2.1 等式性质与不等式性质

因为“限高4.5米”即为“高度不超过4.5米”,不超过用“⩽”表示,故选项A正确;因为“非负数”即为“不是负数”,所以a-b⩾0,故选项B错误;因为不等式x⩾2表示x>2或x=2,即x不小于2,故选项C正确;因为不等式a⩽b表示a<b或a=b,故若a<b或a=b中有一个成立,则a⩽b一定成立,故选项D正确.故选ACD．

由题意得 $ \begin{cases}170 < x+y\leqslant 190,\\ x > y,\end{cases} $ 故选 $ \mathrm{D} $ .

当 $ a=3 $ , $ b=2 $ , $ c=1 $ 时， $ a=b+c $ ，且 $ ac < {b}^{2} $ ，故 $ \mathrm{A} $ ， $ \mathrm{C} $ 错误；

因为 $ a > b > 0 $ ， $ a > c > 0 $ ，所以 $ {a}^{2} > bc $ ，故 $ \mathrm{B} $ 错误；

$ ab+bc-({b}^{2}+ac)=(b-c)(a-b) > 0 $ ，故 $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{D} $ .

对于 $ \mathrm{A} $ ，取 $ a=-3 $ , $ b=-2 $ ，则 $ \dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b} $ ，故错误；

对于 $ \mathrm{B} $ ，由 $ {c}^{2} > 0 $ ， $ \dfrac{a}{{c}^{2}} > \dfrac{b}{{c}^{2}} $ ，得 $ a > b $ ，故正确；

对于 $ \mathrm{C} $ , $ \text{ }\dfrac{a+m}{b+m}-\dfrac{a}{b}=\dfrac{ab+bm-ab-am}{b(b+m)}=\dfrac{m(b-a)}{b(b+m)} $ ，由 $ b > a > 0 $ ， $ m > 0 $ ，得 $ \dfrac{m(b-a)}{b(b+m)} > 0 $ ，所以 $ \dfrac{a+m}{b+m} > \dfrac{a}{b} $ ，故正确；

对于 $ \mathrm{D} $ ，由 $ c < d $ ，得 $ -c > -d $ ，又 $ a > b $ ，所以 $ a-c > b-d $ ，故正确.故选 $ \mathrm{A} $ .

$ \because -1 < a < 0 $ ， $ \therefore 1+a > 0 $ ， $ 0 < -a < 1 $ , $ \therefore -a-{a}^{2}=-a(1+a) > 0 $ ， $ {a}^{2}-(-{a}^{3})={a}^{2}(1+a) > 0 $ , $ \therefore -a > {a}^{2} > -{a}^{3} $ ．故选 $ \mathrm{B} $ ．

$ M-N=2{a}^{2}-4a+7-({a}^{2}-5a+6)={a}^{2}+a+1={\left(a+\dfrac{1}{2}\right) ^ {2}}+\dfrac{3}{4} > 0 $ ,故 $ M > N $ ,故选 $ \mathrm{C} $ .

因为 $ p={m}^{2}-m+2={\left(m-\dfrac{1}{2}\right) ^ {2}}+\dfrac{7}{4} > 0 $ ， $ q=\dfrac{1}{{m}^{2}+m+2}=\dfrac{1}{{\left(m+\dfrac{1}{2}\right) ^ {2}}+\dfrac{7}{4}} > 0 $ ，则 $ \dfrac{p}{q}=({m}^{2}-m+2)({m}^{2}+m+2)={\left({m}^{2}+2\right) ^ {2}}-{m}^{2}={m}^{4}+3{m}^{2}+4\geqslant 4 $ ，故 $ p\geqslant 4q $ ，当且仅当 $ m=0 $ 时取等号.

因为 $ -5 < a < -3 $ ， $ 1 < b < 4 $ ，所以 $ 3 < -a < 5 $ ， $ \dfrac{1}{4} < \dfrac{1}{b} < 1 $ ，

所以 $ \dfrac{3}{4} < \dfrac{-a}{b} < 5⇒-5 < \dfrac{a}{b} < -\dfrac{3}{4} $ ，所以 $ \dfrac{a}{b} $ 的取值范围为 $ ｛\dfrac{a}{b}|-5 < \dfrac{a}{b} < -\dfrac{3}{4}｝ $ .故选 $ \mathrm{A} $ .

因为 $ -1 < x < 2 $ ， $ 0 < y < 3 $ ，所以 $ -2 < 2x < 4 $ ， $ -3 < -y < 0 $ ，则 $ -5 < 2x-y < 4 $ .所以 $ 2x-y $ 的取值范围是 $ ｛2x-y|-5 < 2x-y < 4｝ $ .

由 $ \dfrac{y+2}{x+2} < \dfrac{y}{x} $ ，得 $ \dfrac{y+2}{x+2}-\dfrac{y}{x}=\dfrac{2(x-y)}{x(x+2)} < 0 $ ，所以 $ x < y $ ，则充分性成立；

由 $ x < y $ ，得 $ x-y < 0 $ ，则 $ \dfrac{y+2}{x+2}-\dfrac{y}{x}=\dfrac{2(x-y)}{x(x+2)} < 0 $ ，所以 $ \dfrac{y+2}{x+2} < \dfrac{y}{x} $ ，则必要性成立.

综上可知，“ $ \dfrac{y+2}{x+2} < \dfrac{y}{x} $ ”是“ $ x < y $ ”的充要条件.故选 $ \mathrm{C} $ .

由题知 $ c+1\geqslant 0 $ ，所以 $ c+4\geqslant 3 $ ，故 $ a=\sqrt{c+1}+\sqrt{c+4} > 1 $ .

又由 $ c+1\geqslant 0 $ 可知 $ c+2\geqslant 1 $ ， $ c+3\geqslant 2 $ ，故 $ b=\sqrt{c+2}+\sqrt{c+3} > 1 $ .

因为 $ {a}^{2}=2c+5+2\sqrt{(c+1)(c+4)} $ ， $ {b}^{2}=2c+5+2\sqrt{(c+2)(c+3)} $ ，且 $ (c+2)(c+3)-(c+1)(c+4)=2 > 0 $ ，所以 $ {b}^{2} > {a}^{2} $ ，故 $ b > a > 1 $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

设 $ a+5b=m(2a+b)+n(a-b) $ ，其中 $ m $ ， $ n\in \boldsymbol{R} $ ，

则 $ a+5b=(2m+n)a+(m-n)b $ ，所以 $ \begin{cases}2m+n=1,\\ m-n=5,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}m=2,\\ n=-3,\end{cases} $

所以 $ a+5b=2(2a+b)-3(a-b) $ .

因为 $ -3\leqslant 2a+b\leqslant 4 $ ， $ -1\leqslant a-b\leqslant 2 $ ，所以 $ -6\leqslant 2(2a+b)\leqslant 8 $ ， $ -6\leqslant -3(a-b)\leqslant 3 $ ，

由不等式的性质可得 $ -12\leqslant 2(2a+b)-3(a-b)\leqslant 11 $ ，即 $ -12\leqslant a+5b\leqslant 11 $ ，

因此 $ a+5b $ 的取值范围是 $ ｛a+5b|-12\leqslant a+5b\leqslant 11｝ $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

因为 $ b < a < -3b $ ,所以 $ b < 0 $ ,则有 $ \dfrac{1}{b} < 0 $ ,所以 $ -3b\cdot \dfrac{1}{b} < a\cdot \dfrac{1}{b} < b\cdot \dfrac{1}{b} $ ,即 $ -3 < \dfrac{a}{b} < 1 $ ,所以 $ 0\leqslant |\dfrac{a}{b}| < 3 $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

设选辩题 $A$ 的男生有 $x$ 人，选辩题 $A$ 的女生有 $y$ 人，选辩题 $B$ 的男生有 $m$ 人，选辩题 $B$ 的女生有 $n$ 人.

已知该班女生人数多于男生人数，即 $y+n > x+m$ ；又知选辩题 $A$ 的人数多于选辩题 $B$ 的人数，即 $x+y > m+n$ ，且 $x$ , $y$ , $m$ , $n\in\mathbf N$ .

将这两个不等式相加得到 $2y+x+n > 2m+x+n$ ，把 $x+n$ 移项得到 $2y > 2m$ ，即 $y > m$ .

这就意味着选辩题 $A$ 的女生人数多于选辩题 $B$ 的男生人数.故选 $\mathrm{A}$ .

$ \because a $ , $ b $ , $ c $ , $ d $ 是正实数, $ \therefore S=\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{b+c+d}+\dfrac{c}{c+d+a}+\dfrac{d}{d+a+b} > \dfrac{a}{a+b+c+d}+\dfrac{b}{a+b+c+d}+\dfrac{c}{a+b+c+d}+\dfrac{d}{a+b+c+d}=1 $ ,

$ S=\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{b+c+d}+\dfrac{c}{c+d+a}+\dfrac{d}{d+a+b} < \dfrac{a+d}{a+b+c+d}+\dfrac{a+b}{a+b+c+d}+\dfrac{c+b}{a+b+c+d}+\dfrac{c+d}{a+b+c+d}=2 $ , $ \therefore 1 < S < 2 $ .

$ a+b+c=0 $ 且 $ a > b > c $ ，则 $ a > 0 $ ， $ c < 0 $ .

对于 $ \mathrm{A} $ ， $ a+b=-c > 0 $ ， $ \mathrm{A} $ 正确.

对于 $ \mathrm{B} $ ，由 $ a > b $ ， $ c < 0 $ ，得 $ ac < bc $ ， $ \mathrm{B} $ 正确.

对于 $ \mathrm{C} $ ，由 $ a > b > c $ ，可知 $ a-b > 0 $ ， $ b-c > 0 $ ， $ (a-b)-(b-c)=a+c-2b=-3b $ ，

当 $ b > 0 $ 时， $ 0 < a-b < b-c $ ，则 $ \dfrac{1}{a-b} > \dfrac{1}{b-c} $ ；

当 $ b < 0 $ 时， $ a-b > b-c > 0 $ ，则 $ \dfrac{1}{a-b} < \dfrac{1}{b-c} $ ；

当 $ b=0 $ 时， $ a-b=b-c $ ，则 $ \dfrac{1}{a-b}=\dfrac{1}{b-c} $ ， $ \mathrm{C} $ 错误.

对于 $ \mathrm{D} $ ， $ (a-c ) (b-c )-\dfrac{9}{4}{c}^{2}=ab- (a+b )\cdot c-\dfrac{5}{4}{c}^{2}=ab+ (a+b)^{2}-\dfrac{5}{4} (a+b)^{2}=ab-\dfrac{1}{4} (a+b)^{2}=-\dfrac{1}{4} (a-b)^{2} < 0 $ ， $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{D} $ .

$ \because \dfrac{{x}^{4}}{{y}^{7}}=\dfrac{{\left(\dfrac{{x}^{2}}{y} \right) ^ {3}}}{ (x{y}^{2})^{2}} $ , $ 8\leqslant {\left(\dfrac{{x}^{2}}{y}\right) ^ {3}}\leqslant 27 $ , $ 1\leqslant (x{y}^{2})^{2}\leqslant 4 $ ,

$ \therefore \dfrac{1}{4}\leqslant \dfrac{1}{(x{y}^{2})^{2}}\leqslant 1 $ ,

$ \therefore \dfrac{8}{4}\leqslant \dfrac{{x}^{4}}{{y}^{7}}\leqslant \dfrac{27}{1} $ ,即 $ 2\leqslant \dfrac{{x}^{4}}{{y}^{7}}\leqslant 27 $ .