1．已知 $ x $ ， $ y > 0 $ ，且 $ \dfrac{8}{{x}^{2}}+\dfrac{1}{y}=1 $ ，则 $ x+y $ 的最小值为（ ）
A．8
B．6
C．4
D．2
因为 $ x $ , $ y > 0 $ ,且 $ \dfrac{8}{{x}^{2}}+\dfrac{1}{y}=1 $ ,
所以 $ x+y=x(\dfrac{8}{{x}^{2}}+\dfrac{1}{y})+y=\dfrac{8}{x}+\dfrac{x}{y}+y\geqslant 3\sqrt[3]{\dfrac{8}{x}\cdot \dfrac{x}{y}\cdot y}=3\sqrt[3]{8}=6 $ ,当且仅当 $ \dfrac{8}{x}=\dfrac{x}{y}=y $ ,即 $ x=4 $ , $ y=2 $ 时取等号,因此 $ x+y $ 的最小值为6.
2．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”即假设在平面内有一个三角形，边长分别为 $ a $ , $ b $ , $ c $ ，三角形的面积 $ S $ 可由公式 $ S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} $ 求得，其中 $ p $ 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足 $ a+b=12 $ , $ c=4 $ ，则此三角形面积的最大值为 .
$ 8\sqrt{2} $
由题意可得, $ p=\dfrac{1}{2}(a+b+c)=8 $ ,则 $ S=\sqrt{32(8-a)(8-b)} $ .
由基本不等式可得, $ S=\sqrt{32(8-a)(8-b)}\leqslant \sqrt{32\cdot \dfrac{{\left(16-a-b\right) ^ {2}}}{4}}=8\sqrt{2} $ .
当且仅当 $ 8-a=8-b $ ,即 $ a=b=6 $ 时取等号.
3．若 $ x > 0 $ , $ y > 0 $ ，且 $ 2x+3y=12 $ ，则 $ xy $ 的最大值为（ ）
A．9
B．6
C．3
D． $ \dfrac{3}{2} $
因为 $ x > 0 $ ， $ y > 0 $ ，且 $ 2x+3y=12 $ ，所以 $ xy=\dfrac{1}{6}\cdot 2x\cdot 3y\leqslant \dfrac{1}{6}{\left(\dfrac{2x+3y}{2}\right) ^ {2}}=6 $ ，当且仅当 $ 2x=3y $ ，即 $ x=3 $ ， $ y=2 $ 时等号成立，因此 $ xy $ 的最大值为6，故选 $ \mathrm{B} $ .
4．已知 $ m > -2 $ ， $ n > 1 $ ，且 $ m+n=3 $ ，则 $ \sqrt{m+2}+\sqrt{n-1} $ 的最大值为（ ）
A．6
B． $ 2\sqrt{3} $
C． $ 2\sqrt{2} $
D． $ \dfrac{2+\sqrt{3}}{2} $
由 $ m > -2 $ ， $ n > 1 $ ，可得 $ m+2 > 0 $ ， $ n-1 > 0 $ ，又 $ m+n=3 $ ，
则 $ 4=m+2+n-1\geqslant 2\sqrt{(m+2)(n-1)} $ ，当且仅当 $ m+2=n-1 $ ，即 $ m=0 $ , $ n=3 $ 时取等号，因此 $ \sqrt{m+2}+\sqrt{n-1}=\sqrt{{\left(\sqrt{m+2}+\sqrt{n-1}\right) ^ {2}}}=\sqrt{4+2\sqrt{(m+2)(n-1)}}\leqslant \sqrt{4+4}=2\sqrt{2} $ ，所以 $ \sqrt{m+2}+\sqrt{n-1} $ 的最大值为 $ 2\sqrt{2} $ .故选 $ \mathrm{C} $ .
5．已知 $ a $ , $ b $ , $ c $ 为正数，且 $ a+2b+c=2 $ ，则 $ \dfrac{1}{a+b}+\dfrac{4}{b+c} $ 的最小值为（ ）
A． $ \dfrac{5}{2} $
B． $ \dfrac{5}{4} $
C． $ \dfrac{9}{2} $
D． $ \dfrac{9}{4} $
易知 $ \dfrac{1}{a+b}+\dfrac{4}{b+c}=\dfrac{1}{2}[(a+b)+(b+c)]\cdot (\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{4}{b+c})=\dfrac{1}{2}[1+\dfrac{b+c}{a+b}+\dfrac{4(a+b)}{b+c}+4]\geqslant \dfrac{1}{2}[5+2\sqrt{\dfrac{b+c}{a+b}\cdot \dfrac{4(a+b)}{b+c}}]=\dfrac{9}{2} $ ，当且仅当 $ \begin{cases}b+c=2(a+b),\\ a+2b+c=2,\end{cases} $ 即 $ \begin{cases}a+b=\dfrac{2}{3},\\ b+c=\dfrac{4}{3}\end{cases} $ 时取等号.故选 $ \mathrm{C} $ .
6．设 $ x > y > z $ , $ n\in \boldsymbol{N} $ ，
且 $ \dfrac{1}{x-y}+\dfrac{1}{y-z}\geqslant \dfrac{n}{x-z} $ 恒成立，则 $ n $ 的最大值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
因为 $ x > y > z $ ,所以 $ x-y > 0 $ , $ y-z > 0 $ , $ x-z > 0 $ ,
$ \dfrac{1}{x-y}+\dfrac{1}{y-z}\geqslant \dfrac{n}{x-z} $ 恒成立,等价于 $ n\leqslant (\dfrac{1}{x-y}+\dfrac{1}{y-z})(x-z) $ 恒成立.
因为 $ x-z=(x-y)+(y-z) $ ,
所以 $ (\dfrac{1}{x-y}+\dfrac{1}{y-z})(x-z)=(\dfrac{1}{x-y}+\dfrac{1}{y-z})\cdot [(x-y)+(y-z)]=2+\dfrac{y-z}{x-y}+\dfrac{x-y}{y-z}\geqslant 2+2\sqrt{\dfrac{y-z}{x-y}\cdot \dfrac{x-y}{y-z}}=4 $ ,
当且仅当 $ \dfrac{y-z}{x-y}=\dfrac{x-y}{y-z} $ ,即 $ x-y=y-z $ 时等号成立,
所以要使 $ n\leqslant (\dfrac{1}{x-y}+\dfrac{1}{y-z})(x-z) $ 恒成立,则需 $ n\leqslant 4(n\in \boldsymbol{N}) $ ,所以 $ n $ 的最大值为4.
故选 $ \mathrm{B} $ .
7．已知 $ a $ , $ b $ 均为正实数， $ a+2b-2ab=0 $ ，则 $ 8a+b $ 的最小值是（ ）
A． $ 8\sqrt{2} $
B． $ \dfrac{25}{2} $
C． $ \dfrac{27}{2} $
D．17
$ a+2b-2ab=0⇒\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{2b}=1 $ ，
则 $ 8a+b=(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{2b})(8a+b)=\dfrac{17}{2}+(\dfrac{b}{a}+\dfrac{4a}{b})\geqslant \dfrac{17}{2}+2\sqrt{\dfrac{b}{a}\cdot \dfrac{4a}{b}}=\dfrac{25}{2} $ ，
当且仅当 $ \dfrac{b}{a}=\dfrac{4a}{b} $ ，即 $ a=\dfrac{5}{4} $ ， $ b=\dfrac{5}{2} $ 时取等号.故选 $ \mathrm{B} $ .
8．已知 $ a > \dfrac{1}{4} $ ， $ b > \dfrac{1}{2} $ ，且 $ 2a+b=2 $ ，则 $ \dfrac{1}{4a-1}+\dfrac{1}{2b-1} $ 的最小值是（ ）
A．1
B． $ \dfrac{4}{3} $
C．2
D． $ \dfrac{5}{2} $
因为 $ 2a+b=2 $ ，所以 $ (4a-1)+(2b-1)=2 $ ，又 $ a > \dfrac{1}{4} $ , $ b > \dfrac{1}{2} $ ，所以 $ 4a-1 > 0 $ , $ 2b-1 > 0 $ ，则 $ \dfrac{1}{4a-1}+\dfrac{1}{2b-1}=\dfrac{1}{2}[(4a-1)+(2b-1)](\dfrac{1}{4a-1}+\dfrac{1}{2b-1})=\dfrac{1}{2}(\dfrac{2b-1}{4a-1}+\dfrac{4a-1}{2b-1}+2)\geqslant \dfrac{1}{2}(2\sqrt{\dfrac{2b-1}{4a-1}\cdot \dfrac{4a-1}{2b-1}}+2)=2 $ ，
当且仅当 $ \dfrac{2b-1}{4a-1}=\dfrac{4a-1}{2b-1} $ ，即 $ a=\dfrac{1}{2} $ ， $ b=1 $ 时等号成立.故选 $ \mathrm{C} $ .
9．已知 $ a > 0 $ ， $ b > 0 $ ， $ b+4a-a(b+1)=-1 $ ，则 $ a+b $ 的最小值为（ ）
A．11
B．10
C．9
D．8
由题设 $ b+1=a(b-3) $ ，又 $ a > 0 $ ， $ b > 0 $ ，故 $ b > 3 $ ，则 $ a=\dfrac{b+1}{b-3}=1+\dfrac{4}{b-3} $ ，所以 $ a+b=b-3+\dfrac{4}{b-3}+4\geqslant 2\sqrt{(b-3)\cdot \dfrac{4}{b-3}}+4=8 $ ，当且仅当 $ a=3 $ ， $ b=5 $ 时等号成立，所以 $ a+b $ 的最小值为8.故选 $ \mathrm{D} $ .
10．已知 $ x > 1 $ , $ y > 1 $ , $ (x-1)(y-1)=2 $ ，则 $ 2x+4y $ 的最小值是（ ）
A．14
B． $ 6\sqrt{2}+6 $
C．8
D． $ 4\sqrt{2}+6 $
因为 $ x > 1 $ , $ y > 1 $ ,所以 $ x-1 > 0 $ , $ y-1 > 0 $ ，由 $ (x-1)(y-1)=2 $ ，得 $ y=\dfrac{2}{x-1}+1 $ ，于是 $ 2x+4y=2x+\dfrac{8}{x-1}+4=2(x-1)+\dfrac{8}{x-1}+6\geqslant 2\sqrt{2(x-1)\cdot \dfrac{8}{x-1}}+6=14 $ ，当且仅当 $ 2(x-1)=\dfrac{8}{x-1} $ ，即 $ x=3 $ , $ y=2 $ 时取“ $ = $ ”，所以当 $ x=3 $ , $ y=2 $ 时， $ 2x+4y $ 取得最小值14.故选 $ \mathrm{A} $ .
11．已知 $ x $ ， $ y $ 为正实数，则 $ \dfrac{y}{x}+\dfrac{16x}{2x+y} $ 的最小值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．8
$ \dfrac{y}{x}+\dfrac{16x}{2x+y}=\dfrac{y}{x}+\dfrac{16}{2+\dfrac{y}{x}} $ ，
设 $ \dfrac{y}{x}=t(t > 0) $ ，则 $ t+\dfrac{16}{2+t}=t+2+\dfrac{16}{2+t}-2\geqslant 2\sqrt{(t+2)\cdot \dfrac{16}{2+t}}-2=8-2=6 $ ，
当且仅当 $ t=2 $ ，即 $ y=2x $ 时取等号.
所以 $ \dfrac{y}{x}+\dfrac{16x}{2x+y} $ 的最小值为6.故选 $ \mathrm{C} $ .
12．已知 $ x > 0 $ , $ y > 0 $ ，且 $ x+y=1 $ ，则 $ \dfrac{3x}{y}+\dfrac{1}{xy} $ 的最小值为 .
6
因为 $ x > 0 $ , $ y > 0 $ , $ x+y=1 $ ，
所以 $ 0 < x < 1 $ , $ \dfrac{3x}{y}+\dfrac{1}{xy}=\dfrac{3x}{1-x}+\dfrac{1}{x(1-x)}=\dfrac{3{x}^{2}+1}{-{x}^{2}+x}=\dfrac{3{x}^{2}-3x+3x+1}{-{x}^{2}+x}=-3+\dfrac{3x+1}{-{x}^{2}+x} $ ，
令 $ 3x+1=t\in (1,4) $ ，则 $ \dfrac{3x}{y}+\dfrac{1}{xy}=-3+\dfrac{t}{-{\left(\dfrac{t-1}{3}\right) ^ {2}}+\dfrac{t-1}{3}}=-3-\dfrac{t}{\dfrac{{t}^{2}}{9}-\dfrac{5}{9}t+\dfrac{4}{9}}=-3-\dfrac{1}{\dfrac{t}{9}+\dfrac{4}{9t}-\dfrac{5}{9}} $ ，
其中 $ \dfrac{t}{9}+\dfrac{4}{9t}\geqslant 2\sqrt{\dfrac{t}{9}\cdot \dfrac{4}{9t}}=\dfrac{4}{9} $ ，当且仅当 $ \dfrac{t}{9}=\dfrac{4}{9t} $ ，即 $ t=2 $ 时，等号成立，
故 $ \dfrac{3x}{y}+\dfrac{1}{xy}=-3-\dfrac{1}{\dfrac{t}{9}+\dfrac{4}{9t}-\dfrac{5}{9}}\geqslant -3-\dfrac{1}{\dfrac{4}{9}-\dfrac{5}{9}}=6 $ ，此时 $ x=\dfrac{1}{3} $ , $ y=\dfrac{2}{3} $ .