝ $ ，不满足 $ A\subseteq B $ .综上， $ a=1 $ ，因此实数 $ a $ 的取值集合为 $ ｛1｝ $ .

对于 $ \mathrm{A} $ ,两个集合都是点集,但两个集合的元素不相同,所以不是相等集合,故 $ \mathrm{A} $ 错误；

对于 $ \mathrm{B} $ ,集合 $ M $ 表示数集,有2个元素,分别是1和0,集合 $ \mathbf{N} $ 是点集,只有1个元素,为 $ (1,0) $ ,所以不是相等集合,故 $ \mathrm{B} $ 错误；

对于 $ \mathrm{C} $ ,解方程 $ {x}^{2}-4x+4=0 $ ,得 $ x=2 $ ,即 $ M=N=｛2｝ $ ,故 $ \mathrm{C} $ 正确；

对于 $ \mathrm{D} $ ,集合 $ M $ 是空集,但集合 $ \mathbf{N} $ 是非空集,集合 $ \mathbf{N} $ 中有1个元素 $ \mathrm{⌀} $ ,所以不是相等集合,故 $ \mathrm{D} $ 错误.故选 $ \mathrm{C} $ .

①正确，集合中元素具有无序性；②正确，任何集合都是自身的子集；③错误， $ \mathrm{⌀} $ 表示空集，而 $ ｛0｝ $ 表示含有一个元素0的集合，并非空集，所以 $ ｛0｝=\mathrm{⌀} $ 不成立；④正确，空集是任何集合的子集；⑤正确，由元素与集合的关系知， $ 0\in ｛0｝ $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

由 $ ｛a,\dfrac{b}{a},1｝=｛{a}^{2} $ , $ a+b $ , $ 0｝ $ 以及集合中元素的性质可知 $ a\ne 0 $ 且 $ a\ne 1 $ ,则 $ a\ne {a}^{2} $ , $ \therefore a=a+b $ , $ \therefore b=0 $ ,则 $ {a}^{2}=1 $ , $ \therefore a=-1 $ （ $ a=1 $ 舍去）, $ \therefore {a}^{2024}-{b}^{2025}={\left(-1\right) ^ {2024}}=1 $ .

对于 $ \mathrm{A} $ ， $ 0\in ｛x|{x}^{2}=0｝=｛0｝ $ ，故 $ \mathrm{A} $ 正确；对于 $ \mathrm{B} $ ，因为 $ ｛1｝ $ , $ \boldsymbol{N} $ 表示集合，所以 $ ｛1｝\subseteq \boldsymbol{N} $ ，故 $ \mathrm{B} $ 错误；对于 $ \mathrm{C} $ ，由 $ ｛2,1｝=｛x|{x}^{2}-3x+2=0｝=｛x|(x-1)\cdot (x-2)=0｝=｛1,2｝ $ ，故 $ \mathrm{C} $ 正确；对于 $ \mathrm{D} $ ，根据集合与集合的关系， $ ｛x|x < 0｝\subseteq ｛x|x < 1｝ $ ，故 $ \mathrm{D} $ 错误.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{C} $ .

由 $ {x}^{2}-8x+15=0 $ ,得 $ (x-3)(x-5)=0 $ ,

解得 $ x=3 $ 或 $ x=5 $ ,所以 $ A=｛3,5｝ $ ．

当 $ a=0 $ 时, $ B=\mathrm{⌀} $ ,满足 $ B\subseteq A $ ；

当 $ a\ne 0 $ 时, $ B=｛\dfrac{1}{a}｝ $ ,因为 $ B\subseteq A $ ,所以 $ \dfrac{1}{a}=3 $ 或 $ \dfrac{1}{a}=5 $ ,解得 $ a=\dfrac{1}{3} $ 或 $ a=\dfrac{1}{5} $ ．

综上,实数 $ a $ 取值的集合为 $ ｛0,\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{5}｝ $ ,

所以实数 $ a $ 取值集合的真子集的个数为 $ {2}^{3}-1=7 $ ,故选 $ \mathrm{C} $ ．

集合 $ A=｛x|x < -1 $ 或 $ x\geqslant 3｝ $ ,

$ B=｛x|ax+1\leqslant 0｝ $ ,当 $ a=0 $ 时， $ 1\leqslant 0 $ 不成立，此时 $ B=\mathrm{⌀} $ ，满足 $ B\subseteq A $ ；

当 $ a > 0 $ 时，因为 $ ax+1\leqslant 0 $ ，所以 $ x\leqslant -\dfrac{1}{a} $ ，又因为 $ B\subseteq A $ ，所以 $ -\dfrac{1}{a} < -1 $ ，解得 $ 0 < a < 1 $ ；

当 $ a < 0 $ 时，因为 $ ax+1\leqslant 0 $ ，所以 $ x\geqslant -\dfrac{1}{a} $ ，又因为 $ B\subseteq A $ ，所以 $ -\dfrac{1}{a}\geqslant 3 $ ，解得 $ -\dfrac{1}{3}\leqslant a < 0 $ .

综上可知， $ a\in ｛a|-\dfrac{1}{3}\leqslant a < 1｝ $ .故选 $ \mathrm{A} $ .

2是质数，但是它不是奇数，所以 $ ｛\text{质数}｝\subseteq ｛\text{奇数}｝ $ 错误，所以 $ \mathrm{A} $ 错误；

集合 $ ｛1,2,3｝ $ 与集合 $ ｛4,5,6｝ $ 有相同的子集 $ \mathrm{⌀} $   ，所以 $ \mathrm{B} $ 错误；

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以 $ \mathrm{C} $ 正确；

若 $ A\subseteq B $ ， $ B\subseteq C $ ，则 $ A\subseteq C $ ，所以 $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{D} $ .

由题化简得集合 $ B=｛x|x > a｝ $ ，结合数轴可知，要使 $ A\subseteq B $ ，则只要 $ a\leqslant -1 $ 即可，即实数 $ a $ 的取值范围是 $ ｛a|a\leqslant -1｝ $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

由题意得， $ A=｛x|{x}^{2}=x｝=｛0,1｝ $ .

$ ｛\mathrm{⌀}｝ $ 是以空集为元素的集合，不是集合 $ A $ 的子集，故 $ \mathrm{A} $ 错误；

$ ｛1｝\ne A $ ，故 $ \mathrm{B} $ 错误； $ -1\notin A $ ，故 $ \mathrm{C} $ 错误； $ 0\in A $ ，则 $ ｛0｝\subseteq A $ ,故 $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{D} $ .

对于 $ \mathrm{A} $ ， $ A=｛x\in \boldsymbol{N}||x|\leqslant 2｝=｛0,1,2｝ $ ， $ B=｛x\in \boldsymbol{Z}||x|\leqslant 2｝=｛-2 $ , $ -1 {\rm ,0,1} $ , $ 2｝ $ ，故 $ A\ne B $ ，所以 $ \mathrm{A} $ 错误；对于 $ \mathrm{B} $ ， $ A=｛(x,y)|y=x｝ $ 为点集， $ B=｛x|y=x｝ $ 为数集，故 $ A\ne B $ ，所以 $ \mathrm{B} $ 错误；对于 $ \mathrm{C} $ ， $ A=｛x|y=x｝=\boldsymbol{R} $ ， $ B=｛x|y=\dfrac{{x}^{2}}{x}｝=｛x|x\ne 0｝ $ ，故 $ A\ne B $ ，所以 $ \mathrm{C} $ 错误；对于 $ \mathrm{D} $ ，数集 $ A=｛x|x > 0｝ $ 和数集 $ B=｛y|y > 0｝ $ 所含元素相同，故 $ A=B $ ，所以 $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{D} $ .

由集合 $ A=｛(x,y)|xy=9 $ , $ x\in \boldsymbol{Z} $ , $ y\in \boldsymbol{Z}｝ $ ,

可得集合A中的元素有 $ (1,9) $ , $ (3,3) $ , $ (9,1) $ , $ (-1,-9) $ , $ (-3,-3) $ , $ (-9,-1) $ ,

所以集合 $ ｛(1,9) $ , $ (9,1) $ , $ (-1,-9) $ , $ (-9,-1)｝ $ 的任何一个子集,添加元素 $ (-3,-3) $ , $ (3,3) $ 后都可以作为集合B,

所以符合条件的集合B共有 $ {2}^{4}=16 $ 个.故选A．

根据集合的概念可知，集合 $ M $ 表示所有被7除余5的正整数以及 $ -2 $ 所构成的集合，集合 $ P $ 表示所有被7除余5的正整数所构成的集合，所以 $ P\subseteq M $ 且 $ P\ne M $ .集合 $ S $ 表示所有被14除余5的正整数所构成的集合，任取 $ a\in S $ ，则 $ a=14m+5=7\cdot 2m+5 $ ， $ m\in \boldsymbol{N} $ ，所以 $ a\in P $ ，则 $ S\subseteq P $ ，又 $ 12\in P $ ， $ 12\notin S $ ，所以 $ S\ne P $ .综上， $ S\subseteq P\subseteq M $ ，故选 $ \mathrm{A} $ .

不妨设 $ (1,1,1,1)\in B $ ，

由 $ {a}_{1}{b}_{1}+{a}_{2}{b}_{2}+{a}_{3}{b}_{3}+{a}_{4}{b}_{4}=0 $ ，则 $ B $ 中最多再包含 $ (1,1,-1,-1) $ , $ (1,-1,1,-1) $ , $ (1,-1,-1,1) $ , $ (-1,1,1,-1) $ , $ (-1,1,｝,1) $ , $ (-1,-1,1,1) $ 这6个元素，

设这6个元素组成的集合为 $ S $ ，则 $ S $ 中存在两个元素在集合 $ B $ 中时，满足题意，如 $ B=｛(1,1,1,1) $ , $ (1,1,-1,-1) $ , $ (1,-1,-1,1)｝ $ ，

且 $ S $ 中存在三个元素在集合 $ B $ 中时，满足题意，如 $ B=｛(1,1,1,1) $ , $ (1,1,-1,-1) $ , $ (1,-1,1,-1) $ , $ (1,-1,-1,1)｝ $ ,但其中有4个元素在集合 $ B $ 中时，不满足题意，同理，其中有5个或6个元素在集合 $ B $ 中时，均不满足题意．

因此若 $ B\subseteq A $ ，且 $ B $ 中任意两个元素均正交，则 $ B $ 中元素个数最多是4．故选 $ \mathrm{C} $ ．

由 $ S=｛{a}_{1} $ , $ {a}_{2} $ , $ {a}_{3}｝ $ ，得 $ S $ 的非空子集为 $ ｛{a}_{1}｝ $ , $ ｛{a}_{2}｝ $ , $ ｛{a}_{3}｝ $ , $ ｛{a}_{1} $ , $ {a}_{2}｝ $ , $ ｛{a}_{1} $ , $ {a}_{3}｝ $ ， $ ｛{a}_{2} $ , $ {a}_{3}｝ $ , $ ｛{a}_{1} $ , $ {a}_{2} $ , $ {a}_{3}｝ $ ，若集合 $ S $ 的各个非空子集元素和的总和是64，则 $ 4({a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3})=64 $ ，故 $ {a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}=16 $ .

由题意可得 $ \mathrm{\Delta }={m}^{2}+144 > 0 $ .设关于 $ x $ 的方程 $ {x}^{2}+mx-36=0 $ 的两个根分别为 $ {x}_{1} $ , $ {x}_{2} $ ,则 $ \begin{cases}{x}_{1}+{x}_{2}=-m,\\ {x}_{1}{x}_{2}=-36,\end{cases} $ 所以方程 $ {x}^{2}+mx-36=0 $ 的整数解只能是36的约数.当方程的解为 $ -1 {\rm ,36} $ 时, $ m=-35 $ ；

当方程的解为 $ -2 {\rm ,18} $ 时, $ m=-16 $ ；

当方程的解为 $ -3 {\rm ,12} $ 时, $ m=-9 $ ；

当方程的解为 $ -4 {\rm ,9} $ 时, $ m=-5 $ ；

当方程的解为 $ -6 {\rm ,6} $ 时, $ m=0 $ ；

当方程的解为 $ {\rm 1,} -36 $ 时, $ m=35 $ ；

当方程的解为 $ {\rm 2,} -18 $ 时, $ m=16 $ ；

当方程的解为 $ {\rm 3,} -12 $ 时, $ m=9 $ ；

当方程的解为 $ {\rm 4,} -9 $ 时, $ m=5 $ .

故集合 $ M=｛-35 $ , $ -16 $ , $ -9 $ , $ -5 {\rm ,0,5,9,16} $ , $ 35｝ $ .

由集合 $ A $ 满足条件： $ \mathrm{①}\mathrm{⌀}⫋A\subseteq M $ ；②若 $ a\in A $ ,则 $ -a\in A $ ,得集合 $ M $ 中互为相反数的两个元素同属于集合 $ A $ 或同不属于集合 $ A $ .

因为集合 $ M $ 中有4对相反数和元素0,

所以这样的非空集合共有 $ {2}^{5}-1=31 $ 个.

$ {1}^{2}=1 $ ， $ {2}^{2}=4 $ ， $ {3}^{2}=9 $ ， $ {4}^{2}=16 $ ， $ {5}^{2}=25 $ ， $ {6}^{2}=36 $ ， $ {7}^{2}=49 $ ， $ {8}^{2}=64 $ ，

$ {9}^{2}=81 $ ， $ 1\sim 9 $ 的平方是9的倍数的数有3个： $ {\rm 3，6，9，} 1\sim 9 $ 的平方除以9的余数分别是 $ {\rm 1，4，0，7，7，0，4，1，0，} \therefore $ 任意一个整数的平方被9除的余数只能是0,1,4,7,

$ \because 0+0=0 $ , $ 0+1=1 $ , $ 0+4=4 $ , $ 0+7=7 $ , $ 1+1=2 $ , $ 1+4=5 $ , $ 1+7=8 $ , $ 4+4=8 $ , $ 4+7=11 $ , $ 7+7=14 $ , $ \therefore 0 {\rm ,1,4,7} $ 中的任意两个数（可相同）的和（除0和0外，为了方便，研究倍数时一般不包括0）均不是9的倍数， $ \therefore $ 任意两个数的平方和是9的倍数只能要求这两个数的平方本身是9的倍数.

$ \because 2023=674×3+1 $ ,

$ \therefore 1\sim 2023 $ 中的数的平方是9的倍数的有674个，

$ \therefore |S| $ 的最大值为 $ 2023-674+1=1350 $ .