第一章高考强化

依题意 $ A\cap B $ 的元素是直线 $ x+y=8 $ 上满足 $ x $ , $ y\in {\boldsymbol{N}}^{\mathrm{*}} $ 且 $ y\geqslant x $ 的点，即点 $ (1,7) $ , $ (2,6) $ , $ (3,5) $ ， $ (4,4) $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

若 $ S $ 中有3个元素,不妨设 $ S=｛a,b,c｝(a < b < c) $ ，

则由条件①得 $ ab $ , $ ac $ , $ bc\in T $ ,

由条件②得 $ \dfrac{b}{a} $ , $ \dfrac{c}{a} $ , $ \dfrac{c}{b}\in S $ ,在 $ \dfrac{b}{a} $ ， $ \dfrac{c}{a} $ ， $ \dfrac{c}{b} $ 中显然 $ \dfrac{c}{a} $ 最大.

分两种情况讨论：

当 $ \dfrac{c}{a}=c $ 时， $ a=1 $ ， $ \therefore \dfrac{b}{a}=b $ ， $ \dfrac{c}{b}\ne c $ ,

若 $ \dfrac{c}{b}=a $ ，则有 $ b=c $ ，与题设矛盾， $ \therefore \dfrac{c}{b}=b $ ，即 $ c={b}^{2} $ ，此时 $ S=｛1,b,{b}^{2}｝ $ ， $ T=｛b,{b}^{2},{b}^{3}｝ $ ， $ S\cup T=｛1,b,{b}^{2},{b}^{3}｝ $ ,有4个元素；

当 $ \dfrac{c}{a}=b $ 时， $ c=ab $ ，若 $ \dfrac{b}{a}=b $ ，则 $ a=1 $ , $ c=b $ ,与题设矛盾， $ \therefore \dfrac{b}{a}=a $ , $ \therefore b={a}^{2} $ , $ c={a}^{3} $ ,此时 $ S=｛a,{a}^{2},{a}^{3}｝ $ , $ \therefore {a}^{3} $ , $ {a}^{4} $ , $ {a}^{5}\in T $ ,

$ T=｛{a}^{3},{a}^{4},{a}^{5}｝ $ 或 $ ｛{a}^{2},{a}^{3},{a}^{4},{a}^{5}｝ $ 或 $ ｛{a}^{3},{a}^{4},{a}^{5},{a}^{6}｝ $ , $ \therefore S\cup T=｛a,{a}^{2},{a}^{3},{a}^{4},{a}^{5}｝ $ ，有5个元素或 $ S\cup T=｛a,{a}^{2},{a}^{3},{a}^{4},{a}^{5},{a}^{6}｝ $ ,有6个元素， $ \therefore $   当 $ S $ 中有3个元素时， $ S\cup T $ 有4个或5个或6个元素，故 $ \mathrm{C} $ ， $ \mathrm{D} $ 错误.

若 $ S $ 中有4个元素，不妨设 $ S=｛a,b,c,d｝(a < b < c < d) $ ，

则由条件①可得 $ ab $ , $ ac $ , $ ad $ , $ bc $ , $ bd $ , $ cd\in T $ ，由条件②可得 $ \dfrac{b}{a} $ , $ \dfrac{c}{a} $ , $ \dfrac{d}{a} $ , $ \dfrac{c}{b} $ , $ \dfrac{d}{b} $ , $ \dfrac{d}{c} $ , $ \dfrac{cd}{ab} $ , $ \dfrac{bd}{ac}\in S $ ,显然 $ \dfrac{cd}{ab} $ 最大，

而 $ \dfrac{b}{a} $ , $ \dfrac{c}{a} $ , $ \dfrac{d}{a} $ 分别对应从小到大的3个元素，

$ \because S $ 中只有4个元素， $ \therefore $   必有 $ \dfrac{b}{a}=a $ , $ \dfrac{c}{a}=b $ , $ \dfrac{d}{a}=c $ , $ \dfrac{cd}{ab}=d $ ,由此可得 $ b={a}^{2} $ , $ c={a}^{3} $ , $ d={a}^{4} $ , $ \therefore S=｛a,{a}^{2},{a}^{3},{a}^{4}｝,T=｛{a}^{3},{a}^{4},{a}^{5},{a}^{6},{a}^{7}｝ $ ,

$ S\cup T=｛a,{a}^{2},{a}^{3},{a}^{4},{a}^{5},{a}^{6},{a}^{7}｝ $ 有7个元素, $ \therefore $   当 $ S $ 中有4个元素时， $ S\cup T $ 有7个元素.故选 $ \mathrm{A} $ .

由题意知 $ 0\in B $ .当 $ a-2=0 $ 时，即 $ a=2 $ ，此时 $ A=｛0 $ , $ -2｝ $ ， $ B=｛1,0,2｝ $ ， $ A⊈B $ ，不符合题意.当 $ 2a-2=0 $ 时，即 $ a=1 $ ，此时 $ A=｛0 $ , $ -1｝ $ ， $ B=｛1 $ , $ -1 $ , $ 0｝ $ ，满足 $ A\subseteq B $ ，所以 $ a=1 $ ，故选 $ \mathrm{B} $ .

由于 $ 2\in A $ , $ 2\in B $ , $ 3\in A $ , $ 3\in B $ , $ 1\in A $ , $ 1\notin B $ ,故 $ \mathrm{A} $ , $ \mathrm{B} $ , $ \mathrm{C} $ 错误, $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{D} $ .

由题意可知 $ -1\in B $ ， $ (-1)^{3}=-1\in A $ ， $ 0\in B $ ， $ {0}^{3}=0\in A $ ，所以 $ A\cap B=｛-1 $ ， $ 0｝ $ .故选 $ \mathrm{A} $ .

【多种解法】

由题意知 $ A=｛x|-\sqrt[3]{5} < x < \sqrt[3]{5}｝ $ ，又 $ B=｛-3 $ , $ -1 {\rm ,0,2} $ , $ 3｝ $ ,则 $ A\cap B=｛-1 $ , $ 0｝ $ ，故选A.

因为 $ A=｛1 {\rm ,2,3，4,5} $ , $ 9｝ $ , $ B=｛x|x+1\in A｝=｛0,1,2,3,4,8｝ $ ，所以 $ A\cap B=｛1 {\rm ，2，3} $ ， $ 4｝ $ ，故选 $ \mathrm{C} $ .

因为集合 $ M=｛x|-3 < x < 1｝ $ ， $ N=｛x|-1\leqslant x < 4｝ $ ,所以 $ M\cup N=｛x|-3 < x < 4｝ $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

因为 $ U=｛x|x=3k $ 或 $ x=3k+1 $ 或 $ x=3k+2 $ , $ k\in \boldsymbol{Z}｝ $ ，所以 $ {\complement }_{U}(M\cup N)=｛x|x=3k $ , $ k\in \boldsymbol{Z}｝ $ ，故选 $ \mathrm{A} $ ．

因为 $ M=｛x|x < 1｝ $ ， $ N=｛x|-1 < x < 2｝ $ ，所以 $ M\cup N=｛x|x < 2｝ $ ， $ {\complement }_{U}M=｛x|x\geqslant 1｝ $ , $ M\cap N=｛x|-1 < x < 1｝ $ , $ {\complement }_{U}N=｛x|x\leqslant -1 $ 或 $ x\geqslant 2｝ $ ,所以 $ {\complement }_{U}(M\cup N)=｛x|x\geqslant 2｝ $ ， $ N\cup {\complement }_{U}M=｛x|x > -1｝ $ , $ {\complement }_{U}(M\cap N)=｛x|x\leqslant -1 $ 或 $ x\geqslant 1｝ $ , $ M\cup {\complement }_{U}N=｛x|x < 1 $ 或 $ x\geqslant 2｝ $ ,故选 $ \mathrm{A} $ .

因为全集 $ U=｛0,1,2,4,6,8｝ $ ,集合 $ N=｛0,1,6｝ $ ,所以 $ {\complement }_{U}N=｛2,4,8｝ $ .因为 $ M=｛0,4,6｝ $ ，所以 $ M\cup {\complement }_{U}N=｛0,2,4,6,8｝ $ .故选 $ \mathrm{A} $ .

$ \because A=｛1,2,3,4,5,9｝ $ , $ \therefore B=｛x|\sqrt{x}\in A｝=｛1,4,9,16,25,81｝ $ , $ \therefore A\cap B=｛1,4,9｝ $ ， $ \therefore {\complement }_{A}(A\cap B)=｛2,3,5｝ $ ，故选 $ \mathrm{D} $ .

因为 $ {x}^{2}-4x+3=0 $ ,解得 $ {x}_{1}=1 $ , $ {x}_{2}=3 $ ,所以 $ B=｛1,3｝ $ ,

所以 $ A\cup B=｛-1 {\rm ,1,2} $ , $ 3｝ $ ,

所以 $ {\complement }_{U}(A\cup B)=｛-2 $ , $ 0｝ $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

$ M=｛x|\sqrt{x} < 4｝=｛x|0\leqslant x < 16｝ $ ， $ N=｛x|3x\geqslant 1｝=｛x|x\geqslant \dfrac{1}{3}｝ $ ，所以 $ M\cap N=｛x|\dfrac{1}{3}\leqslant x < 16｝ $ ，故选 $ \mathrm{D} $ .

对于命题 $ p $ ，当 $ x=-1 $ 时， $ |x+1|=0 < 1 $ ，所以 $ p $ 是假命题， $ ¬p $ 是真命题.对于命题 $ q $ ,若 $ {x}^{3}=x $ ,则 $ x=-1 {\rm ,0,1} $ ，所以满足“ $ \exists x > 0 $ , $ {x}^{3}=x $ ”，故 $ q $ 是真命题， $ ¬q $ 是假命题，故选 $ \mathrm{B} $ .

−1>−2>−3,−1+(−2)=−3>−3,矛盾,所以−1,−2,−3可验证该命题是假命题.

依题意可知,若 $ {a}^{2}={b}^{2} $ ,则 $ a=b $ 或 $ a=-b $ .当 $ a=b $ 时, $ {a}^{2}+{b}^{2}=2ab $ ；当 $ a=-b\ne 0 $ 时, $ {a}^{2}+{b}^{2}\ne 2ab $ .若 $ {a}^{2}+{b}^{2}=2ab $ ,即 $ (a-b)^{2}=0 $ ,则 $ a=b $ ,所以 $ {a}^{2}={b}^{2} $ .所以“ $ {a}^{2}={b}^{2} $ ”是“ $ {a}^{2}+{b}^{2}=2ab $ ”的必要不充分条件.故选 $ \mathrm{B} $ .

由题意知“x是整数”可推出“2x+1是整数”,故充分性成立;反之不成立,例如,当 $ {\rm \mathit{x}=} \dfrac{1}{2} $ 时,2x+1为整数,x不是整数,故必要性不成立.所以“x是整数”是“2x+1是整数”的充分不必要条件.故选A．

$ \forall $ 的否定是 $ \exists $ , $ \exists $ 的否定是 $ \forall $ ,“ $ n\geqslant {x}^{2} $ ”的否定是“ $ n < {x}^{2} $ ”.故选 $ \mathrm{D} $ .

由定义知,当 $ i=j $ 时, $ {A}_{i}\cap {A}_{j}={A}_{i} $ ,则 $ {a}_{ii}=1(i=1,2,\cdots ,n) $ ,故 $ S\geqslant n $ .显然取 $ A $ 的单元素子集 $ {A}_{i}=｛i｝ $ , $ {A}_{j}=｛j｝ $ ,则 $ i\ne j $ 时, $ {a}_{ij}=0 $ ,所以 $ {S}_{ \min }=n $ .考虑 $ S=n $ 的情况下,若改变集合 $ {A}_{k} $ , $ {A}_{m}(1\leqslant k,m\leqslant n,k\ne m) $ 中的一个,使 $ {A}_{k}\cap {A}_{m}\ne \mathrm{⌀} $ ,则 $ {a}_{km}={a}_{mk}=1 $ ,如取 $ {A}_{1}=｛1,2｝ $ , $ {A}_{k}=｛k｝(k\in \boldsymbol{N},2\leqslant k\leqslant n) $ ,则 $ S=n+2 $ ,即 $ S $ 的值由 $ n $ 增大为 $ n+2 $ ,因此, $ {A}_{1} $ , $ {A}_{2} $ , $ \cdots $ , $ {A}_{n} $ 中每增加一对集合的交集非空,则 $ S $ 的值增加2,故 $ S $ 与 $ n $ 具有相同的奇偶性,但 $ S $ 不一定是 $ n $ 的倍数.又由定义可知, $ S\leqslant {n}^{2} $ .若对任意的 $ i $ , $ j\in A $ , $ {A}_{i}\cap {A}_{j}\ne \mathrm{⌀} $ ,如取 $ {A}_{i}=｛1 {\rm ,2} $ , $ \cdots $ , $ i｝(i=1,2,\cdots ,n) $ , $ {a}_{ij}=1(i,j=1,2,\cdots ,n) $ ,则 $ S={n}^{2} $ ,即 $ {S}_{ \max }={n}^{2} $ .故选 $ \mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{D} $ .

先证集合 $ B $ 有 $ (p-1) $ 个元素.假设 $ B $ 中不是 $ (p-1) $ 个元素，则其中至少有两个数被质数 $ p $ 除的余数相同，余数设为 $ x $ ，则 $ x\equiv ai(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p) $ , $ x\equiv aj(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p) $ , $ i $ , $ j\in A $ , $ i\ne j $ ,则 $ ai=p{q}_{1}+x $ , $ aj=p{q}_{2}+x({q}_{1},{q}_{2}\in \boldsymbol{N}) $ ,故 $ \dfrac{a(i-j)}{p}={q}_{1}-{q}_{2}\in \boldsymbol{Z} $ ,由 $ p $ 不整除 $ a $ 知, $ i-j $ 能被 $ p $ 整除,又 $ 1\leqslant i\leqslant p-1 $ ， $ 1\leqslant j\leqslant p-1 $ ,则必有 $ i=j $ ,矛盾，故集合 $ B $ 中共有 $ (p-1) $ 个元素.因为 $ 0\notin B $ ,否则 $ a $ , $ n $ 中必存在一个能被 $ p $ 整除,矛盾，故 $ x=1 {\rm ,2} $ , $ \cdots $ , $ p-1 $ ,所以 $ A=B $ .由 $ x\equiv an(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p) $ , $ n\in A $ 可得, $ 1\cdot 2\cdot \cdots \cdot (p-1) $ 与 $ (a\cdot 1)\cdot (a\cdot 2)\cdot \cdots \cdot [a\cdot (p-1)] $ 被 $ p $ 除的余数相同,即 $ 1\cdot 2\cdot \cdots \cdot (p-1) $ 与 $ {a}^{p-1}[1\cdot 2\cdot \cdots \cdot (p-1)] $ 被 $ p $ 除的余数相同,而 $ 1\cdot 2\cdot \cdots \cdot (p-1) $ 被 $ p $ 除的余数唯一且不为0,所以 $ 1\equiv {a}^{p-1}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p) $ ,即 $ {a}^{p-1} $ 被 $ p $ 除余1.故选 $ \mathrm{C} $ .

若 $ M $ 为 $ \boldsymbol{N}\ast $ 的真子集,则 $ {\complement }_{U}M $ 为由部分正整数组成的非空集合,故 $ {\complement }_{U}M $ 中存在最小元素 $ m $ ,故 $ m\notin M $ ,从而 $ m\ne 1 $ ,于是 $ m-1\in {\boldsymbol{N}}^{\ast } $ ,因为 $ m-1 < m $ ,若 $ m-1\in M $ ,由 $ M $ 的性质可知 $ m\in M $ ,这与 $ m\notin M $ 矛盾,所以 $ m-1\in {\complement }_{U}M $ ,但这又与 $ m $ 是 $ {\complement }_{U}M $ 中的最小元素矛盾，所以 $ M $ 不是 $ {\boldsymbol{N}}^{\ast } $ 的真子集,即 $ M={\boldsymbol{N}}^{\ast } $ ,则 $ {\complement }_{U}M=\mathrm{⌀} $ .

由题意可知,“好数”的各数位上的数字各不相同.构造集合 $ A=｛x\in \mathrm{N}|0\leqslant x\leqslant 9｝ $ 与集合 $ B=｛x\in \boldsymbol{N}|0 < x\leqslant 9｝ $ ,取 $ A $ 的一个 $ n(1\leqslant n\leqslant 10,n\in {\boldsymbol{N}}_{+}) $ 元子集,将这 $ n $ 个元素从高数位到低数位按从大到小的顺序排列,则形成一个 $ n $ 位“好数”,因为 $ 0\notin {\mathrm{N}}_{+} $ ,所以这样从左到右依次递减的“好数”有 $ ({2}^{10}-2) $ 个；同理取 $ B $ 的一个 $ n(1\leqslant n\leqslant 9,n\in {\boldsymbol{N}}_{+}) $ 元子集,将这 $ n $ 个元素从高数位到低数位按从小到大的顺序排列,形成一个 $ n $ 位“好数”,于是递增的“好数”有 $ ({2}^{9}-1) $ 个.又 $ A $ , $ B $ 公共的1元子集 $ ｛1｝ $ , $ ｛2｝ $ , $ \cdots $ , $ ｛9｝ $ 算了2次,所以符合要求的“好数”共有 $ ({2}^{10}-2)+({2}^{9}-1)-9=1524 $ （个）.

因为 $ {a}_{i}\in \boldsymbol{Z} $ , $ i=1 {\rm ,2} $ , $ \cdots $ ,5,则 $ {a}_{i}^{2}\geqslant 0 $ ,又 $ {a}_{1}\in B $ ,故 $ {a}_{1}\geqslant 0 $ .由 $ {a}_{1} < {a}_{2} < {a}_{3} < {a}_{4} < {a}_{5} $ 知, $ {a}_{1}^{2} < {a}_{2}^{2} < {a}_{3}^{2} < {a}_{4}^{2} < {a}_{5}^{2} $ ,则 $ {a}_{1}={a}_{1}^{2} $ ,即 $ {a}_{1}=0 $ 或 $ {a}_{1}=1 $ .

因为 $ {a}_{1}+{a}_{4}=10 $ ,若 $ {a}_{1}=0 $ ,则 $ {a}_{4}=10 $ ,由 $ {a}_{4}\in B $ 知,存在 $ k\in ｛2,3｝ $ 使 $ {a}_{k}\in \boldsymbol{N} $ 且 $ {a}_{k}^{2}=10 $ ,显然不成立；若 $ {a}_{1}=1 $ ,则 $ {a}_{4}=9 $ ,存在 $ k\in ｛2,3｝ $ 使 $ {a}_{k}=3 $ ,则 $ {a}_{1}+{a}_{k}+{a}_{4}+{a}_{4}^{2}=94 $ .

由于 $ A\cup B $ 的各元素之和为256,则 $ {a}_{5}^{2} < 256-94 $ ,又 $ {a}_{5}\geqslant 10 $ ,故 $ 10\leqslant {a}_{5}\leqslant 12 $ .

（1）当 $ {a}_{3}=3 $ 时,则 $ {a}_{2}=2 $ ,因为 $ A\cup B $ 的各元素之和为256,所以 $ {a}_{5}+{a}_{5}^{2}=156 $ ,解得 $ {a}_{5}=12 $ .

（2）当 $ {a}_{2}=3 $ 时,则 $ A=｛1 {\rm ,3} $ , $ {a}_{3} {\rm ,9} $ , $ {a}_{5}｝ $ , $ B=｛1 {\rm ,9} $ , $ {a}_{3}^{2} {\rm ,81} $ , $ {a}_{5}^{2}｝ $ ,故 $ ({a}_{3}+{a}_{3}^{2})+({a}_{5}+{a}_{5}^{2})=162 $ .

又 $ 4\leqslant {a}_{3}\leqslant 8 $ ,故 $ 90\leqslant {a}_{5}+{a}_{5}^{2}\leqslant 142 $ ,则 $ 10\leqslant {a}_{5}\leqslant 11 $ .

若 $ {a}_{5}=10 $ ,则 $ {a}_{3}+{a}_{3}^{2}=52 $ ，无正整数解；

若 $ {a}_{5}=11 $ ,则 $ {a}_{3}+{a}_{3}^{2}=30 $ ,解得 $ {a}_{3}=5 $ .

综上所述, $ A=｛1,2,3,9,12｝ $ 或 $ A=｛1,3,5,9,11｝ $ .