第一章素养检测

设 $ C\subseteq ｛3,4,5,6｝ $ ,由 $ A\subseteq B $ ,得 $ B=A\cup C $ ,显然 $ C $ 的个数为 $ {2}^{4}=16 $ ,所以 $ B $ 的个数是16.故选 $ \mathrm{C} $ .

“对任意正整数 $ n > 2 $ ，关于 $ x $ , $ y $ , $ z $ 的方程 $ {x}^{n}+{y}^{n}={z}^{n} $ 没有正整数解”的否定为“存在正整数 $ n > 2 $ ，关于 $ x $ , $ y $ , $ z $ 的方程 $ {x}^{n}+{y}^{n}={z}^{n} $ 至少存在一组正整数解”.故选 $ \mathrm{D} $ .

已知 $ M=｛x|0 < x\leqslant 3｝ $ ，

由 $ y={x}^{2}+1\geqslant 1 $ ，得 $ N=｛y|y\geqslant 1｝ $ ，

则题图中阴影部分表示的集合为 $ M\cap ({\complement }_{U}N)=｛x|0 < x < 1｝ $ ．故选 $ \mathrm{A} $ ．

因为集合 $ B=｛x|x > m｝ $ ，

所以 $ {\complement }_{\boldsymbol{R}}B=｛x|x\leqslant m｝ $ .

因为 $ A\cap ({\complement }_{\boldsymbol{R}}B)=\mathrm{⌀} $ ，所以 $ m\leqslant 1 $ .故选 $ \mathrm{A} $ .

因为 $ |x-3| < 2 $ ,

所以 $ -2 < x-3 < 2 $ ,解得 $ 1 < x < 5 $ .

由充分不必要条件的定义可知,只有 $ \mathrm{D} $ 选项符合.故选 $ \mathrm{D} $ .

因为 $ A\cup B=B $ ，所以 $ A\subseteq B $ .

又因为集合 $ A=｛x|ax-6=0｝ $ ， $ \text{ }B=｛x\in \boldsymbol{N}|2\leqslant x < 4｝=｛2,3｝ $ ，所以当集合 $ A $ 为空集时， $ a=0 $ ，符合题意;

当集合 $ A $ 不是空集时， $ \text{ }A=｛x|ax-6=0｝=｛\dfrac{6}{a}｝ $   ，所以 $ \dfrac{6}{a}=2 $ 或 $ \dfrac{6}{a}=3 $ ，解得 $ a=3 $ 或 $ a=2 $ ,所以实数 $ a $ 的所有可能的值构成的集合是 $ ｛0,2,3｝ $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

若命题“ $ x\geqslant 2 $ 是 $ x > m $ 的必要不充分条件”是真命题，则 $ m\geqslant 2 $ .

因为命题“ $ x\geqslant 2 $ 是 $ x > m $ 的必要不充分条件”是假命题，所以实数 $ m $ 的取值范围是 $ ｛m|m < 2｝ $ .故选 $ \mathrm{A} $ .

由已知得 $ A=｛{a}_{1} $ , $ {a}_{2} $ , $ \cdots $ , $ {a}_{n}｝(n\in {\boldsymbol{N}}_{+},n\geqslant 3) $ ，因为集合 $ A $ 是平衡集，

设去掉元素 $ {a}_{i}(i=1,2,\cdots ,n) $ ，根据题意得 $ A={A}_{1}\cup {A}_{2}\cup ｛{a}_{i}｝ $ ，其中 $ {A}_{1}\cap {A}_{2}=\mathrm{⌀} $ ，

不妨设集合 $ {A}_{1} $ ， $ {A}_{2} $ 中的元素的和均为 $ m $ ，则 $ M=2m+{a}_{i} $ ，其中 $ i=1 {\rm ,2} $ , $ \cdots $ , $ n $ ，

则 $ M-{a}_{i}=2m $ ，所以 $ M-{a}_{i} $ 为偶数，其中 $ i=1 {\rm ,2} $ , $ \cdots $ , $ n $ ，

因此 $ {a}_{i}(i=1,2,\cdots ,n) $ 与 $ M $ 的奇偶性相同.

因为存在 $ {a}_{i} $ 为奇数，所以 $ {a}_{i}(i=1,2,\cdots ,n) $ 均为奇数，

由 $ M-{a}_{i}=2m $ 知 $ M $ 也为奇数，且 $ M={a}_{1}+{a}_{2}+\cdots +{a}_{n} $ ，所以 $ n $ 也为奇数.

所以 $ n $ 的奇偶性与 $ M $ 无关，必为奇数.故选 $ \mathrm{D} $ .

对于 $ \mathrm{A} $ ，由于“ $ x > 4 $ ”与“ $ x < 5 $ ”互相不能推出，所以 $ \mathrm{A} $ 正确;

对于 $ \mathrm{B} $ ，正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，

即“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分不必要条件，所以 $ \mathrm{B} $ 错误；

对于 $ \mathrm{C} $ ，“关于 $ x $ 的方程 $ a{x}^{2}+bx+c=0(a\ne 0) $ 有实数根”的充要条件是“ $ {b}^{2}-4ac\geqslant 0 $ ”，所以 $ \mathrm{C} $ 错误；

对于 $ \mathrm{D} $ ，因为 $ b $ 可以等于零，所以由 $ a\ne 0 $ 不能推出 $ ab\ne 0 $ ，故充分性不成立，由 $ ab\ne 0 $ 可得 $ a\ne 0 $ 且 $ b\ne 0 $ ，即必要性成立.

所以“ $ a\ne 0 $ ”是“ $ ab\ne 0 $ ”的必要不充分条件，所以 $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{D} $ .

因为 $ U=｛x|x < 10 $ , $ x\in \boldsymbol{N}｝ $ ，所以 $ U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝ $ .

因为 $ A\cap ({\complement }_{U}B)=｛1,5｝ $ ，所以 $ {\rm 1,} 5\in A {\rm ,1} $ , $ 5\notin B $ .

因为 $ ({\complement }_{U}A)\cap ({\complement }_{U}B)=｛3,7,9｝={\complement }_{U}(A\cup B) $ ，所以 $ {\rm 3,7,} 9\notin A {\rm ,3,7} $ , $ 9\notin B $ .

又 $ A\cap B=｛4｝ $ ，所以 $ 4\in A $ , $ 4\in B $ .

综上，画出 $ \mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{n} $ 图如图.

对于 $ \mathrm{A} $ ， $ 8\in B $ ，故 $ \mathrm{A} $ 错误；

对于 $ \mathrm{B} $ ， $ ｛5｝\subseteq A $ ，故 $ \mathrm{B} $ 正确；

对于 $ \mathrm{C} $ ， $ 7\in {\complement }_{U}(A\cup B) $ ，故 $ \mathrm{C} $ 正确；

对于 $ \mathrm{D} $ ， $ A $ 的真子集个数为 $ {2}^{3}-1=7 $ ，故 $ \mathrm{D} $ 错误.故选 $ \mathrm{B}\mathrm{C} $ .

对于 $ \mathrm{A} $ 选项，因为 $ 2\text{ }021=5×404+1 $ ，所以 $ 2\text{ }021\in [1] $ ， $ \mathrm{A} $ 正确；

对于 $ \mathrm{B} $ 选项，因为 $ -13=-3×5+2 $ ，所以 $ -13\in [2] $ ， $ \mathrm{B} $ 错误；

对于 $ \mathrm{C} $ 选项，若整数 $ a $ ， $ b $ 属于同一“类”，可设 $ a=5{n}_{1}+k $ ， $ b=5{n}_{2}+k $ ， $ {n}_{1} $ ， $ {n}_{2}\in \boldsymbol{Z} $ ， $ k\in ｛0,1,2,3,4｝ $ ，所以 $ a-b=5({n}_{1}-{n}_{2}) $ ， $ {n}_{1} $ , $ {n}_{2}\in \boldsymbol{Z} $ ，故 $ a-b\in [0] $ ， $ \mathrm{C} $ 正确；

对于 $ \mathrm{D} $ 选项，设 $ a=5{n}_{1}+{k}_{1} $ ， $ b=5{n}_{2}+{k}_{2} $ ， $ {n}_{1} $ ， $ {n}_{2}\in \boldsymbol{Z} $ ， $ {k}_{1} $ ， $ {k}_{2}\in ｛0,1,2,3,4｝ $ ，

则 $ a-b=5({n}_{1}-{n}_{2})+{k}_{1}-{k}_{2} $ ，因为 $ {k}_{1} $ ， $ {k}_{2}\in ｛0,1,2,3,4｝ $ ，所以 $ -4\leqslant {k}_{1}-{k}_{2}\leqslant 4 $ ，且 $ {k}_{1}-{k}_{2}\in \boldsymbol{Z} $ ，又因为 $ a-b\in [0] $ ，所以 $ {k}_{1}-{k}_{2}=0 $ ，即 $ {k}_{1}={k}_{2} $ ，故整数 $ a $ ， $ b $ 属于同一“类”， $ \mathrm{D} $ 正确.

故选 $ \mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{D} $ .

由 $ B=｛x||2x-\dfrac{7}{2}|\leqslant \dfrac{5}{2}｝ $ 可得 $ B=｛x|-\dfrac{5}{2}\leqslant $

$ 2x-\dfrac{7}{2}\leqslant \dfrac{5}{2}｝=｛x|\dfrac{1}{2}\leqslant x\leqslant 3｝ $ .

因为 $ x\in B $ 是 $ x\in A $ 的必要条件，所以 $ A\subseteq B $ ,因此 $ \begin{cases}\dfrac{1}{2}\leqslant 2a-1,\\ 2a+1\leqslant 3,\end{cases} $ 解得 $ \dfrac{3}{4}\leqslant a\leqslant 1 $ ,

所以实数 $ a $ 的取值范围是 $ ｛a|\dfrac{3}{4}\leqslant a\leqslant 1｝ $ .

设高一（1）班参加游泳、田径、球类比赛的学生分别构成集合 $ A $ , $ B $ , $ C $ ，设同时参加游泳和球类比赛的学生人数为 $ x $ ，则由题意作出 $ \mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{n} $ 图如图，

由题意可得 $ 20-x+6+x+5+4+9-x=36 $ ，解得 $ x=8 $ .因此同时参加游泳和球类比赛的学生有8人.

由 $ {x}_{1}+{x}_{3}=0 $ 得 $ {x}_{1}=-{x}_{3} $ ,则 $ {x}_{1}^{2}={x}_{3}^{2} $ .因为 $ (M\cap N)\subseteq N $ ,即 $ ｛{x}_{2} $ , $ {x}_{3}｝\subseteq ｛{x}_{1}^{2} $ , $ {x}_{2}^{2} $ , $ {x}_{4}^{2}｝ $ ,

所以 $ {x}_{2}\geqslant 0 $ .当 $ {x}_{2} > 0 $ 时,因为 $ {x}_{2}\in \boldsymbol{Z} $ ,所以 $ {x}_{2}\geqslant 1 $ ,则 $ {x}_{2}\leqslant {x}_{2}^{2} $ , $ {x}_{3} < {x}_{3}^{2}={x}_{1}^{2} $ , $ {x}_{4} < {x}_{4}^{2} $ ,即 $ {x}_{4}^{2} > {x}_{3} > {x}_{2} $ ,

所以 $ {x}_{4}^{2}\notin ｛{x}_{2} $ , $ {x}_{3}｝ $ ,则 $ ｛{x}_{2} $ , $ {x}_{3}｝=｛{x}_{1}^{2} $ , $ {x}_{2}^{2}｝ $ ,所以 $ \begin{cases}{x}_{2}={x}_{1}^{2},\\ {x}_{3}={x}_{2}^{2},\end{cases} $ 得 $ {x}_{3}={x}_{2}^{2}={x}_{1}^{4}={x}_{3}^{4} $ ,即 $ {x}_{3}=0 $ 或1,与 $ {x}_{3} > {x}_{2} $ 矛盾.

当 $ {x}_{2}=0 $ 时,则 $ {x}_{4} > {x}_{3} > {x}_{2}=0 $ ,因为 $ {x}_{3} $ , $ {x}_{4}\in {\boldsymbol{N}}_{+} $ ,所以 $ {x}_{4}^{2} > {x}_{4} $ ,即 $ {x}_{4}^{2} > {x}_{3} > {x}_{2} $ ,所以 $ {x}_{4}^{2}\notin ｛{x}_{2} $ , $ {x}_{3}｝ $ ,

则 $ ｛{x}_{2} $ , $ {x}_{3}｝=｛{x}_{1}^{2} $ , $ {x}_{2}^{2}｝ $ ,得 $ {x}_{2}=0={x}_{2}^{2} $ , $ {x}_{3}={x}_{1}^{2}={x}_{3}^{2} $ ,即 $ {x}_{3}=0 $ 或1,而 $ {x}_{3}=0 $ 与 $ {x}_{3} > {x}_{2} $ 矛盾,

所以 $ {x}_{3}=1 $ , $ {x}_{1}=-{x}_{3}=-1 $ .

因为 $ M\cup N=｛{x}_{1} $ , $ {x}_{2} $ , $ {x}_{3} $ , $ {x}_{4} $ , $ {x}_{4}^{2}｝ $ ,所以 $ {x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}+{x}_{4}+{x}_{4}^{2}=20 $ ,将 $ {x}_{1}=-1 $ , $ {x}_{2}=0 $ , $ {x}_{3}=1 $ 代入,

得 $ {x}_{4}+{x}_{4}^{2}=20 $ ,解得 $ {x}_{4}=4 $ 或 $ {x}_{4}=-5 $ （舍去）,所以 $ {x}_{3}+{x}_{4}=5 $ .