1．（多选）下列命题中是全称量词命题的是（ ）（多选）
A．任意一个自然数都是正整数
B．有的菱形是正方形
C．梯形有两边平行
D． $ \exists x\in \boldsymbol{R} $ ， $ {x}^{2}+1=0 $
根据全称量词命题和存在量词命题的定义可以判断选项 $ \mathrm{A} $ ， $ \mathrm{C} $ 是全称量词命题，选项 $ \mathrm{B} $ ， $ \mathrm{D} $ 是存在量词命题，故选 $ \mathrm{A}\mathrm{C} $ .
2．下列命题是“ $ \exists x\in \boldsymbol{R} $ ， $ {x}^{2} > 3 $ ”的表述方法的有（ ）（多选）
A．有一个 $ x\in \boldsymbol{R} $ ，使得 $ {x}^{2} > 3 $ 成立
B．对有些 $ x\in \boldsymbol{R} $ ，使得 $ {x}^{2} > 3 $ 成立
C．任选一个 $ x\in \boldsymbol{R} $ ，都有 $ {x}^{2} > 3 $ 成立
D．至少有一个 $ x\in \boldsymbol{R} $ ，使得 $ {x}^{2} > 3 $ 成立
$ \mathrm{C} $ 选项是全称量词命题， $ \mathrm{A} $ ， $ \mathrm{B} $ ， $ \mathrm{D} $ 选项符合题意，故选 $ \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{D} $ .
3．命题“有些负数满足不等式 $ (1+x)(1-9x) > 0 $ ”用“ $ \exists $ ”或“ $ \forall $ ”可表述为 .
$ \exists x < 0 $ ，使得 $ (1+x)(1-9x) > 0 $
“有些”为存在量词，因此可用存在量词命题来表述.
4．下列命题既是存在量词命题，又是真命题的是（ ）
A． $ \forall x\in \boldsymbol{R} $ , $ {x}^{2}-3x+5 > 0 $
B．任意两个无理数之和仍是无理数
C． $ \exists x\in \boldsymbol{R} $ , $ {x}^{2}-3x+\sqrt{2} > 0 $
D．至少存在两个质数的平方是偶数
$ \mathrm{A} $ ， $ \mathrm{B} $ 选项是全称量词命题，不符合题意，排除 $ \mathrm{A} $ , $ \mathrm{B} $ ； $ \mathrm{C} $ ， $ \mathrm{D} $ 选项是存在量词命题,对于 $ \mathrm{C} $ ，存在 $ x=0 $ 使得 $ {x}^{2}-3x+\sqrt{2}=\sqrt{2} > 0 $ ， $ \mathrm{C} $ 为真命题，故 $ \mathrm{C} $ 正确；
对于 $ \mathrm{D} $ ，质数中只有2的平方是偶数， $ \mathrm{D} $ 为假命题，故 $ \mathrm{D} $ 错误.故选 $ \mathrm{C} $ .
5．下列命题是真命题的是（ ）
A． $ \forall x\in \boldsymbol{R} $ , $ \sqrt{{x}^{2}}=x $
B． $ \exists x\in \mathrm{Q} $ , $ {x}^{2}=3 $
C． $ \forall x\in \boldsymbol{Z} $ , $ |x|\in \boldsymbol{N} $
D． $ \exists x\in \boldsymbol{R} $ , $ {x}^{2}-2x+3=0 $
当 $ x=-1 $ 时, $ \sqrt{{x}^{2}}\ne x $ ,故选项 $ \mathrm{A} $ 错误；
由 $ {x}^{2}=3 $ 可得 $ x=±\sqrt{3} $ ,故选项 $ \mathrm{B} $ 错误；
$ \forall x\in \boldsymbol{Z} $ , $ |x|\in \boldsymbol{N} $ ,故选项 $ \mathrm{C} $ 正确；
由 $ {x}^{2}-2x+3 > 0 $ 恒成立,可得选项 $ \mathrm{D} $ 错误.
故选 $ \mathrm{C} $ .
6．命题“ $ \forall x\in ｛x|1\leqslant x\leqslant 2｝ $ , $ {x}^{2}-a\leqslant 0 $ ”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A． $ a\leqslant 3 $
B． $ a\geqslant 4 $
C． $ a\geqslant 3 $
D． $ a\geqslant 5 $
命题“ $ \forall x\in ｛x|1\leqslant x\leqslant 2｝ $ , $ {x}^{2}-a\leqslant 0 $ ”为真命题,则 $ a\geqslant {x}^{2} $ 对任意 $ x\in ｛x|1\leqslant x\leqslant 2｝ $ 恒成立,
所以 $ a\geqslant ({x}^{2})_{ \max } $ ,故 $ a\geqslant 4 $ ,
所以命题“ $ \forall x\in ｛x|1\leqslant x\leqslant 2｝ $ , $ {x}^{2}-a\leqslant 0 $ ”为真命题的充要条件为 $ a\geqslant 4 $ ,故 $ \mathrm{B} $ 不符合题意；
对于 $ \mathrm{A} $ 选项, $ a\leqslant 3⇏a\geqslant 4 $ , $ a\geqslant 4⇏a\leqslant 3 $ ,
所以 $ a\leqslant 3 $ 是 $ a\geqslant 4 $ 的既不充分也不必要条件, $ \mathrm{A} $ 不符合题意；
对于 $ \mathrm{C} $ 选项, $ a\geqslant 3⇏a\geqslant 4 $ , $ a\geqslant 4⇒a\geqslant 3 $ ,
所以 $ a\geqslant 3 $ 是 $ a\geqslant 4 $ 的必要不充分条件, $ \mathrm{C} $ 符合题意；
对于 $ \mathrm{D} $ 选项, $ a\geqslant 5⇒a\geqslant 4 $ , $ a\geqslant 4⇏a\geqslant 5 $ ,
所以 $ a\geqslant 5 $ 是 $ a\geqslant 4 $ 的充分不必要条件, $ \mathrm{D} $ 不符合题意.故选 $ \mathrm{C} $ .
7．已知命题 $ p:\exists x\in \boldsymbol{R} $ ，使得 $ {x}^{2}-12x+4{n}^{2}=0 $ ，当命题 $ p $ 为真命题时，实数 $ n $ 的取值集合为 $ A $ .
（1） 求集合 $ A $ ；
（2） 设非空集合 $ B=｛a|3m\leqslant a+2\leqslant m+1｝ $ ，若 $ x\in A $ 是 $ x\in B $ 的必要条件，求实数 $ m $ 的取值范围.
（1） 【解】由题意可得方程 $ {x}^{2}-12x+4{n}^{2}=0 $ 有解，所以 $ \mathrm{\Delta }={\left(-12\right) ^ {2}}-4×4{n}^{2}\geqslant 0 $ ，即 $ {n}^{2}\leqslant 9 $ ，解得 $ -3\leqslant n\leqslant 3 $ ，所以 $ A=｛n|-3\leqslant n\leqslant 3｝ $ .
（2） 【解】因为 $ x\in A $ 是 $ x\in B $ 的必要条件，所以 $ B\subseteq A $ .又因为 $ B $ 为非空集合，且 $ B=｛a|3m-2\leqslant a\leqslant m-1｝ $ ，
所以 $ \begin{cases}3m-2\leqslant m-1,\\ 3m-2\geqslant -3,\\ m-1\leqslant 3,\end{cases} $ 解得 $ -\dfrac{1}{3}\leqslant m\leqslant \dfrac{1}{2} $ ，
所以实数 $ m $ 的取值范围为 $ ｛m|-\dfrac{1}{3}\leqslant m\leqslant \dfrac{1}{2}｝ $ .
8．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.
（1）矩形有一个外接圆；
（2）非负实数有两个平方根；
（3）有一对实数 $ (x,y) $ ，使 $ 2x-y+1 < 0 $ 成立.
见解析
（1）可以改写为“所有的矩形都有一个外接圆”，是全称量词命题.
（2）可以改写为“所有的非负实数都有两个平方根”，是全称量词命题.
（3）可以改写为“ $ \exists x\in \boldsymbol{R} $ ， $ y\in \boldsymbol{R} $ ,使 $ 2x-y+1 < 0 $ 成立”，是存在量词命题.