第二章素养检测

因为 $ -3\leqslant a-2b\leqslant 1 $ ,所以 $ -6\leqslant 2(a-2b)\leqslant 2 $ .

因为 $ 3a-3b=(a+b)+2(a-2b) $ ，且 $ -1\leqslant a+b\leqslant 2 $ ,所以 $ -7\leqslant 3a-3b\leqslant 4 $ ,

所以 $ -\dfrac{7}{3}\leqslant a-b\leqslant \dfrac{4}{3} $ .故 $ a-b $ 的最大值为 $ \dfrac{4}{3} $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

不等式 $ 4+3x-{x}^{2} < 0 $ 可化为 $ {x}^{2}-3x-4 > 0 $ ，即 $ (x+1)(x-4) > 0 $ ，解得 $ x < -1 $ 或 $ x > 4 $ .故所求不等式的解集为 $ ｛x|x < -1 $ 或 $ x > 4｝ $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

$ \mathrm{①}{a}^{5}+{b}^{5}- ({a}^{3}{b}^{2}+{a}^{2}{b}^{3} )={a}^{3} ({a}^{2}-{b}^{2} )+{b}^{3} ({b}^{2}-{a}^{2} )= ({a}^{2}-{b}^{2} ) ({a}^{3}-{b}^{3} )= (a-b)^{2} (a+b ) ({a}^{2}+ab+{b}^{2} ) > 0 $ 不恒成立；

$ \mathrm{②} ({a}^{2}+{b}^{2} )-2 (a-b-1 )={a}^{2}-2a+{b}^{2}+2b+2={\left(a-1 \right) ^ {2}}+ (b+1)^{2}\geqslant 0 $ 恒成立；

③当 $ a=1 $ ， $ b=-1 $ 时, $ \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=-2 $ ，故 $ \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} > 2 $ 不恒成立.故选 $ \mathrm{B} $ .

由题意得，一元二次方程 $ a{x}^{2}-10x+6a=0 $ 的两根分别为2，3，

由根与系数的关系，可得 $ \begin{cases}2+3=\dfrac{10}{a},\\ 2×3=6,\end{cases} $ 得 $ a=2 $ ，则不等式 $ ({m}^{2}-2m-3){x}^{2}+(m+1)x+a > 0 $ ，

即 $ ({m}^{2}-2m-3){x}^{2}+(m+1)x+2 > 0 $ 对于任意的 $ x\in \boldsymbol{R} $ 恒成立，

等价于 $ \begin{cases}{m}^{2}-2m-3=0,\\ m+1=0\end{cases} $

或 $ \begin{cases}{m}^{2}-2m-3 > 0,\\ (m+1)^{2}-4×2 ({m}^{2}-2m-3 ) < 0,\end{cases} $

解得 $ m\leqslant -1 $ 或 $ m > \dfrac{25}{7} $ ，则实数 $ m $ 的取值范围为 $ ｛m|m\leqslant -1或m > \dfrac{25}{7}｝ $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

$ x+\dfrac{y}{4}=\dfrac{1}{2}(x+\dfrac{y}{4})(\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y})=\dfrac{1}{2}(1+1+\dfrac{y}{4x}+\dfrac{4x}{y})\geqslant \dfrac{1}{2}(1+1+2\sqrt{\dfrac{y}{4x}\cdot \dfrac{4x}{y}})=2 $ ,当且仅当 $ x=1 $ , $ y=4 $ 时等号成立.要使得不等式 $ x+\dfrac{y}{4} < {m}^{2}-m $ 有解,只需 $ {m}^{2}-m > 2 $ ,解得 $ m > 2 $ 或 $ m < -1 $ ,故选 $ \mathrm{D} $ .

因为 $ x\in A $ 是 $ x\in B $ 的必要条件，所以 $ B\subseteq A $ ，所以 $ \forall x\in ｛\mathrm{x}|1\leqslant x\leqslant 2｝ {\rm \mathit{,}} $ $ {x}^{2}+mx+n\leqslant 0 $ 恒成立.

所以 $ \begin{cases}1+m+n\leqslant 0,\\ 4+2m+n\leqslant 0,\end{cases} $ 即 $ \begin{cases}m+n\leqslant -1,\\ 2m+n\leqslant -4,\end{cases} $ 又 $ 3m+2n=(m+n)+(2m+n) $ ，

所以 $ 3m+2n\leqslant -5 $ ，当且仅当 $ m=-3 $ , $ n=2 $ 时取等号，所以 $ 3m+2n $ 的最大值为 $ -5 $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

因为 $ {x}^{2}-3xy-4{y}^{2}=1 $ ，所以 $ (x-4y)(x+y)=1 $ ，

令 $ \begin{cases}x-4y=m,\\ x+y=n,\end{cases} $ 则 $ \begin{cases}x=\dfrac{m+4n}{5},\\ y=\dfrac{n-m}{5},\end{cases} $ 因为 $ mn=1 $ ，所以 $ {x}^{2}+4{y}^{2}={\left(\dfrac{m+4n}{5}\right) ^ {2}}+4{\left(\dfrac{n-m}{5}\right) ^ {2}}=\dfrac{{m}^{2}+8mn+16{n}^{2}}{25}+\dfrac{4{m}^{2}-8mn+4{n}^{2}}{25}=\dfrac{5{m}^{2}+20{n}^{2}}{25}=\dfrac{{m}^{2}+4{n}^{2}}{5}\geqslant \dfrac{4mn}{5}=\dfrac{4}{5} $ ，当且仅当 $ m=2n $ ，即 $ \begin{cases}m=\sqrt{2},\\ n=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{cases} $ 或 $ \begin{cases}m=-\sqrt{2},\\ n=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{cases} $ 时等号成立，所以 $ {x}^{2}+4{y}^{2} $ 的最小值为 $ \dfrac{4}{5} $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

由 $ {x}^{2}+x-2 > 0 $ 可得 $ x > 1 $ 或 $ x < -2 $ ，所以 $ A=｛x|x < -2 $ 或 $ x > 1｝ $ .

因为 $ A\cap B $ 中有且只有两个正整数解，所以 $ A\cap B\ne \mathrm{⌀} $   ，对于方程 $ {x}^{2}-ax+1=0(a > 0) $ ，判别式 $ \Delta ={a}^{2}-4\geqslant 0 $ ，所以方程的两根分别为 $ {x}_{1}=\dfrac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2} $ ， $ {x}_{2}=\dfrac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2} $ ，

所以 $ B=｛x|\dfrac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}\leqslant x\leqslant \dfrac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}｝ $ .

因为 $ A\cap B $ 中有且只有两个正整数解，所以当 $ {x}_{1}=\dfrac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2} > 1 $ 时，解得 $ 0 < a < 2 $ ，此时 $ \Delta ={a}^{2}-4 < 0 $ ， $ B=\mathrm{⌀} $   ，不符合题意；

当 $ \dfrac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}\leqslant 1 $ 时，则 $ \begin{cases}\dfrac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}\leqslant 1,\\ 3\leqslant \dfrac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2} < 4,\end{cases} $

即 $ \begin{cases}a-2\leqslant \sqrt{{a}^{2}-4},\\ 6-a\leqslant \sqrt{{a}^{2}-4} < 8-a,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}a\geqslant 2,\\ a\geqslant \dfrac{10}{3},\\ a < \dfrac{17}{4},\end{cases} $

所以 $ \dfrac{10}{3}\leqslant a < \dfrac{17}{4} $ .

综上所述，实数 $ a $ 的取值范围为 $ \dfrac{10}{3}\leqslant a < \dfrac{17}{4} $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

对于 $ \mathrm{A} $ ， $ \because a > b > 0 $ ， $ m > 0 $ ， $ \therefore \dfrac{b+m}{a+m}-\dfrac{b}{a}=\dfrac{m(a-b)}{a(a+m)} > 0 $ ， $ \therefore \dfrac{b+m}{a+m} > \dfrac{b}{a} $ ，故 $ \mathrm{A} $ 错误；

对于 $ \mathrm{B} $ ， $ \because b > a > 0 $ ， $ m > 0 $ ， $ \therefore \dfrac{b+m}{a+m}-\dfrac{b}{a}=\dfrac{m(a-b)}{a(a+m)} < 0 $ ， $ \therefore \dfrac{b}{a} > \dfrac{b+m}{a+m} $ ，故 $ \mathrm{B} $ 正确；

对于 $ \mathrm{C} $ ， $ \because a > b > 0 $ ， $ c > d > 0 $ ， $ \therefore a-b > 0 $ ， $ c-d > 0 $ ，

$ \therefore \dfrac{b+c}{a+c}-\dfrac{b+d}{a+d}=\dfrac{(b+c)(a+d)-(b+d)(a+c)}{(a+c)(a+d)}=\dfrac{(a-b)(c-d)}{(a+c)(a+d)} > 0 $ ， $ \therefore \dfrac{b+d}{a+d} < \dfrac{b+c}{a+c} $ ，故 $ \mathrm{C} $ 正确；

对于 $ \mathrm{D} $ ， $ \because 0 < 1+a < 1+a+b $ ， $ 0 < 1+b < 1+a+b $ ， $ \therefore \dfrac{a}{1+a} > \dfrac{a}{1+a+b} $ ， $ \dfrac{b}{1+b} > \dfrac{b}{1+a+b} $ ，

$ \therefore \dfrac{a}{1+a}+\dfrac{b}{1+b} > \dfrac{a}{1+a+b}+\dfrac{b}{1+a+b}=\dfrac{a+b}{1+a+b} $ ，故 $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D} $ .

$ \mathrm{A} $ 选项，若 $ M=\mathrm{⌀} $ ，即一元二次不等式 $ a{x}^{2}+bx+c > 0 $ 无解，

则一元二次不等式 $ a{x}^{2}+bx+c\leqslant 0 $ 恒成立， $ \therefore a < 0 $ 且 $ {b}^{2}-4ac\leqslant 0 $ ，故 $ \mathrm{A} $ 正确；

$ \mathrm{B} $ 选项，令 $ \dfrac{a}{a\prime }=\dfrac{b}{b\prime }=\dfrac{c}{c\prime }=t(t\ne 0) $ ，则 $ a\prime =\dfrac{a}{t} $ , $ b\prime =\dfrac{b}{t} $ , $ c\prime =\dfrac{c}{t} $ ， $ \therefore a\prime {x}^{2}+b\prime x+c\prime > 0 $ 可化为 $ \dfrac{1}{t}(a{x}^{2}+bx+c) > 0 $ ，当 $ t < 0 $ 时， $ \dfrac{1}{t}(a{x}^{2}+bx+c) > 0 $ 可化为 $ a{x}^{2}+bx+c < 0 $ ，其解集不等于 $ M $ ，故 $ \mathrm{B} $ 错误；

$ \mathrm{C} $ 选项，若 $ M=｛x|-1 < x < 2｝ $ ，则 $ a < 0 $ ，且 $ -1 $ 和2是一元二次方程 $ a{x}^{2}+bx+c=0 $ 的两根，

$ \therefore -1+2=-\dfrac{b}{a} $ ，且 $ -1×2=\dfrac{c}{a} $ ， $ \therefore b=-a $ ， $ c=-2a $ ， $ \therefore $ 关于 $ x $ 的不等式 $ a({x}^{2}+1)+b(x-1)+c < 2ax $ 可化为 $ a({x}^{2}+1)-a(x-1)-2a < 2ax $ ，可化为 $ a({x}^{2}-3x) < 0 $ ， $ \because a < 0 $ ， $ \therefore {x}^{2}-3x > 0 $ ，解得 $ x < 0 $ 或 $ x > 3 $ ，即不等式 $ a({x}^{2}+1)+b(x-1)+c < 2ax $ 的解集为 $ N=｛x|x < 0 $ 或 $ x > 3｝ $ ，故 $ \mathrm{C} $ 正确；

$ \mathrm{D} $ 选项， $ \because M=｛x|x\ne {x}_{0} $ , $ {x}_{0} $ 为常数 $ ｝ $ ， $ \therefore a > 0 $ 且 $ {b}^{2}-4ac=0 $ ，

$ \therefore \dfrac{a+3b+4c}{b-a}=\dfrac{a+3b+\dfrac{{b}^{2}}{a}}{b-a} $ ，

$ \because b > a > 0 $ ， $ \therefore b-a > 0 $ ，令 $ b-a=t > 0 $ ，则 $ b=a+t $ ，

$ \therefore \dfrac{a+3b+\dfrac{{b}^{2}}{a}}{b-a}=\dfrac{a+3(a+t)+\dfrac{{\left(a+t\right) ^ {2}}}{a}}{t}=\dfrac{5a}{t}+\dfrac{t}{a}+5\geqslant 2\sqrt{\dfrac{5a}{t}\cdot \dfrac{t}{a}}+5=2\sqrt{5}+5 $ ，

当且仅当 $ t=\sqrt{5}a $ ，即 $ b=(1+\sqrt{5})a $ , $ c=\dfrac{(3+\sqrt{5})a}{2} $ ，且 $ a $ 为正数时，等号成立，所以 $ \dfrac{a+3b+4c}{b-a} $ 的最小值为 $ 5+2\sqrt{5} $ ，故 $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{D} $ .

对于 $ \mathrm{A} $ ，由 $ xy+x+y=8 $ ,可得 $ x+y=8-xy\geqslant 2\sqrt{xy} $ ，即 $ xy+2\sqrt{xy}-8\leqslant 0 $ ，即 $ (\sqrt{xy}-2)(\sqrt{xy}+4)\leqslant 0 $ ，解得 $ 0 < \sqrt{xy}\leqslant 2 $ ,所以 $ xy\leqslant 4 $ ，当且仅当 $ x=y=2 $ 时，等号成立，故 $ \mathrm{A} $ 正确；

对于 $ \mathrm{B} $ ，由 $ xy+x+y=8 $ ，可得 $ 8-(x+y)=xy\leqslant {\left(\dfrac{x+y}{2}\right) ^ {2}} $ ，即 $ (x+y)^{2}+4 (x+y )-32\geqslant 0 $ ，

解得 $ x+y\geqslant 4 $ 或 $ x+y\leqslant -8 $ （舍），当且仅当 $ x=y=2 $ 时等号成立，因此 $ x+y $ 的最小值为4，故 $ \mathrm{B} $ 错误；

对于 $ \mathrm{C} $ ，易知 $ xy+x+y+1=9 $ ，即 $ (x+1)(y+1)=9 $ ，因此 $ 2x+y=2(x+1)+(y+1)-3\geqslant 2\sqrt{2(x+1)(y+1)}-3=6\sqrt{2}-3 $ ，

当且仅当 $ 2(x+1)=y+1 $ ，即 $ x=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}-1 $ , $ y=3\sqrt{2}-1 $ 时等号成立，故 $ \mathrm{C} $ 正确；

对于 $ \mathrm{D} $ ，由 $ xy+x+y=8 $ ，易得 $ x(y+1)+y=8 $ ，所以 $ \dfrac{1}{x(y+1)}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{8}[\dfrac{1}{x(y+1)}+\dfrac{1}{y}]\cdot [x(y+1)+y]=\dfrac{1}{8}[1+\dfrac{y}{x(y+1)}+\dfrac{x(y+1)}{y}+1]\geqslant \dfrac{1}{8}[2+2\sqrt{\dfrac{y}{x(y+1)}\cdot \dfrac{x(y+1)}{y}}]=\dfrac{1}{2} $ ，

当且仅当 $ \dfrac{y}{x(y+1)}=\dfrac{x(y+1)}{y} $ ，即 $ x=\dfrac{4}{5} $ , $ y=4 $ 时，等号成立，故 $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{D} $ .

因为关于 $ x $ 的不等式 $ -{x}^{2}+4x\geqslant {a}^{2}-3a $ 在 $ \boldsymbol{R} $ 上有解, $ y=-{x}^{2}+4x=-{\left(x-2\right) ^ {2}}+4 $ 的最大值为4,所以 $ {a}^{2}-3a\leqslant 4 $ ,解得 $ -1\leqslant a\leqslant 4 $ .

设矩形相邻两边的长分别为 $ x\mathrm{c}\mathrm{m} $ , $ y\mathrm{c}\mathrm{m} $ ,

则 $ x > 0 $ , $ y > 0 $ 且 $ x+y=\dfrac{18}{2}=9 $ ,

不妨设以长度为 $ x\mathrm{c}\mathrm{m} $ 的边进行旋转,

则圆柱的体积 $ V=\mathrm{\pi }\cdot x{y}^{2}=4\mathrm{\pi }\cdot x\cdot $ $ \dfrac{y}{2}\cdot \dfrac{y}{2}\leqslant 4\mathrm{\pi }\cdot {\left(\dfrac{\dfrac{1}{2}y+\dfrac{1}{2}y+x}{3}\right) ^ {3}}=4\mathrm{\pi }\cdot {\left(\dfrac{x+y}{3}\right) ^ {3}}=108\mathrm{\pi }({\mathrm{c}\mathrm{m}}^{3}) $ ,

当且仅当 $ \dfrac{1}{2}y=x $ ,即 $ x=3 $ , $ y=6 $ 时取等号,

所以当矩形的长是 $ 6\mathrm{c}\mathrm{m} $ 时,圆柱的体积最大,为 $ 108\mathrm{\pi }{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{3} $ .

因为 $ {a}^{2}-ab+9{b}^{2}-5c=0 $ ,所以 $ \dfrac{c}{ab}=\dfrac{1}{5}\cdot \dfrac{{a}^{2}-ab+9{b}^{2}}{ab}=\dfrac{1}{5}(\dfrac{a}{b}+\dfrac{9b}{a}-1)\geqslant \dfrac{1}{5}(2\sqrt{\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{9b}{a}}-1)=1 $ ,当且仅当 $ \dfrac{a}{b}=\dfrac{9b}{a} $ ,即 $ a=3b $ 时,等号成立.

当 $ a=3b $ 时, $ c=3{b}^{2} $ , $ a+b-\dfrac{1}{3}c=-{b}^{2}+4b=-(b-2)^{2}+4 $ ,所以当 $ b=2 $ 时, $ a+b-\dfrac{1}{3}c $ 取得最大值4.所以由 $ {m}^{2}-3m\geqslant a+b-\dfrac{1}{3}c $ 恒成立可得 $ {m}^{2}-3m\geqslant 4 $ ,解得 $ m\geqslant 4 $ 或 $ m\leqslant -1 $ ,故实数 $ m $ 的取值范围是 $ ｛m|m\leqslant -1 $ 或 $ m\geqslant 4｝ $ .

（1）设 $ DN=x\left ( { x > 0 } \right ) ,BM=y\left ( { y > 0 } \right ) $ ，则由 $ \vartriangle NDC $ 与 $ \mathrm{ △ }NAM $ 相似得

$ \dfrac { x } { x+2 }=\dfrac { 3 } { 3+y } $ ，整理得 $ y=\dfrac { 6 } { x } $ ，

矩形 $ AMPN $ 的面积 $ S=AN\cdot AM=\left ( { x+2 } \right ) \left ( { 3+\dfrac { 6 } { x } } \right ) $ ，

即 $ S=3x+\dfrac { 12 } { x }+12 $ ，

当 $ S > 32 $ 时，得 $ 3x+\dfrac { 12 } { x }+12 > 32 $ ，整理得 $ \left ( { 3x-2 } \right ) \left ( { x-6 } \right ) > 0 $ ，

解得 $ x > 6 $ ，或 $ x < \dfrac { 2 } { 3 } $ ，又 $ x > 0 $ ，

所以 $ DN $ 的长应在 $ \left ( { 0,\dfrac { 2 } { 3 } } \right ) \cup \left ( { 6,+∞ } \right ) $ ；

（2） $ x > 0 $ 时， $ 3x+\dfrac { 12 } { x }\geqslant 2\sqrt { 3x\cdot \dfrac { 12 } { x } }=12 $ ，

当且仅当 $ 3x=\dfrac { 12 } { x } $ 即 $ x=2 $ 时等号成立，

所以 $ S\geqslant 12+12=24 $ ，

所以，当 $ DN $ 的长为 $ 2 $ 米，矩形花坛 $ AMPN $ 的面积最小，最小值 $ 24 $ 平方米.