2.3 二次函数与一元二次方程、不等式

由 $ {x}^{2}-2x-8 < 0 $ 即 $ (x+2)(x-4) < 0 $ ，解得 $ -2 < x < 4 $ .对比选项，只有 $ ｛x|2\leqslant x\leqslant 3｝ $ 是 $ ｛x|-2 < x < 4｝ $ 的真子集，可知不等式 $ {x}^{2}-2x-8 < 0 $ 成立的一个充分不必要条件是 $ 2\leqslant x\leqslant 3 $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

利用“ $ \mathrm{\Delta } $ ”判断.在不等式 $ {x}^{2}+6x+10 > 0 $ 中,对应一元二次方程的判别式 $ \mathrm{\Delta }={6}^{2}-40 < 0 $ , $ \therefore $ 该不等式的解集为 $ \boldsymbol{R} $ ,其他可类似判断.故选 $ \mathrm{C} $ .

由 $ {x}^{2}-2x-3\geqslant 0 $ 得 $ x\leqslant -1 $ 或 $ x\geqslant 3 $ ；

由 $ {x}^{2}-2x-3 < 5 $ 得 $ -2 < x < 4 $ .

$ \therefore -2 < x\leqslant -1 $ 或 $ 3\leqslant x < 4 $ .

$ \therefore $ 原不等式的解集为 $ ｛x|-2 < x\leqslant -1 $ 或 $ 3\leqslant x < 4｝ $ .

$ {x}^{2}-(a+\dfrac{1}{a})x+1 < 0 $ ，即 $ (x-a)\cdot (x-\dfrac{1}{a}) < 0 $ ，

令 $ (x-a)(x-\dfrac{1}{a})=0 $ ，解得 $ x=a $ 或 $ x=\dfrac{1}{a} $ ，且 $ a > 0 $ ，

若 $ a > 1 > \dfrac{1}{a} > 0 $ ，则不等式的解集为 $ ｛x|\dfrac{1}{a} < x < a｝ $ ，由题意可得 $ 1 < a\leqslant 2 $ ；

若 $ a=1 $ ，则不等式的解集为 $ \mathrm{⌀} $ ，不合题意；

若 $ 0 < a < 1 < \dfrac{1}{a} $ ，则不等式的解集为 $ ｛x|\dfrac{1}{a} < x < a｝ $ ，由题意可得 $ 1 < \dfrac{1}{a}\leqslant 2 $ ，解得 $ \dfrac{1}{2}\leqslant a < 1 $ .

综上所述，实数 $ a $ 的取值范围是 $ ｛a|\dfrac{1}{2}\leqslant a < 1 $ 或 $ 1 < a\leqslant 2｝ $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

当 $ a+1=0 $ ，即 $ a=-1 $ 时， $ {x}^{2} < 0 $ 的解集为 $ \mathrm{⌀} $   ， $ \mathrm{⌀}\subseteq ｛x|-1\leqslant x\leqslant 1｝ $ ，符合条件.

当 $ a+1 > 0 $ ，即 $ a > -1 $ 时，不等式 $ x[x-(a+1)] < 0 $ 的解集为 $ ｛x|0 < x < a+1｝ $ ，

所以 $ ｛x\left|0 < x < a+1｝\subseteq ｛x\right|-1\leqslant x\leqslant 1｝ $ ，所以 $ \begin{cases}a > -1,\\ a+1\leqslant 1,\end{cases} $ 解得 $ -1 < a\leqslant 0 $ .

当 $ a+1 < 0 $ 时，即 $ a < -1 $ ，不等式 $ x[x-(a+1)] < 0 $ 的解集为 $ ｛x|a+1 < x < 0｝ $ ，

所以 $ ｛x\left|a+1 < x < 0｝\subseteq ｛x\right|-1\leqslant x\leqslant 1｝ $ ，所以 $ \begin{cases}a < -1,\\ a+1\geqslant -1,\end{cases} $ 解得 $ -2\leqslant a < -1 $ .

综上， $ -2\leqslant a\leqslant 0 $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

选项 $ \mathrm{A} $ ，假设结论成立，则 $ \begin{cases}a=0,\\ 3b+3=0,\\ b > 0,\end{cases} $ 无解，故选项 $ \mathrm{A} $ 错误；

选项 $ \mathrm{B} $ ，当 $ a=1 $ ， $ b=0 $ 时，不等式 $ {x}^{2}+3 > 0 $ 恒成立，则解集是 $ \boldsymbol{R} $ ，故选项 $ \mathrm{B} $ 正确；

选项 $ \mathrm{C} $ ，当 $ x=0 $ 时， $ a{x}^{2}+bx+3=3 > 0 $ ，则解集不可能为 $ \mathrm{⌀} $   ，故选项 $ \mathrm{C} $ 错误；

选项 $ \mathrm{D} $ ，假设结论成立，则 $ \begin{cases}a < 0,\\ a-b+3=0,\\ 9a+3b+3=0,\end{cases} $

解得 $ \begin{cases}a=-1,\\ b=2,\end{cases} $ 符合题意，故选项 $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{B}\mathrm{D} $ .

因为关于 $ x $ 的一元二次不等式 $ a{x}^{2}+bx+c > 0 $ 的解集为 $ ｛x|x < \dfrac{1}{3} $ 或 $ x > \dfrac{1}{2}｝ $ ，所以 $ \dfrac{1}{2} $ , $ \dfrac{1}{3} $ 为关于 $ x $ 的一元二次方程 $ a{x}^{2}+bx+c=0 $ 的两根且 $ a > 0 $ ，

所以 $ \begin{cases}\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=-\dfrac{b}{a},\\ \dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{3}=\dfrac{c}{a},\end{cases} $

所以 $ b=-\dfrac{5}{6}a $ , $ c=\dfrac{1}{6}a $ ，则不等式 $ c{x}^{2}+bx+a < 0 $ ,即 $ \dfrac{1}{6}a{x}^{2}-\dfrac{5}{6}ax+a < 0 $ .因为 $ a > 0 $ ，所以 $ {x}^{2}-5x+6 < 0 $ ，即 $ (x-3)(x-2) < 0 $ ，解得 $ 2 < x < 3 $ ，所以不等式 $ c{x}^{2}+bx+a < 0 $ 的解集是 $ ｛x|2 < x < 3｝ $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

依题意可得方程 $ a{x}^{2}+bx+c=0 $ 的根为 $ x=-2 $ 或 $ x=1 $ ，且 $ a > 0 $ ,

所以 $ \begin{cases}-2+1=-\dfrac{b}{a},\\ -2×1=\dfrac{c}{a},\end{cases} $ 即 $ b=a $ , $ c=-2a $ .

对于 $ \mathrm{A} $ ，由 $ a > 0 $ 可得 $ b=a > 0 $ , $ c=-2a < 0 $ ，故 $ \mathrm{A} $ 正确；

对于 $ \mathrm{B} $ ，易知 $ 4a+2b+c=4a > 0 $ ，故 $ \mathrm{B} $ 错误；

对于 $ \mathrm{C} $ ，不等式 $ bx+c > 0 $ ，即 $ ax-2a > 0 $ ，可得 $ x > 2 $ ，所以不等式 $ bx+c > 0 $ 的解集为 $ ｛x|x > 2｝ $ ，故 $ \mathrm{C} $ 正确；

对于 $ \mathrm{D} $ ，不等式 $ c{x}^{2}-bx+a < 0 $ ，即 $ -2a{x}^{2}-ax+a < 0 $ ，即 $ 2{x}^{2}+x-1 > 0 $ ，所以 $ (2x-1)(x+1) > 0 $ ，解得 $ x > \dfrac{1}{2} $ 或 $ x < -1 $ ，即不等式 $ c{x}^{2}-bx+a < 0 $ 的解集为 $ ｛x|x < -1或x > \dfrac{1}{2}｝ $ ，故 $ \mathrm{D} $ 错误.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{C} $ .

因为关于 $ x $ 的不等式 $ ax-b > 0 $ 的解集为 $ ｛x|x > 1｝ $ ，所以 $ a=b > 0 $ ，所以不等式 $ \dfrac{ax+b}{x-2} > 0 $ 等价于 $ \dfrac{x+1}{x-2} > 0 $ ，即 $ (x+1)(x-2) > 0 $ ，解得 $ x < -1 $ 或 $ x > 2 $ .所以关于 $ x $ 的不等式 $ \dfrac{ax+b}{x-2} > 0 $ 的解集为 $ ｛x|x < -1 $ 或 $ x > 2｝ $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

由题意可得, $ {x}^{2}+px+q=(x+1)(x-2)={x}^{2}-x-2 $ ,即 $ p=-1 $ , $ q=-2 $ ,

则有 $ \dfrac{{x}^{2}+px-12}{x+q}=\dfrac{{x}^{2}-x-12}{x-2} > 0 $ ,即 $ ({x}^{2}-x-12)(x-2)=(x+3)(x-4)(x-2) > 0 $ ,解得 $ -3 < x < 2 $ 或 $ x > 4 $ ,即解集为 $ ｛x|-3 < x < 2 $ 或 $ x > 4｝ $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

因为 $ \dfrac{{\left(x+1 \right) ^ {2}} (5-x ) (x+2)^{3}}{{\left(x-1 \right) ^ {5}}}\geqslant 0 $ ，

所以 $ \begin{cases}{\left(x+1 \right) ^ {2}} (5-x ) (x+2)^{3} (x-1)^{5}\geqslant 0,\\ (x-1)^{5}\ne 0,\end{cases} $

即 $ \begin{cases}{\left(x+1 \right) ^ {2}} (x-5 ) (x+2)^{3} (x-1)^{5}\leqslant 0,\\ (x-1)^{5}\ne 0.\end{cases} $

令 $ (x+1)^{2} (x-5 ) (x+2)^{3} (x-1)^{5}=0 $ ，解得 $ {x}_{1}={x}_{2}={x}_{3}=-2 $ , $ {x}_{4}={x}_{5}=-1 $ , $ {x}_{6}={x}_{7}={x}_{8}={x}_{9}={x}_{10}=1 $ ， $ {x}_{11}=5 $ ，

采用“穿针引线法”，如图所示，

由图可得不等式的解集为 $ ｛x|x\leqslant -2 $ 或 $ x=-1 $ 或 $ 1 < x\leqslant 5｝ $ .

因为命题 $ p：\forall x\in \boldsymbol{R} $ ， $ a{x}^{2}+2x+3 > 0 $ 为真命题，所以不等式 $ a{x}^{2}+2x+3 > 0 $ 的解集为 $ \boldsymbol{R} $ .

若 $ a=0 $ ，则不等式 $ a{x}^{2}+2x+3 > 0 $ 可化为 $ 2x+3 > 0 $ ，解得 $ x > -\dfrac{3}{2} $ ，不等式的解集不是 $ \boldsymbol{R} $ ；

若 $ a\ne 0 $ ，则根据一元二次不等式解集的形式可知 $ \begin{cases}a > 0,\\ \mathrm{\Delta }={2}^{2}-12a < 0,\end{cases} $ 解得 $ a > \dfrac{1}{3} $ .

综上可知， $ a > \dfrac{1}{3} $ ，故选 $ \mathrm{D} $ .

因为不等式 $ {x}^{2}-(m+1)x+9\leqslant 0 $ 在集合 $ ｛x|1\leqslant x\leqslant 4｝ $ 上有解,所以 $ m+1\geqslant x+\dfrac{9}{x} $ 在集合 $ ｛x|1\leqslant x\leqslant 4｝ $ 上有解,所以 $ m+1\geqslant {(x+\dfrac{9}{x})}_{ \min }(x\in ｛x|1\leqslant x\leqslant 4｝) $ .

又因为 $ x+\dfrac{9}{x}\geqslant 2\sqrt{x\cdot \dfrac{9}{x}}=6 $ ,当且仅当 $ x=\dfrac{9}{x} $ ,即 $ x=3 $ 时取等号,

所以 $ m+1\geqslant 6 $ ,所以 $ m\geqslant 5 $ ,即实数 $ m $ 的最小值为5,故选 $ \mathrm{B} $ .

第一次稀释后，药液浓度为 $ \dfrac{V-5}{V} $ ，

第二次稀释后，药液浓度为 $ \dfrac{V-5-\dfrac{V-5}{V}×3}{V}=\dfrac{V+\dfrac{15}{V}-8}{V} $ ，

依题意有 $ \dfrac{V+\dfrac{15}{V}-8}{V}\leqslant 75\mathrm{\%} $ ，即 $ {V}^{2}-32V+60\leqslant 0 $ ，解得 $ 2\leqslant V\leqslant 30 $ ，

又 $ V-5\geqslant 0 $ ，即 $ V\geqslant 5 $ ，所以 $ 5\leqslant V\leqslant 30 $ .故选 $ \mathrm{C}\mathrm{D} $ .

依题意,每天有 $ (300-10x) $ 套礼服被租出,

该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入为

$ (300-10x)\cdot (200+10x)=-100{x}^{2}+1000x+60000 $ （元）.

因为要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元,

所以 $ -100{x}^{2}+1000x+60000 > 62400 $ ,

即 $ {x}^{2}-10x+24 < 0 $ ,解得 $ 4 < x < 6 $ .因为 $ 1\leqslant x\leqslant 20 $ 且 $ x\in \boldsymbol{Z} $ ,所以 $ x=5 $ ,

即该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为250元.

故选 $ \mathrm{C} $ .

①若 $ a=0 $ ,则 $ 1 < 0 $ 不成立,此时解集为空集；

②若 $ a\ne 0 $ ,则 $ \begin{cases}\mathrm{\Delta }={a}^{2}-4a\leqslant 0,\\ a > 0,\end{cases} $ 解得 $ 0 < a\leqslant 4 $ .

综上知 $ 0\leqslant a\leqslant 4 $ .

①当 $ m=0 $ 时, $ 3\ne 0 $ 恒成立,满足条件.

②当 $ m\ne 0 $ 时,则 $ \mathrm{\Delta }=16{m}^{2}-12m < 0 $ ,解得 $ 0 < m < \dfrac{3}{4} $ .

综上,实数 $ m $ 的取值范围是 $ ｛m|0\leqslant m < \dfrac{3}{4}｝ $ .

等式可化为 $ \begin{cases}x-2\ne 0,\\ \left(x-1\right)\left(x-3\right)\geqslant 0\end{cases} $ 或 $ x-2=0 $ ，解得 $ x\geqslant 3 $ 或 $ x\leqslant 1 $ 或 $ x=2 $ .

所以原不等式的解集为 $ ｛x|x\geqslant 3 $ 或 $ x\leqslant 1 $ 或 $ x=2｝ $ .

原不等式可化为 $ \begin{cases}\left(x-1\right)\left(x+2\right)\leqslant 0,\\ x\ne -2,\end{cases} $

解得 $ -2 < x\leqslant 1 $ ，所以原不等式的解集为 $ ｛x|-2 < x\leqslant 1｝ $ .

$ \because M=｛x|x\geqslant -1｝ $ , $ N=｛x|(x+2)(x-1) < 0｝=｛x|-2 < x < 1｝ $ ,

$ \therefore M\cap N=｛x|-1\leqslant x < 1｝ $ .

故选 $ \mathrm{D} $ .

由 $ \dfrac{x-2}{x+1}\geqslant 0⇒(x-2)(x+1)\geqslant 0 $ 且 $ x+1\ne 0 $ ，解得 $ x\geqslant 2 $ 或 $ x < -1 $ ，记不等式的解对应集合 $ A=｛x|x\geqslant 2 $ 或 $ x < -1｝ $ ，由 $ |2x-1|\geqslant 3⇒2x-1\geqslant 3 $ 或 $ 2x-1\leqslant -3 $ ，解得 $ x\geqslant 2 $ 或 $ x\leqslant -1 $ ，记不等式的解对应集合 $ B=｛x|x\geqslant 2 $ 或 $ x\leqslant -1｝ $ ，显然 $ A $ 是 $ B $ 的真子集，所以“ $ \dfrac{x-2}{x+1}\geqslant 0 $ ”是“ $ |2x-1|\geqslant 3 $ ”的充分不必要条件.故选 $ \mathrm{A} $ .

$ \because x\otimes (x-2)=x(x-2)+2x+x-2 < 0 $ , $ \therefore {x}^{2}+x-2 < 0 $ ,即 $ (x-1)(x+2) < 0 $ ,解得 $ -2 < x < 1 $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

当 $ a=0 $ 时，不等式 $ a{x}^{2}+2ax+3a-4 < 0 $ 化为 $ -4 < 0 $ ，对 $ x\in \boldsymbol{R} $ 恒成立；

当 $ a\ne 0 $ 时，要使得不等式 $ a{x}^{2}+2ax+3a-4 < 0 $ 对 $ x\in \boldsymbol{R} $ 恒成立，则 $ \begin{cases}a < 0,\\ \mathrm{\Delta }=4{a}^{2}-4a(3a-4) < 0,\end{cases} $ 解得 $ a < 0 $ .

综上， $ a $ 的取值集合为 $ ｛a|a\leqslant 0｝ $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

不等式 $ {x}^{2}-(a+1)x+a < 0 $ ,可化为 $ (x-a)(x-1) < 0 $ .

当 $ a=1 $ 时,不等式 $ {x}^{2}-(a+1)x+a < 0 $ 的解集为空集,不符合题意；

当 $ a > 1 $ 时,不等式 $ {x}^{2}-(a+1)x+a < 0 $ 的解集为 $ ｛x|1 < x < a｝ $ ,

要使不等式 $ {x}^{2}-(a+1)x+a < 0 $ 恰有四个整数解,则 $ 5 < a\leqslant 6 $ ;

当 $ a < 1 $ 时,不等式 $ {x}^{2}-(a+1)x+a < 0 $ 的解集为 $ ｛x|a < x < 1｝ $ ,

要使不等式 $ {x}^{2}-(a+1)x+a < 0 $ 恰有四个整数解,则 $ -4\leqslant a < -3 $ .

综上可得,实数 $ a $ 的取值范围是 $ ｛a|-4\leqslant a < -3 $ 或 $ 5 < a\leqslant 6｝ $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

由题设,不等式 $ a(x-1)\cdot (x+3)+2 > 0 $ ,即 $ a{x}^{2}+2ax-3a+2 > 0 $ 的解为 $ {x}_{1} < x < {x}_{2} $ , $ \therefore a < 0 $ ,则 $ \begin{cases}{x}_{1}+{x}_{2}=-2,\\ {x}_{1}{x}_{2}=\dfrac{2}{a}-3 < 0,\end{cases}\therefore {x}_{1}+{x}_{2}+2=0 $ , $ {x}_{1}{x}_{2}+3=\dfrac{2}{a} < 0 $ ,则 $ \mathrm{A} $ , $ \mathrm{D} $ 正确；

原不等式可化为 $ a(x-1)(x+3) > -2 $ ,令 $ y=a(x-1)(x+3) $ ,由题意可知函数图象开口向下,与 $ x $ 轴两交点的横坐标分别为 $ -3 $ 和1,与直线 $ y=-2 $ 两交点的横坐标分别为 $ {x}_{1} $ , $ {x}_{2} $ ,且 $ {x}_{1} < {x}_{2} $ ,作出大致图象如图所示, $ \therefore $ 由图知 $ {x}_{1} < -3 < 1 < {x}_{2} $ , $ |{x}_{1}-{x}_{2}| > 4 $ ,故 $ \mathrm{B} $ 错误, $ \mathrm{C} $ 正确.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{D} $ .

由 $ \dfrac{3}{4}{x}^{2}-3x+4\leqslant b $ ，得 $ 3{x}^{2}-12x+16-4b\leqslant 0 $ ，当 $ b < 1 $ 时， $ \mathrm{\Delta }=48(b-1) < 0 $ ，

从而不等式 $ a\leqslant \dfrac{3}{4}{x}^{2}-3x+4\leqslant b $ 的解集为 $ \mathrm{⌀} $ ，故 $ \mathrm{A} $ 正确.

在同一平面直角坐标系中作出函数 $ y=\dfrac{3}{4}{x}^{2}-3x+4=\dfrac{3}{4}{\left(x-2\right) ^ {2}}+1 $ 的图象及直线 $ y=a $ 和 $ y=b $ ，如图所示.

由图知，当 $ 1 < a < b $ 时，不等式 $ a\leqslant \dfrac{3}{4}{x}^{2}-3x+4\leqslant b $ 的解集为 $ ｛x|{x}_{A}\leqslant x\leqslant {x}_{C}｝\cup ｛x|{x}_{D}\leqslant x\leqslant {x}_{B}｝ $ 的形式，故 $ \mathrm{B} $ 错误.

当 $ a < b=1 $ 时，不等式 $ a\leqslant \dfrac{3}{4}{x}^{2}-3x+4\leqslant b $ 的解集为 $ ｛2｝ $ ， $ \mathrm{C} $ 正确.

由不等式 $ a\leqslant \dfrac{3}{4}{x}^{2}-3x+4\leqslant b $ 的解集恰好为 $ ｛x|a\leqslant x\leqslant b｝ $ ，可知 $ a\leqslant {y}_{ \min } $ ，即 $ a\leqslant 1 $ ，且 $ x=a $ ， $ x=b $ 时函数值均是 $ b $ ，得 $ \dfrac{3}{4}{b}^{2}-3b+4=b $ ，解得 $ b=\dfrac{4}{3} $ 或 $ b=4 $ ，当 $ b=\dfrac{4}{3} $ 时，由 $ \dfrac{3}{4}{a}^{2}-3a+4=b=\dfrac{4}{3} $ ，解得 $ a=\dfrac{4}{3} $ 或 $ a=\dfrac{8}{3} $ ，不满足 $ a\leqslant 1 $ ，不符合题意;

当 $ b=4 $ 时，由 $ \dfrac{3}{4}{a}^{2}-3a+4=b=4 $ ，解得 $ a=0 $ 或 $ a=4 $ ，只有 $ a=0 $ 满足 $ a\leqslant 1 $ ，所以 $ a=0 $ ，此时 $ b-a=4-0=4 $ ，故 $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{D} $ .

设正方形 $ MNPQ $ 的边长为 $ a\mathrm{m} $ ，则矩形 $ EFNM $ 的长 $ NF $ ，宽 $ MN $ 分别为 $ \dfrac{24-4a}{4}=(6-a)\mathrm{m} $ ， $ a\mathrm{m} $ ，所以 $ {S}_{正方形MNPQ}={a}^{2} $ ， $ 4{S}_{矩形EFNM}=4a(6-a) $ ， $ 4{S}_{△PGC}=4×\dfrac{1}{2}(6-a)^{2}=2(6-a)^{2} $ ，所以总造价 $ y=2000{a}^{2}+400a (6-a )+800 (6-a)^{2}\leqslant 24000 $ ，

且 $ 0 < a < 6 $ ，所以 $ 5{a}^{2}+a(6-a)+{2(6-a)}^{2}\leqslant 60 $ ，则 $ {a}^{2}-3a+2\leqslant 0 $ ，解得 $ 1\leqslant a\leqslant 2 $ ，

故 $ {a}_{ \min }=1 $ ，则正方形 $ MNPQ $ 周长的最小值为 $ 4\mathrm{m} $ .

由题意， $ \mathrm{\Delta }={a}^{2}-24 > 0 $ ，即 $ a > 2\sqrt{6} $ .

设不等式的解集为 $ ｛x|{x}_{1}\leqslant x\leqslant {x}_{2}｝ $ ，则 $ {x}_{1}+{x}_{2}=a $ ， $ {x}_{1}{x}_{2}=6 $ ，

则 $ {x}_{2}-{x}_{1}=\sqrt{{\left({x}_{1}+{x}_{2}\right) ^ {2}}-4{x}_{1}{x}_{2}}=\sqrt{{a}^{2}-24} $ .

因为不等式解集中有且仅有3个整数，所以 $ 2\leqslant {x}_{2}-{x}_{1} < 4 $ ，

即 $ 2\leqslant \sqrt{{a}^{2}-24} < 4 $ ，解得 $ 2\sqrt{7}\leqslant a < 2\sqrt{10} $ ，

所以 $ y={x}^{2}-ax+6 $ 的图象的对称轴 $ x=\dfrac{a}{2} $ 满足 $ \sqrt{7}\leqslant x=\dfrac{a}{2} < \sqrt{10} $ ，而 $ \sqrt{7} < 3 < \sqrt{10} $ ，即离对称轴最近的整数只有3，所以 $ n=3 $ ，所以三个整数解为2,3,4，

所以 $ \begin{cases}2\sqrt{7}\leqslant a < 2\sqrt{10},\\ 4-2a+6\leqslant 0,\\ 1-a+6 > 0,\\ 16-4a+6\leqslant 0,\\ 25-5a+6 > 0,\end{cases} $ 解得 $ \dfrac{11}{2}\leqslant a < \dfrac{31}{5} $ ,

即 $ a $ 的取值范围为 $ ｛a|\dfrac{11}{2}\leqslant a < \dfrac{31}{5}｝ $ .