第1.4节综合训练

由 $ {x}^{3}+x > {x}^{2}y+y $ 得 $ {x}^{3}-{x}^{2}y+x-y={x}^{2}(x-y)+x-y=({x}^{2}+1)(x-y) > 0 $ ,

所以 $ x-y > 0 $ .

又因为“ $ x-y > -1 $ ”是“ $ x-y > 0 $ ”的必要不充分条件,所以“ $ x-y > -1 $ ”是“ $ {x}^{3}+x > {x}^{2}y+y $ ”的必要不充分条件.故选 $ \mathrm{D} $ .

充分性：若 $ m=4 $ ， $ n=2 $ ，则 $ t={4}^{2}-{2}^{2}=12 $ ，不是奇数，故 $ t\in T $ 不成立，

所以“ $ t\in M $ ”不是“ $ t\in T $ ”的充分条件.

必要性：因为 $ t=2k+1={\left(k+1\right) ^ {2}}-{k}^{2} $ ，所以 $ t\in M $ ，故“ $ t\in M $ ”是“ $ t\in T $ ”的必要条件.综上，“ $ t\in M $ ”是“ $ t\in T $ ”的必要不充分条件.故选 $ \mathrm{B} $ .

当 $ x=0.5 $ ， $ y=0.6 $ 时，满足 $ [x]=[y]=0 $ ，此时 $ x-[x]=0.5 $ ， $ y-[y]=0.6 $ ，即 $ x-[x]\ne y-[y] $ ，

所以“ $ [x]=[y] $ ”不是“ $ x-[x]=y-[y] $ ”的充分条件；

当 $ x=0.5 $ ， $ y=1.5 $ 时， $ [x]=0 $ ， $ [y]=1 $ ，

此时 $ x-[x]=0.5 $ ， $ y-[y]=0.5 $ ，即 $ x-[x]=y-[y] $ ，但 $ [x]\ne [y] $ ，

所以“ $ [x]=[y] $ ”不是“ $ x-[x]=y-[y] $ ”的必要条件.

综上所述，“ $ [x]=[y] $ ”是“ $ x-[x]=y-[y] $ ”的既不充分也不必要条件，故选 $ \mathrm{D} $ .

由 $ x\in B $ 是 $ x\in A $ 的充分不必要条件，得 $ B $ 是 $ A $ 的非空真子集，

则 $ \begin{cases}-m+3\leqslant 2m,\\ -m+3\geqslant 1,\\ 2m\leqslant 4,\end{cases} $ 解得 $ 1\leqslant m\leqslant 2 $ .而当 $ m=2 $ 时， $ B=A $ ，不符合题意，当 $ m=1 $ 时， $ B=｛2｝ $ ，符合题意，

所以实数 $ m $ 的取值范围为 $ ｛m|1\leqslant m < 2｝ $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

对于 $ \mathrm{A} $ ,由 $ a < 4 $ 不能推出 $ a < 3 $ ，充分性不成立， $ a < 3 $ 能推出 $ a < 4 $ ，必要性成立，故 $ a < 4 $ 是 $ a < 3 $ 的必要不充分条件， $ \mathrm{A} $ 正确.

对于 $ \mathrm{B} $ ,当 $ m < 0 $ 时,方程 $ {x}^{2}+(m-3)x+m=0 $ 的判别式 $ \mathrm{\Delta }={\left(m-3\right) ^ {2}}-4m > 0 $ ,

则方程 $ {x}^{2}+(m-3)x+m=0 $ 有两个不相等的实根 $ {x}_{1} $ , $ {x}_{2} $ ,显然 $ {x}_{1}{x}_{2}=m < 0 $ ,

即方程 $ {x}^{2}+(m-3)x+m=0 $ 有一正根一负根；

当方程 $ {x}^{2}+(m-3)x+m=0 $ 有一正根一负根 $ {x}_{1} $ , $ {x}_{2} $ 时, $ \mathrm{\Delta }=(m-3)^{2}-4m > 0 $ 且 $ m={x}_{1}{x}_{2} < 0 $ ,解得 $ m < 0 $ ,

因此“ $ m < 0 $ ”是“一元二次方程 $ {x}^{2}+(m-3)\cdot x+m=0 $ 有一正根一负根”的充要条件, $ \mathrm{B} $ 正确.

对于 $ \mathrm{C} $ ,当 $ 0 < a < 1 $ 时, $ \dfrac{1}{a} > 1 $ ,因此“ $ a < 1 $ ”不是“ $ \dfrac{1}{a} < 1 $ ”的充分条件, $ \mathrm{C} $ 错误.

对于 $ \mathrm{D} $ ,当 $ m=2 $ 时,方程为 $ 2{x}^{2}+4x+2=0 $ ,解得 $ x=-1 $ ,即 $ M=｛-1｝ $ ,满足充分性,

而当 $ m=0 $ 时,方程为 $ 2x+2=0 $ ,解得 $ x=-1 $ ,此时集合 $ M $ 也为单元素集合，不满足必要性, $ \mathrm{D} $ 正确.

故选 $ \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{D} $ .

由 $ p:\dfrac{1}{x} > 1 $ ，得 $ p:0 < x < 1 $ ，由 $ q:|x-1| < 1 $ ，得 $ q:0 < x < 2 $ .

显然由 $ p $ 可以推出 $ q $ ，由 $ q $ 推不出 $ p $ ，

所以 $ p $ 是 $ q $ 的充分不必要条件.

①若 $ A\cap B=\mathrm{⌀} $ ，则集合 $ A $ 与 $ B $ 无重复元素，则 $ \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A\cup B)=\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A)+\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(B) $ ，

即 $ A\cap B=\mathrm{⌀} $ 是 $ \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A\cup B)=\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A)+\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(B) $ 的充分条件；

若 $ \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A\cup B)=\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A)+\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(B) $ ，则集合 $ A $ 与 $ B $ 无重复元素，则 $ A\cap B=\mathrm{⌀} $ ，

即 $ A\cap B=\mathrm{⌀} $ 是 $ \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A\cup B)=\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A)+\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(B) $ 的必要条件.

综上所述， $ A\cap B=\mathrm{⌀} $ 的充要条件是 $ \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A\cup B)=\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A)+\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(B) $ ，①正确.

②若 $ A\subseteq B $ ，即集合 $ A $ 中所有元素均属于集合 $ B $ ，此时 $ \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A)\leqslant \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(B) $ ，

即 $ \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A) < \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(B)+1 $ ，所以 $ A\subseteq B $ 是 $ \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A) < \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(B)+1 $ 的充分条件，

即 $ \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A) < \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(B)+1 $ 是 $ A\subseteq B $ 的必要条件;

若 $ \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A) < \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(B)+1 $ ，无法判断集合 $ A $ 与集合 $ B $ 的关系，

即 $ \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A) < \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(B)+1 $ 不是 $ A\subseteq B $ 的充分条件.

综上所述， $ A\subseteq B $ 的必要不充分条件可以是 $ \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A) < \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(B)+1 $ ，②正确.

③若 $ \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A)\leqslant \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(B)-1 $ ，无法判断集合 $ A $ 与集合 $ B $ 的关系，

即 $ \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A)\leqslant \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(B)-1 $ 不是 $ A⫋B $ 的充分条件，③错误.

④若 $ \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A)=\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(B) $ ，无法判断集合 $ A $ 中元素与集合 $ B $ 的关系，不能说明 $ A=B $ ，④错误.故选①②.