1．“ $ \forall x\in \boldsymbol{N} $ ， $ 8x+1 $ 是奇数”的否定是（ ）
A． $ \exists x\in \boldsymbol{N} $ ， $ 8x+1 $ 不是奇数
B． $ \forall x\in \boldsymbol{N} $ ， $ 8x+1 $ 不是奇数
C． $ \forall x\notin \mathrm{N} $ ， $ 8x+1 $ 不是奇数
D． $ \exists x\in \boldsymbol{N} $ ， $ 8x+1 $ 是奇数
“ $ \forall x\in \boldsymbol{N} $ , $ 8x+1 $ 是奇数”的否定是“ $ \exists x\in \boldsymbol{N} $ , $ 8x+1 $ 不是奇数”．故选 $ \mathrm{A} $ ．
2．命题 $ p：\forall x\in ｛x|0\leqslant x\leqslant 2｝ $ , $ {x}^{2}+1\geqslant 1 $ ，则 $ p $ 的否定是（ ）
A． $ \forall x\notin ｛x|0\leqslant x\leqslant 2｝ $ , $ {x}^{2}+1 < 1 $
B． $ \forall x\in ｛x|0\leqslant x\leqslant 2｝ $ , $ {x}^{2}+1 < 1 $
C． $ \exists x\notin ｛x|0\leqslant x\leqslant 2｝ $ , $ {x}^{2}+1 < 1 $
D． $ \exists x\in ｛x|0\leqslant x\leqslant 2｝ $ , $ {x}^{2}+1 < 1 $
全称量词命题的否定是存在量词命题，则命题 $ \forall x\in ｛x|0\leqslant x\leqslant 2｝ $ , $ {x}^{2}+1\geqslant 1 $ 的否定是 $ \exists x\in ｛x|0\leqslant x\leqslant 2｝ $ , $ {x}^{2}+1 < 1 $ ，故选 $ \mathrm{D} $ .
3．设命题 $ p:\exists n\in \boldsymbol{N} $ , $ {n}^{2} > {2}^{n} $ ，则 $ ¬p $ 为（ ）
A． $ \forall n\in \boldsymbol{N} $ , $ {n}^{2} > {2}^{n} $
B． $ \exists n\in \boldsymbol{N} $ , $ {n}^{2}\leqslant {2}^{n} $
C． $ \forall n\in \boldsymbol{N} $ , $ {n}^{2}\leqslant {2}^{n} $
D． $ \exists n\in \boldsymbol{N} $ , $ {n}^{2}={2}^{n} $
命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题，同时还要否定结论，所以 $ ¬p：\forall n\in \boldsymbol{N} $ , $ {n}^{2}\leqslant {2}^{n} $ .故选 $ \mathrm{C} $ .
4．已知命题 $ p:\exists a $ , $ b\in \boldsymbol{R} $ ，使得 $ {a}^{2} < {b}^{2} $ 成立，则下列说法正确的是（ ）
A． $ ¬p:\forall a $ , $ b\in \boldsymbol{R} $ , $ {a}^{2} > {b}^{2} $ ，为假命题
B． $ ¬p:\forall a $ , $ b\in \boldsymbol{R} $ , $ {a}^{2}\geqslant {b}^{2} $ ，为假命题
C． $ ¬p:\forall a $ , $ b\in \boldsymbol{R} $ , $ {a}^{2} > {b}^{2} $ ，为真命题
D． $ ¬p:\forall a $ , $ b\in \boldsymbol{R} $ , $ {a}^{2}\geqslant {b}^{2} $ ，为真命题
已知命题 $ p $ 是真命题，则 $ ¬p:\forall a $ , $ b\in \boldsymbol{R} $ , $ {a}^{2}\geqslant {b}^{2} $ ，且是假命题.故选 $ \mathrm{B} $ .
5．下列说法正确的是（ ）（多选）
A．若 $ p:\exists x\in \boldsymbol{R} $ ， $ {x}^{2}+1 > 2x $ ，则 $ ¬p:\forall x\in \boldsymbol{R} $ ， $ {x}^{2}+1 < 2x $
B．若 $ p:\forall x $ , $ y\in \boldsymbol{R} $ ， $ {x}^{2}+{y}^{2}\geqslant 0 $ ，则 $ ¬p:\exists x $ , $ y\in \boldsymbol{R} $ ， $ {x}^{2}+{y}^{2} < 0 $
C． $ \exists {x}_{0}\in \boldsymbol{R} $ ， $ \dfrac{1}{{x}_{0}} < {x}_{0}+1 $ 为真命题
D． $ \forall x\in \boldsymbol{R} $ ， $ {x}^{3} > 0 $ 为真命题
对于 $ \mathrm{A} $ ,命题 $ p:\exists x\in \boldsymbol{R} $ , $ {x}^{2}+1 > 2x $ 的否定是 $ ¬p:\forall x\in \boldsymbol{R} $ , $ {x}^{2}+1\leqslant 2x $ ,故 $ \mathrm{A} $ 错误；
对于 $ \mathrm{B} $ ,命题 $ p:\forall x $ , $ y\in \boldsymbol{R} $ , $ {x}^{2}+{y}^{2}\geqslant 0 $ 的否定是 $ ¬p:\exists x $ , $ y\in \boldsymbol{R} $ , $ {x}^{2}+{y}^{2} < 0 $ ,故 $ \mathrm{B} $ 正确；
对于 $ \mathrm{C} $ , $ \exists {x}_{0}\in \boldsymbol{R} $ , $ \dfrac{1}{{x}_{0}} < {x}_{0}+1 $ ,例如 $ {x}_{0}=1 $ 时成立,故 $ \mathrm{C} $ 正确；
对于 $ \mathrm{D} $ , $ \forall x\in \boldsymbol{R} $ , $ {x}^{3} > 0 $ ,当 $ x\leqslant 0 $ 时, $ {x}^{3}\leqslant 0 $ ,因此 $ {x}^{3} > 0 $ 对任意 $ x\in \boldsymbol{R} $ 不成立,故 $ \mathrm{D} $ 错误.故选 $ \mathrm{B}\mathrm{C} $ .
6．命题“存在实数 $ x $ ，使 $ {x}^{2}+2x-8=0 $ ”的否定是 .
对任意实数 $ x $ ，都有 $ {x}^{2}+2x-8\ne 0 $
$ \because $ 存在量词命题的否定为全称量词命题，
$ \therefore $ 该命题的否定为对任意实数 $ x $ ，都有 $ {x}^{2}+2x-8\ne 0 $ .
7．若命题“ $ \exists x\in ｛x|1 < x < 2｝ $ ， $ a > 2x $ ”为假命题，则实数 $ a $ 的取值范围是（ ）
A． $ ｛a|a < 2｝ $
B． $ ｛a|a\leqslant 2｝ $
C． $ ｛a|a < 4｝ $
D． $ ｛a|a\leqslant 4｝ $
因为命题“ $ \exists x\in ｛x|1 < x < 2｝ $ ， $ a > 2x $ ”为假命题，所以命题“ $ \forall x\in ｛x|1 < x < 2｝ $ ， $ a\leqslant 2x $ ”为真命题.因为当 $ 1 < x < 2 $ 时， $ 2 < 2x < 4 $ ，所以 $ a\leqslant 2 $ .故选 $ \mathrm{B} $ .
8．已知 $ a $ 为实数，使“ $ \forall x\in ｛x|3\leqslant x\leqslant 4｝ $ , $ x-a < 0 $ ”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． $ a > 4 $
B． $ a > 5 $
C． $ a < 3 $
D． $ a\leqslant 4 $
因为“ $ \forall x\in ｛x|3\leqslant x\leqslant 4｝ $ , $ x-a < 0 $ ”为假命题，所以“ $ \exists x\in ｛x|3\leqslant x\leqslant 4｝ $ , $ x-a\geqslant 0 $ ”为真命题，所以 $ 4-a\geqslant 0 $ ，解得 $ a\leqslant 4 $ .
所以“ $ \forall x\in ｛x|3\leqslant x\leqslant 4｝ $ , $ x-a < 0 $ ”为假命题的一个充分不必要条件是 $ ｛a|a\leqslant 4｝ $ 的真子集.故选 $ \mathrm{C} $ .
9．已知命题 $ p:\forall x\in ｛x|2\leqslant x\leqslant 3｝ $ , $ {x}^{2}-a\geqslant 0 $ ，命题 $ q:\exists x\in \boldsymbol{R} $ , $ a{x}^{2}+3x-1=0 $ .
（1） 若命题 $ ¬p $ 为真命题，求实数 $ a $ 的取值范围；
（2） 若命题 $ p $ 和 $ q $ 有且仅有一个是真命题，求实数 $ a $ 的取值范围.
（1） 【解】因为命题 $ ¬p $ 为真命题，即 $ \exists x\in ｛x|2\leqslant x\leqslant 3｝ $ , $ {x}^{2}-a < 0 $ 为真命题，
即 $ \exists x\in ｛x|2\leqslant x\leqslant 3｝ $ , $ a > {x}^{2} $ .
因为 $ 4\leqslant {x}^{2}\leqslant 9 $ ，所以 $ a > 4 $ ，所以实数 $ a $ 的取值范围为 $ ｛a|a > 4｝ $ .
（2） 【解】当 $ p:\forall x\in ｛x|2\leqslant x\leqslant 3｝ $ , $ {x}^{2}-a\geqslant 0 $ 为真命题时，
因为 $ 4\leqslant {x}^{2}\leqslant 9 $ ，所以 $ a\leqslant 4 $ ，故 $ p $ 为真命题时， $ a\leqslant 4 $ .
当命题 $ q:\exists x\in \boldsymbol{R} $ , $ a{x}^{2}+3x-1=0 $ 为真命题时，
若 $ a=0 $ ，则 $ x=\dfrac{1}{3} $ ，符合要求；
若 $ a\ne 0 $ ，则 $ \mathrm{\Delta }=9+4a\geqslant 0 $ ，即 $ a\geqslant -\dfrac{9}{4} $ ，此时 $ a\geqslant -\dfrac{9}{4} $ 且 $ a\ne 0 $ 符合要求.
综上， $ q $ 为真命题时， $ a\geqslant -\dfrac{9}{4} $ .
所以当 $ p $ 真 $ q $ 假时， $ a < -\dfrac{9}{4} $ ；
当 $ p $ 假 $ q $ 真时， $ a > 4 $ .
因此，命题 $ p $ 和 $ q $ 有且仅有一个是真命题时，实数 $ a $ 的取值范围为 $ ｛a|a < -\dfrac{9}{4}或a > 4｝ $ .
10．命题“ $ \exists x > 0 $ , $ {x}^{2}-4x+3 < 0 $ ”的否定为 .
$ \forall x > 0 $ , $ {x}^{2}-4x+3\geqslant 0 $
因为存在量词命题的否定为全称量词命题,所以“ $ \exists x > 0 $ , $ {x}^{2}-4x+3 < 0 $ ”的否定为“ $ \forall x > 0 $ , $ {x}^{2}-4x+3\geqslant 0 $ ”.
11．命题“ $ \forall x > -3 $ , $ \dfrac{3}{2x-4} < 0 $ ”的否定是 .
$ \exists x > -3 $ , $ \dfrac{3}{2x-4}\geqslant 0 $ 或 $ 2x-4=0 $
$ \because $ 全称量词命题的否定为存在量词命题, $ \therefore $ “ $ \forall x > -3 $ , $ \dfrac{3}{2x-4} < 0 $ ”的否定是“ $ \exists x > -3 $ , $ \dfrac{3}{2x-4}\geqslant 0 $ 或 $ 2x-4=0 $ ”.
12．“ $ \exists a\in \boldsymbol{R} $ ， $ {x}^{2}-ax > 0 $ ”的否定是 .
$ \forall a\in \boldsymbol{R} $ ， $ {x}^{2}-ax\leqslant 0 $