6．定义差集 $ A-B=｛x|x\in A $ ，且 $ x\notin B｝ $ ，现有三个集合 $ A $ ， $ B $ ， $ C $ 分别用圆表示，则集合 $ C-(A-B) $ 用阴影部分表示正确的为（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：A
解析：
如图所示， $ A-B $ 表示图中阴影部分，故集合 $ C-(A-B) $ 所含元素属于 $ C $ ，但不属于图中阴影部分，故选 $ \mathrm{A} $ .
1．已知集合 $ A=｛x|-2\leqslant x\leqslant 10｝ $ ， $ B=｛x|1-m\leqslant x\leqslant 1+m｝ $ .若 $ \mathrm{B}\cap ({\complement }_{\boldsymbol{R}}A)=\mathrm{⌀} $ ，则实数 $ m $ 的取值范围为（ ）
A． $ ｛m|m\leqslant 3｝ $
B． $ ｛m|m\leqslant 9｝ $
C． $ ｛m|m\leqslant 3 $ 或 $ m\geqslant 9｝ $
D． $ ｛m|3\leqslant m\leqslant 9｝ $
$ {\complement }_{\boldsymbol{R}}A=｛x|x < -2 $ 或 $ x > 10｝ $ .因为 $ B\cap ({\complement }_{\boldsymbol{R}}A)=\mathrm{⌀} $ ，所以 $ B\subseteq A $ .已知 $ B=｛x|1-m\leqslant x\leqslant 1+m｝ $ ，要满足 $ B\subseteq A $ ，
则当 $ B=\mathrm{⌀} $ 时， $ 1-m > 1+m $ ，解得 $ m < 0 $ .
当 $ B\ne \mathrm{⌀} $ 时，有 $ \begin{cases}m\geqslant 0,\\ 1-m\geqslant -2,\\ 1+m\leqslant 10,\end{cases} $ 解得 $ 0\leqslant m\leqslant 3 $ .
综上，实数 $ m $ 的取值范围为 $ ｛m|m\leqslant 3｝ $ .故选 $ \mathrm{A} $ .
2．已知集合 $ A=｛x|1\leqslant x\leqslant 5｝ $ , $ B=｛x|ax-1\geqslant 0｝ $ .
（1） 若 $ a=\dfrac{1}{2} $ ，求 $ A\cap ({\complement }_{\boldsymbol{R}}B) $ .
（2） 从 $ \mathrm{①}A\cap B=A $ ； $ \mathrm{②}B\cup ({\complement }_{\boldsymbol{R}}A)=\boldsymbol{R} $ ； $ \mathrm{③}A\cap ({\complement }_{\boldsymbol{R}}B)=\mathrm{⌀} $ 这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答.
问题：若 ，求实数 $ a $ 的取值范围.
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
（1） 【解】当 $ a=\dfrac{1}{2} $ 时， $ B=｛x|\dfrac{1}{2}x-1\geqslant 0｝=｛x|x\geqslant 2｝ $ ，则 $ {\complement }_{\boldsymbol{R}}B=｛x|x < 2｝ $ ，则 $ A\cap ({\complement }_{\boldsymbol{R}}B)=｛x|1\leqslant x < 2｝ $ .
（2） 【解】若选①， $ A\cap B=A $ ，可得 $ A\subseteq B $ ，则 $ B\ne \mathrm{⌀} $ ,即 $ a\ne 0 $ .
当 $ a < 0 $ 时， $ B=｛x|x\leqslant \dfrac{1}{a}｝ $ ，由 $ ｛x|1\leqslant x\leqslant 5｝\subseteq ｛x|x\leqslant \dfrac{1}{a}｝ $ ，可得 $ \dfrac{1}{a}\geqslant 5 $ ，此时无解；
当 $ a > 0 $ 时， $ B=｛x|x\geqslant \dfrac{1}{a}｝ $ ，由 $ ｛x|1\leqslant x\leqslant 5｝\subseteq ｛x|x\geqslant \dfrac{1}{a}｝ $ ，可得 $ \dfrac{1}{a}\leqslant 1 $ ，解得 $ a\geqslant 1 $ .
综上，实数 $ a $ 的取值范围为 $ ｛a|a\geqslant 1｝ $ .
若选②，因为 $ {\complement }_{\boldsymbol{R}}A=｛x|x < 1 $ 或 $ x > 5｝ $ ，又 $ B\cup ({\complement }_{\boldsymbol{R}}A)=\boldsymbol{R} $ ，则 $ B\ne \mathrm{⌀} $ ,即 $ a\ne 0 $ .
当 $ a < 0 $ 时， $ B=｛x|x\leqslant \dfrac{1}{a}｝ $ ，需使 $ \dfrac{1}{a}\geqslant 5 $ ，此时无解；
当 $ a > 0 $ 时， $ B=｛x|x\geqslant \dfrac{1}{a}｝ $ ，需使 $ \dfrac{1}{a}\leqslant 1 $ ，解得 $ a\geqslant 1 $ .
综上，实数 $ a $ 的取值范围为 $ ｛a|a\geqslant 1｝ $ .
若选③，因为 $ A\cap ({\complement }_{\boldsymbol{R}}B)=\mathrm{⌀} $ ，所以 $ A\subseteq B $ ,则 $ B\ne \mathrm{⌀} $ ，即 $ a\ne 0 $ .
当 $ a < 0 $ 时， $ B=｛x|x\leqslant \dfrac{1}{a}｝ $ ，需使 $ \dfrac{1}{a}\geqslant 5 $ ，此时无解；
当 $ a > 0 $ 时， $ B=｛x|x\geqslant \dfrac{1}{a}｝ $ ，需使 $ \dfrac{1}{a}\leqslant 1 $ ，解得 $ a\geqslant 1 $ .
综上，实数 $ a $ 的取值范围为 $ ｛a|a\geqslant 1｝ $ .
3．已知集合 $ M=｛x|-3 < x\leqslant 2｝ $ ， $ N=｛x|0 < x < 2｝ $ ，全集 $ U=｛x|-6\leqslant x\leqslant 5｝ $ .
（1） 求 $ N\cup ({\complement }_{U}M) $ ；
（2） 若 $ C=｛x|a\leqslant x\leqslant 2a-1｝ $ ,且 $ C\subseteq {\complement }_{U}M $ ，求实数 $ a $ 的取值范围.
（1） 【解】因为 $ U=｛x|-6\leqslant x\leqslant 5｝ $ , $ M=｛x|-3 < x\leqslant 2｝ $ ,所以 $ {\complement }_{U}M=｛x|-6\leqslant x\leqslant -3 $ 或 $ 2 < x\leqslant 5｝ $ ,
又因为 $ N=｛x|0 < x < 2｝ $ ,所以 $ N\cup ({\complement }_{U}M)=｛x|-6\leqslant x\leqslant -3 $ 或 $ 0 < x < 2 $ 或 $ 2 < x\leqslant 5｝ $ .
（2） 【解】由（1）可知 $ {\complement }_{U}M=｛x|-6\leqslant x\leqslant -3 $ 或 $ 2 < x\leqslant 5｝ $ ,
当 $ C=\mathrm{⌀} $ 时, $ C\subseteq {\complement }_{U}M $ 成立,此时 $ a > 2a-1 $ ,解得 $ a < 1 $ ；
当 $ C\ne \mathrm{⌀} $ 时,因为 $ C\subseteq {\complement }_{U}M $ ,
所以 $ \begin{cases}a\leqslant 2a-1,\\ 2a-1\leqslant -3,\\ a\geqslant -6\end{cases} $ 或 $ \begin{cases}a\leqslant 2a-1,\\ 2a-1\leqslant 5,\\ a > 2,\end{cases} $
解得 $ 2 < a\leqslant 3 $ .
故实数 $ a $ 的取值范围是 $ ｛a|a < 1 $ 或 $ 2 < a\leqslant 3｝ $ .
4．对于任意两个正整数 $ m $ ， $ n $ ，定义某种运算“ $ \mathrm{※} $ ”如下：当 $ m $ ， $ n $ 都为正偶数或都为正奇数时， $ m\mathrm{※}n=m+n $ ；当 $ m $ ， $ n $ 中一个为正偶数，另一个为正奇数时， $ m\mathrm{※}n=mn $ .在此定义下，集合 $ M=｛(m,n)|m\mathrm{※}n=8｝ $ 中的元素个数是（ ）
A．10
B．9
C．8
D．7
①当 $ m $ , $ n $ 都为正偶数时，符合条件的 $ (m,n) $ 有 $ (2,6) $ , $ (4,4) $ , $ (6,2) $ ，共3个；
②当 $ m $ , $ n $ 都为正奇数时，符合条件的 $ (m,n) $ 有 $ (1,7) $ , $ (3,5) $ , $ (5,3) $ , $ (7,1) $ ,共4个；
③当 $ m $ , $ n $ 中一个为正偶数，一个为正奇数时，符合条件的 $ (m,n) $ 有 $ (1,8) $ ， $ (8,1) $ ，共2个.所以集合 $ M $ 的元素个数是 $ 3+4+2=9 $ .故选 $ \mathrm{B} $ ．
5．（多选）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积.已知两个集合 $ A $ 和 $ B $ ，用 $ A $ 中元素为第一元素， $ B $ 中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作 $ A $ 与 $ B $ 的笛卡尔积，又称直积，记为 $ A×B $ ，即 $ A×B=｛(x,y)|x\in A $ 且 $ y\in B｝ $ .关于任意非空集合 $ M $ , $ \mathbf{N} $ , $ T $ ，下列说法错误的是（ ）（多选）
A． $ M×N=N×M $
B． $ (M×N)×T=M×(N×T) $
C． $ M×(N\cup T)\ne (M×N)\cup (M×T) $
D． $ M×(N\cap T)=(M×N)\cap (M×T) $
对于 $ \mathrm{A} $ ，若 $ M=｛1｝ $ , $ N=｛1,2｝ $ ，则 $ M×N=｛(1,1) $ , $ (1,2)｝ $ , $ N×M=｛(1,1) $ , $ (2,1)｝ $ ,所以 $ M×N\ne N×M $ ，故 $ \mathrm{A} $ 错误；
对于 $ \mathrm{B} $ ，若 $ M=｛1｝ $ , $ N=｛2｝ $ , $ T=｛3｝ $ ，
则 $ M×N=｛(1,2)｝ $ , $ (M×N)×T=｛((1,2),3)｝ $ ，而 $ M×(N×T)=｛(1,(2,3))｝ $ ,所以 $ (M×N)×T\ne M×(N×T) $ ，故 $ \mathrm{B} $ 错误；
对于 $ \mathrm{C} $ ，若 $ M=｛1｝ $ , $ N=｛2｝ $ , $ T=｛3｝ $ ，则 $ M×(N\cup T)=｛(1,2) $ , $ (1,3)｝ $ ，
$ M×N=｛(1,2)｝ $ , $ M×T=｛(1,3)｝ $ ,所以 $ M×(N\cup T)=(M×N)\cup (M×T) $ ，故 $ \mathrm{C} $ 错误；
对于 $ \mathrm{D} $ ，任取元素 $ (x,y)\in M×(N\cap T) $ ，则 $ x\in M $ 且 $ y\in \mathbf{N}\cap T $ ，则 $ y\in \mathbf{N} $ 且 $ y\in T $ ，
于是 $ (x,y)\in M×N $ 且 $ (x,y)\in M×T $ ，即 $ (x,y)\in (M×N)\cap (M×T) $ ，
反之若任取元素 $ (x,y)\in (M×N)\cap (M×T) $ ，
则 $ (x,y)\in M×N $ 且 $ (x,y)\in M×T $ ，
因此 $ x\in M $ ， $ y\in \mathbf{N} $ 且 $ y\in T $ ，即 $ x\in M $ 且 $ y\in \mathbf{N}\cap T $ ，
所以 $ (x,y)\in M×(N\cap T) $ ，即 $ M×(N\cap T)=(M×N)\cap (M×T) $ ，故 $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C} $ .
6．定义差集 $ A-B=｛x|x\in A $ ，且 $ x\notin B｝ $ ，现有三个集合 $ A $ ， $ B $ ， $ C $ 分别用圆表示，则集合 $ C-(A-B) $ 用阴影部分表示正确的为（ ）
A．
B．
C．
D．
如图所示， $ A-B $ 表示图中阴影部分，故集合 $ C-(A-B) $ 所含元素属于 $ C $ ，但不属于图中阴影部分，故选 $ \mathrm{A} $ .
7．某年级先后举办了数学、历史、化学讲座，其中有70人听了数学讲座，62人听了历史讲座，58人听了化学讲座，记 $ A=｛x|x $ 是听了数学讲座的学生 $ ｝ $ ， $ B=｛x|x $ 是听了历史讲座的学生 $ ｝ $ ， $ C=｛x|x $ 是听了化学讲座的学生}.用 $ \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(M) $ 来表示有限集合 $ M $ 中元素的个数，若 $ \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A\cap B)=17 $ ， $ \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A\cap C)=13 $ ， $ \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(B\cap C)=5 $ ， $ A\cap B\cap C=\mathrm{⌀} $ ，则（ ）
A． $ \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A\cap B\cap C)=35 $
B． $ \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A\cup B)=115 $
C． $ \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(B\cup C)=120 $
D． $ \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A\cup B\cup C)=190 $
$ \mathrm{A} $ 选项，由已知 $ A\cap B\cap C=\mathrm{⌀} $ ，得 $ \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A\cap B\cap C)=0 $ ， $ \mathrm{A} $ 错误；
$ \mathrm{B} $ 选项， $ \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A\cup B)=\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A)+\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(B)-\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A\cap B)=70+62-17=115 $ ， $ \mathrm{B} $ 正确；
$ \mathrm{C} $ 选项， $ \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(B\cup C)=\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(B)+\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(C)-\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(B\cap C)=62+58-5=115 $ ， $ \mathrm{C} $ 错误；
$ \mathrm{D} $ 选项， $ \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A\cup B\cup C)=\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A)+\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(B)+\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(C)-\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A\cap B)-\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A\cap C)-\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(B\cap C)+\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A\cap B\cap C)=70+62+58-17-13-5+0=155 $ ， $ \mathrm{D} $ 错误.故选 $ \mathrm{B} $ .
8．已知集合 $ A=｛x|{x}^{2}+2024x+2025=0｝ $ , $ B=｛x|({x}^{2}+ax)({x}^{2}+4ax+4)=0｝ $ ，记非空集合 $ S $ 的元素个数为 $ n(S) $ ，已知 $ |n(A)-n(B)|=1 $ ，记实数 $ a $ 的所有可能取值构成的集合为 $ M $ ，则 $ M $ 的非空子集的个数是 .
31
对于 $ {x}^{2}+2024x+2025=0 $ ，有 $ \mathrm{\Delta }={2024}^{2}-4×2025 > 0 $ ，
所以集合 $ A=｛x|{x}^{2}+2024x+2025=0｝ $ 中有两个元素，即 $ n(A)=2 $ .
因为 $ |n(A)-n(B)|=1 $ ，所以 $ n(B)=1 $ 或3.
对于 $ ({x}^{2}+ax)({x}^{2}+4ax+4)=0 $ ，易知 $ x=0 $ 必是方程的一个解.
当 $ n(B)=1 $ 时， $ B=｛0｝ $ ，所以 $ {x}^{2}+ax=0 $ 有两个相等的实数根，且 $ {x}^{2}+4ax+4=0 $ 无解，
则 $ \begin{cases}{\mathrm{\Delta }}_{1}={a}^{2}-4×0=0,\\ {\mathrm{\Delta }}_{2}={\left(4a\right) ^ {2}}-4×4 < 0,\end{cases} $ 解得 $ a=0 $ .
当 $ n(B)=3 $ 时，若 $ {x}^{2}+ax=0 $ 有两个相等的实数根，由上述分析可知 $ {x}^{2}+4ax+4=0 $ 无解，不满足题意.
若 $ {x}^{2}+ax=0 $ 有两个不相等的实数根，即 $ {x}_{1}=0 $ , $ {x}_{2}=-a $ ,则
$ \mathrm{①}{x}^{2}+4ax+4=0 $ 有两个相等且异于方程 $ {x}^{2}+ax=0 $ 的根，则 $ \begin{cases}{\mathrm{\Delta }}_{1}={a}^{2}-4×0 > 0,\\ {\mathrm{\Delta }}_{2}={\left(4a\right) ^ {2}}-4×4=0,\end{cases} $ 解得 $ a=-1 $ 或1,经检验均满足题意；
$ \mathrm{②}{x}^{2}+4ax+4=0 $ 有两个不等的实数根，且其中一根也是 $ {x}^{2}+ax=0 $ 的根，则 $ x=-a $ 是方程 $ {x}^{2}+4ax+4=0 $ 的根，代入得 $ a=±\dfrac{2\sqrt{3}}{3} $ ,此时方程 $ {x}^{2}±\dfrac{8\sqrt{3}}{3}x+4=0 $ 的判别式 $ {\mathrm{\Delta }}_{2} > 0 $ ,方程 $ {x}^{2}+ax=0 $ 的判别式 $ {\mathrm{\Delta }}_{1} > 0 $ ，满足题意.
综上，实数 $ a $ 的所有可能取值为 $ -\dfrac{2\sqrt{3}}{3} $ , $ -1 {\rm ,0,1} $ , $ \dfrac{2\sqrt{3}}{3} $ ，则 $ M=｛-\dfrac{2\sqrt{3}}{3},-1,0,1,\dfrac{2\sqrt{3}}{3}｝ $ ，
经检验，均符合题意.
所以 $ M $ 的非空子集的个数为 $ {2}^{5}-1=31 $ .
9．已知集合 $ A=｛(x,y)|mx+y=-1｝ $ , $ B=｛(x,y)|2x+ny=7｝ $ ,甲、乙两名同学在进行 $ A\cap B $ 的运算时，甲看错了 $ m $ ，解得 $ A\cap B=｛(2,3)｝ $ ;乙看错了 $ n $ ，解得 $ A\cap B=｛(3,2)｝ $ .
（1） 求实数 $ m $ , $ n $ 的值;
（2） 求集合 $ A\cap B $ .
（1） 【解】将 $ (2,3) $ 代入 $ 2x+ny=7 $ ,得 $ 4+3n=7 $ ,解得 $ n=1 $ .
将 $ (3,2) $ 代入 $ mx+y=-1 $ ,得 $ 3m+2=-1 $ ,解得 $ m=-1 $ ,所以 $ m=-1 $ , $ n=1 $ .
（2） 【解】由（1）知 $ \begin{cases}-x+y=-1,\\ 2x+y=7,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}x=\dfrac{8}{3},\\ y=\dfrac{5}{3},\end{cases} $
所以 $ A\cap B=｛(\dfrac{8}{3},\dfrac{5}{3})｝ $ .
10．已知集合 $ A $ , $ B $ , $ A\subseteq \mathrm{Z} $ , $ B\subseteq \mathrm{Z} $ , $ A $ , $ B $ 中都至少有3个元素，且 $ A $ ， $ B $ 满足：
$ \mathrm{①}\forall x $ , $ y\in A $ ，且 $ x\ne y $ ，总有 $ |x+y|\in B $ ；
$ \mathrm{②}\forall x $ , $ y\in B $ ，且 $ x\ne y $ ，总有 $ |x-y|\in A $ .
（1） 若集合 $ B=｛1,2,3｝ $ ，直接写出所有满足条件的集合 $ A $ .
（2） 已知 $ -1\in A $ ，
（ⅰ） 若 $ x $ , $ y\in A $ ，且 $ y > x > 0 $ ，求证： $ y-x\in A $ .
（ⅱ） 求证： $ {\mathrm{N}}^{\ast }\subseteq A $ .
（1） 【解】因为 $ B=｛1,2,3｝ $ ，又 $ \forall x $ , $ y\in B $ ，且 $ x\ne y $ ，总有 $ |x-y|\in A $ ，
所以 $ 3-1\in A $ , $ 3-2\in A $ ，即 $ 1\in A $ , $ 2\in A $ .
设 $ t\in A $ , $ t\ne 1 $ , $ t\ne 2 $ ，由 $ \forall x $ , $ y\in A $ ，且 $ x\ne y $ ，总有 $ |x+y|\in B $ ，
可得 $ |t+1|\in B $ ,且 $ |t+2|\in B $ ，
所以 $ t=0 $ 或 $ t=-3 $ 或 $ t=-4 $ ，
但 $ |-3+(-4)|\notin B $ ， $ |-4+0|\notin B $ ，
所以满足条件的集合 $ A $ 有 $ ｛0,1,2｝ $ ， $ ｛-3 {\rm ,1} $ , $ 2｝ $ ， $ ｛-3 {\rm ,0,1} $ , $ 2｝ $ ， $ ｛-4 {\rm ,1} $ , $ 2｝ $ .
（2） （ⅰ） 【证明】已知 $ -1\in A $ ， $ x $ , $ y\in A $ ， $ y > x > 0 $ ， $ A\subseteq \mathrm{Z} $ ，
由①知， $ |y+(-1)|=y-1\in B $ ， $ |x+(-1)|=x-1\in B $ ，
由②知， $ |y-1-(x-1)|=y-x\in A $ .
（ⅱ） 因为 $ B $ 中至少有3个元素， $ B\subseteq \mathrm{Z} $ ，
不妨设 $ B=｛p $ , $ q $ , $ r｝ $ ，其中 $ p < q < r $ ， $ p $ , $ q $ , $ r $ 互为不相等的整数，
则 $ |q-p| $ , $ |r-p| $ , $ |r-q|\in A $ ，且 $ 0 < q-p < r-p $ ，
所以 $ A $ 中至少存在两个正整数，则不妨设 $ m $ , $ n\in {\boldsymbol{N}}^{\ast } $ ， $ m $ , $ n\in A $ ， $ m < n $ ，又 $ -1\in A $ ，
由①知， $ m-1=m+(-1)\in B $ ， $ n-1=n+(-1)\in B $ ， $ n+m\in B $ ，
由②知， $ n+m-(m-1)=n+1\in A $ ， $ n+m-(n-1)=m+1\in A $ ，
故由 $ m $ , $ n\in {\boldsymbol{N}}^{\ast } $ ， $ m < n $ ， $ m $ , $ n\in A $ ， $ -1\in A $ ，可推出 $ m+1 $ , $ n+1\in A $ ，
同理由 $ m+1 $ , $ n+1\in A $ 可推出 $ m+2 $ , $ n+2\in A $ ，
由 $ m+2 $ , $ n+2\in A $ ，可推出 $ m+3 $ , $ n+3\in A $ ， $ \cdots $ ，
因此所有大于或等于 $ m $ 的正整数，都属于 $ A $ .
因为 $ m $ , $ m+1 $ , $ m+2 $ , $ \cdots $ , $ 2m-1\in A $ ，
由（ⅰ）知， $ m+1-m=1\in A $ ， $ m+2-m=2\in A $ ， $ \cdots $ ， $ 2m-1-m=m-1\in A $ .
综上，任意的正整数都属于 $ A $ ，所以 $ {\mathrm{N}}^{\ast }\subseteq A $ .
11．已知非空实数集 $ S $ , $ T $ 满足：若 $ x\in S $ ，则 $ \dfrac{x-1}{x+1}\in S $ ;若 $ y\in T $ ，则 $ \dfrac{y-1}{y}\in T $ .
（1） 若 $ 3\in S $ ，直接写出 $ S $ 中一定包含的元素；
（2） 若 $ T $ 由三个元素组成，且所有元素之和为 $ \dfrac{3}{2} $ ，求 $ T $ ；
（3） 若 $ S\cup T $ 由2 024个元素组成，求 $ S\cap T $ 的元素个数的最大值.
（1） 【解】由题意可得, $ x\in S $ ，则 $ \dfrac{x-1}{x+1}\in S $ ，于是 $ 3\in S $ ，则 $ \dfrac{3-1}{3+1}=\dfrac{1}{2}\in S $ ，则 $ \dfrac{\dfrac{1}{2}-1}{\dfrac{1}{2}+1}=-\dfrac{1}{3}\in S $ ，则 $ \dfrac{-\dfrac{1}{3}-1}{-\dfrac{1}{3}+1}=-2\in S $ ，则 $ \dfrac{-2-1}{-2+1}=3\in S $ ，
所以 $ S $ 中一定包含的元素为 $ {\rm 3,} \dfrac{1}{2} $ , $ -\dfrac{1}{3} $ , $ -2 $ .
（2） 【解】令 $ y=t $ ，则 $ \dfrac{t-1}{t}\in T $ , $ \dfrac{\dfrac{t-1}{t}-1}{\dfrac{t-1}{t}}=\dfrac{-1}{t-1}\in T $ , $ \dfrac{\dfrac{-1}{t-1}-1}{\dfrac{-1}{t-1}}=t\in T $ ,
因为 $ t=\dfrac{t-1}{t} $ ， $ t=\dfrac{-1}{t-1} $ ， $ \dfrac{t-1}{t}=\dfrac{-1}{t-1} $ 都可化为 $ {t}^{2}-t+1=0 $ , $ \mathrm{\Delta }=1-4=-3 < 0 $ ，则 $ {t}^{2}-t+1=0 $ 无解，
故 $ t $ , $ \dfrac{t-1}{t} $ , $ \dfrac{-1}{t-1} $ 为 $ T $ 中的三个元素.
因为所有元素之和为 $ \dfrac{3}{2} $ ，
所以 $ t+\dfrac{t-1}{t}+\dfrac{-1}{t-1}=\dfrac{3}{2} $ ，
整理得 $ {t}^{3}-\dfrac{3}{2}{t}^{2}-\dfrac{3}{2}t+1=0 $ ，
即 $ (t+1)({t}^{2}-\dfrac{5}{2}t+1)=0 $ ，
解得 $ t=-1 $ 或 $ t=2 $ 或 $ t=\dfrac{1}{2} $ ，
所以 $ T=｛-1,2,\dfrac{1}{2}｝ $ .
（3） 【解】若 $ s\in S $ ，则 $ \dfrac{s-1}{s+1}\in S $ ， $ \dfrac{\dfrac{s-1}{s+1}-1}{\dfrac{s-1}{s+1}+1}=-\dfrac{1}{s}\in S $ ， $ \dfrac{-\dfrac{1}{s}-1}{-\dfrac{1}{s}+1}=\dfrac{-s-1}{s-1}\in S $ ， $ \dfrac{\dfrac{-s-1}{s-1}-1}{\dfrac{-s-1}{s-1}+1}=s\in S $ ，
而 $ \dfrac{s-1}{s+1}=s $ ， $ \dfrac{s-1}{s+1}=-\dfrac{1}{s} $ ， $ s=-\dfrac{1}{s} $ , $ \dfrac{-s-1}{s-1}=s $ ， $ \dfrac{-s-1}{s-1}=-\dfrac{1}{s} $ ， $ \dfrac{-s-1}{s-1}=\dfrac{s-1}{s+1} $ 均无解,
所以数集 $ S $ 以 $ ｛s,\dfrac{s-1}{s+1},\dfrac{-s-1}{s-1},-\dfrac{1}{s}｝ $ 的形式出现,即4个数为一组出现，组与组之间无公共元素， $ {\rm 0,} -1 $ , $ 1\notin S $ .
由（2）知数集 $ T $ 以 $ ｛t,\dfrac{t-1}{t},\dfrac{-1}{t-1}｝ $ 的形式出现,即3个数为一组出现，组与组之间无公共元素， $ {\rm 0,} 1\notin T $ ,
于是数集 $ S $ , $ T $ 的元素个数分别是4和3的倍数，且当 $ s=t $ 时， $ \dfrac{s-1}{s+1}\ne \dfrac{t-1}{t} $ ， $ \dfrac{s-1}{s+1}\ne \dfrac{-1}{t-1} $ , $ \dfrac{-s-1}{s-1}\ne \dfrac{t-1}{t} $ , $ \dfrac{-s-1}{s-1}\ne \dfrac{-1}{t-1} $ , $ -\dfrac{1}{s}\ne \dfrac{t-1}{t} $ , $ -\dfrac{1}{s}\ne \dfrac{-1}{t-1} $ ,
而4和3互素，因此数集 $ S $ , $ T $ 中各组最多只能有1个公共元素.
设集合 $ S $ 中共有 $ m $ 个元素，满足 $ m $ 是4的正整数倍，其中有 $ n $ 个元素在 $ S\cap T $ 中，满足 $ n\leqslant m $ ，
由以上分析知，这 $ n $ 个元素在集合 $ T $ 中归属于不同组内，则集合 $ T $ 中有 $ 3n $ 个元素，同时在 $ T $ 内还有 $ k $ 个元素，并满足 $ k $ 是3的整数倍， $ k\geqslant 0 $ ，
则 $ 2024=m+2n+k\geqslant 3n+k\geqslant 3n $ ，
解得 $ n\leqslant 674 $ ，当 $ n=674 $ 时，符合条件的整数 $ m=676 $ , $ k=0 $ ，
所以 $ S\cap T $ 的元素个数的最大值是674.