1．（多选）下列说法正确的是（ ）（多选）
A．函数就是两个集合之间的对应关系
B．若函数的值域只含有一个元素，则定义域也一定只含有一个元素
C．若 $ f(x)=2(1 < x < 4) $ ，则 $ f(\mathrm{\pi })=2 $ 一定成立
D．若两个函数相等，则这两个函数的定义域和对应关系一定相同
$ \mathrm{A} $ ，由函数的定义可知，必须是两个非空数集，故 $ \mathrm{A} $ 不正确；
$ \mathrm{B} $ ，设函数 $ y={x}^{2}(x\in ｛1,-1｝) $ ，显然值域为 $ ｛1｝ $ ，故 $ \mathrm{B} $ 不正确；
$ \mathrm{C} $ ，因为 $ \mathrm{\pi }\in (1,4) $ ，所以 $ f(\mathrm{\pi })=2 $ ，故 $ \mathrm{C} $ 正确；
$ \mathrm{D} $ ，由相等函数的定义可知 $ \mathrm{D} $ 正确，故选 $ \mathrm{C}\mathrm{D} $ .
2．已知集合 $ A=｛(x,y)|y=f(x) $ , $ x\in D｝ $ , $ B=｛(x,y)|x=a $ , $ a\in \boldsymbol{R}｝ $ ，则 $ A\cap B $ 中的元素有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．至多1个
集合 $ A $ 是由函数 $ y=f(x) $ 的图象上的点组成的集合,集合 $ B $ 是直线 $ x=a $ 上的点组成的集合,
当 $ a\in D $ 时, $ y=f(a) $ 是唯一确定的值,当 $ a\notin D $ 时, $ y=f(a) $ 不存在,
所以直线 $ x=a $ 与函数 $ y=f(x) $ 的图象至多只有一个交点,即集合 $ A\cap B $ 中至多有1个元素.故选 $ \mathrm{D} $ .
3．若函数 $ y=f(x) $ 的定义域为 $ M=｛x|-2\leqslant x\leqslant 2｝ $ ，值域为 $ N=｛y|0\leqslant y\leqslant 2｝ $ ，则函数 $ y=f(x) $ 的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
由函数 $ y=f(x) $ 的定义域为 $ M=｛x|-2\leqslant x\leqslant 2｝ $ ，值域为 $ N=｛y|0\leqslant y\leqslant 2｝ $ 可知，
$ \mathrm{A} $ 中图象对应函数的定义域为 $ [-2,0] $ ，不满足题意；
$ \mathrm{B} $ 中图象对应函数的定义域为 $ (-2,2] $ ，值域为 $ [0,2) $ ，不满足题意；
$ \mathrm{C} $ 中图象满足题目要求；
$ \mathrm{D} $ 中的图象不是函数的图象.故选 $ \mathrm{C} $ .
4．函数 $ f(x)=\dfrac{{\left(2x-1\right) ^ {0}}}{\sqrt{2-x}} $ 的定义域为（ ）
A． $ (-\mathrm{\infty },2] $
B． $ (-\mathrm{\infty },2) $
C． $ (-\mathrm{\infty },\dfrac{1}{2})\cup (\dfrac{1}{2},2] $
D． $ (-\mathrm{\infty },\dfrac{1}{2})\cup (\dfrac{1}{2},2) $
由题意可得 $ \begin{cases}2-x > 0,\\ 2x-1\ne 0,\end{cases} $ 解得 $ x < 2 $ 且 $ x\ne \dfrac{1}{2} $ ，故选 $ \mathrm{D} $ .
5．已知函数 $ y=f(x) $ 的定义域为 $ [-2,3] $ ，则函数 $ y=\dfrac{f(2x+1)}{x+1} $ 的定义域为（ ）
A． $ [-\dfrac{3}{2},1] $
B． $ [-\dfrac{3}{2},-1)\cup (-1,1] $
C． $ [-3,7] $
D． $ [-3,-1)\cup (-1,7] $
由题意得 $ -2\leqslant 2x+1\leqslant 3 $ ，解得 $ -\dfrac{3}{2}\leqslant x\leqslant 1 $ ，由 $ x+1\ne 0 $ ，解得 $ x\ne -1 $ ，
所以函数 $ y=\dfrac{f(2x+1)}{x+1} $ 的定义域是 $ [-\dfrac{3}{2} $ , $ -1 )\cup (-1,1 ] $ ，故选 $ \mathrm{B} $ .
6．若函数 $ f(x)=\sqrt{m{x}^{2}+2mx+4} $ 的定义域为 $ \boldsymbol{R} $ ，则实数 $ m $ 的取值范围为（ ）
A． $ (0,4) $
B． $ [0,4] $
C． $ [0,4) $
D． $ (-\mathrm{\infty },0]\cup (4,+\mathrm{\infty }) $
因为 $ f(x) $ 的定义域为 $ \boldsymbol{R} $ ,所以 $ m{x}^{2}+2mx+4\geqslant 0 $ 恒成立.
当 $ m=0 $ 时,显然成立；
当 $ m\ne 0 $ 时,有 $ \begin{cases}m > 0,\\ \mathrm{\Delta }=4{m}^{2}-16m\leqslant 0,\end{cases} $ 解得 $ 0 < m\leqslant 4 $ .
综上可得,实数 $ m $ 的取值范围为 $ [0,4] $ .故选 $ \mathrm{B} $ .
7．已知函数 $ f(x)=\dfrac{1}{x-4} $ ，若 $ f(a)=2 $ ，则 $ a $ 的值为（ ）
A． $ \dfrac{9}{2} $
B． $ \dfrac{7}{2} $
C． $ \dfrac{5}{2} $
D． $ -\dfrac{1}{2} $
由 $ f(a)=2 $ ,得 $ \dfrac{1}{a-4}=2 $ ,解得 $ a=\dfrac{9}{2} $ .故选 $ \mathrm{A} $ .
8．下列函数中，值域为 $ [0,4] $ 的是（ ）
A． $ f(x)=x-1 $ ， $ x\in ｛1,2,3,4,5｝ $
B． $ f(x)=-{x}^{2}+4 $
C． $ f(x)=\sqrt{16-{x}^{2}} $
D． $ f(x)=x+\dfrac{1}{x}-2(x > 0) $
对于 $ \mathrm{A} $ ， $ f(x) $ 的值域为 $ ｛0,1,2,3,4｝ $ ， $ \mathrm{A} $ 错误；
对于 $ \mathrm{B} $ ， $ f(x) $ 的值域为 $ (-\mathrm{\infty },4] $ ， $ \mathrm{B} $ 错误；
对于 $ \mathrm{C} $ ，由 $ 16-{x}^{2}\geqslant 0 $ 得 $ -4\leqslant x\leqslant 4 $ ，即 $ f(x) $ 的定义域为 $ [-4,4] $ ，当 $ x\in [-4,4] $ 时， $ 16-{x}^{2}\in [0,16] $ ， $ \therefore f(x)\in [0,4] $ ， $ \mathrm{C} $ 正确；
对于 $ \mathrm{D} $ ，当 $ x > 0 $ 时， $ x+\dfrac{1}{x}\geqslant 2 $ ，当且仅当 $ x=1 $ 时取等号， $ \therefore f(x)\in [0,+\mathrm{\infty }) $ ， $ \mathrm{D} $ 错误.故选 $ \mathrm{C} $ .
9．函数 $ y=\dfrac{3{x}^{2}-3x+4}{{x}^{2}-x+1} $ 的值域为（ ）
A． $ (-\mathrm{\infty },\dfrac{13}{3}] $
B． $ (3,\dfrac{13}{3}] $
C． $ (0,\dfrac{13}{3}] $
D． $ [3,\dfrac{13}{3}] $
由 $ y=\dfrac{3{x}^{2}-3x+4}{{x}^{2}-x+1} $ 可得 $ y=3+\dfrac{1}{{x}^{2}-x+1} $ ,
由于函数 $ f(x)={x}^{2}-x+1={\left(x-\dfrac{1}{2}\right) ^ {2}}+\dfrac{3}{4}\geqslant \dfrac{3}{4} $ ,所以 $ 0 < \dfrac{1}{{x}^{2}-x+1}\leqslant \dfrac{4}{3} $ ,
故 $ y=3+\dfrac{1}{{x}^{2}-x+1}\in (3,\dfrac{13}{3}] $ ,故选 $ \mathrm{B} $ .
10．已知函数 $ f(x)=\sqrt{a{x}^{2}+bx+c} $ 的定义域与值域均为 $ [0,4] $ ，则实数 $ a $ 的值为（ ）
A． $ -4 $
B． $ -2 $
C． $ -1 $
D．1
$ \because a{x}^{2}+bx+c\geqslant 0 $ 的解集为 $ [0,4] $ , $ \therefore $ 方程 $ a{x}^{2}+bx+c=0 $ 的解为 $ x=0 $ 或 $ x=4 $ ,且 $ a < 0 $ , $ \therefore c=0 $ , $ b=-4a $ ,
$ \therefore f (x )=\sqrt{a{x}^{2}-4ax}=\sqrt{a (x-2)^{2}-4a} $ .
又 $ \because $ 函数 $ f(x) $ 的值域为 $ [0,4] $ ,
$ \therefore \sqrt{-4a}=4 $ , $ \therefore a=-4 $ .故选 $ \mathrm{A} $ .
11．已知函数 $ f(x) $ 的定义域为 $ (2,+\mathrm{\infty }) $ ，值域为 $ \boldsymbol{R} $ ，则（ ）
A．函数 $ f({x}^{2}+2) $ 的定义域为 $ \boldsymbol{R} $
B．函数 $ f({x}^{2}+2)-2 $ 的值域为 $ \boldsymbol{R} $
C．函数 $ f({x}^{2}+2x+3) $ 的定义域和值域都是 $ \boldsymbol{R} $
D．函数 $ f(f(x)) $ 的定义域和值域都是 $ \boldsymbol{R} $
对于 $ \mathrm{A} $ 选项,令 $ {x}^{2}+2 > 2 $ ，可得 $ x\ne 0 $ ，所以函数 $ f({x}^{2}+2) $ 的定义域为 $ ｛x|x\ne 0｝ $ ，故 $ \mathrm{A} $ 错误；
对于 $ \mathrm{B} $ 选项,因为 $ f(x) $ 的值域为 $ \boldsymbol{R} $ , $ {x}^{2}+2\geqslant 2 $ ，即 $ {x}^{2}+2 $ 可取遍 $ (2,+\mathrm{\infty }) $ 内的所有数，所以 $ f({x}^{2}+2) $ 的值域为 $ \boldsymbol{R} $ ，可得函数 $ f({x}^{2}+2)-2 $ 的值域也为 $ \boldsymbol{R} $ ，故 $ \mathrm{B} $ 正确；
对于 $ \mathrm{C} $ 选项,令 $ {x}^{2}+2x+3={\left(x+1\right) ^ {2}}+2 > 2 $ ，得 $ x\ne -1 $ ，所以函数 $ f({x}^{2}+2x+3) $ 的定义域为 $ ｛x|x\ne -1｝ $ ，故 $ \mathrm{C} $ 错误；
对于 $ \mathrm{D} $ 选项,函数 $ f(f(x)) $ 的定义域为 $ \begin{cases}x > 2,\\ f(x) > 2\end{cases} $ 的解集，故函数 $ f(f(x)) $ 的定义域不为 $ \boldsymbol{R} $ ,故 $ \mathrm{D} $ 错误.故选 $ \mathrm{B} $ .
12．下列四个函数中，与 $ y=2x $ 表示同一个函数的是（ ）
A． $ y=2\left | { x } \right | $
B． $ y=\sqrt { 4x{^{2}} } $
C． $ y=\dfrac { 2x{^{2}} } { x } $
D． $ y=\sqrt[3] { 8x{^{3}} } $
对于 $ {\rm A，} y=2\left | { x } \right | $ 和 $ y=2x $ 的对应关系不相同，不是同一个函数，故选项A不符合；
对于 $ {\rm B，} y=\sqrt { 4x{^{2}} }=2\left | { x } \right | $ 和 $ y=2x $ 的对应关系不相同，不是同一个函数，故选项B不符合；
对于C，函数 $ y=\dfrac { 2x{^{2}} } { x } $ 的定义域为 $ \left \{\left . { x } \right | x\ne 0\right \} $ ，函数 $ y=2x $ 的定义域为 $ { \mathbf{ R } } $ ，定义域不同，
不是同一个函数，故选项C不符合；
对于D，函数 $ y=\sqrt[3] { 8x{^{3}} }=2x $ 的定义域和对应关系与 $ y=2x $ 都相同，是同一个函数，故选项D符合.
故选D.
13．下列选项中表示同一函数的是（ ）
A． $ f(x)={x}^{0} $ 与 $ g(x)=1 $
B． $ f(x)=x-1 $ 与 $ g(x)=\dfrac{{x}^{2}}{x}-1 $
C． $ f(x)={x}^{2} $ 与 $ g(x)=|x| $
D． $ f(x)={x}^{2}-2x+1 $ 与 $ g(t)={t}^{2}-2t+1 $
$ f(x)={x}^{0}=1 $ , $ x\ne 0 $ 与 $ g(x)=1 $ , $ x\in \boldsymbol{R} $ 的定义域不同,故 $ \mathrm{A} $ 错误；
$ f(x)=x-1 $ , $ x\in \boldsymbol{R} $ 与 $ g(x)=\dfrac{{x}^{2}}{x}-1 $ , $ x\ne 0 $ 的定义域不同,故 $ \mathrm{B} $ 错误；
$ f(x)={x}^{2} $ 与 $ g(x)=|x| $ 的对应关系不同,故 $ \mathrm{C} $ 错误；
$ f(x)={x}^{2}-2x+1 $ , $ x\in \boldsymbol{R} $ 与 $ g(t)={t}^{2}-2t+1 $ , $ t\in \boldsymbol{R} $ 的定义域和对应关系均相同,为同一函数,故 $ \mathrm{D} $ 正确.
故选 $ \mathrm{D} $ .
14．集合 $ A=｛x|0\leqslant x\leqslant 4｝ $ , $ B=｛y|0\leqslant y\leqslant 2｝ $ ，下列对应关系不能表示从 $ A $ 到 $ B $ 的函数的是（ ）
A． $ f:x\to y=\dfrac{1}{2}x $
B． $ f:x\to y=\dfrac{1}{3}x $
C． $ f:x\to y=\dfrac{2}{3}x $
D． $ f:x\to y=\sqrt{x} $
$ \mathrm{A} $ 选项， $ y=\dfrac{1}{2}x $ ，当 $ 0\leqslant x\leqslant 4 $ 时， $ 0\leqslant y\leqslant 2 $ ，且对每一个 $ x $ ，都有唯一确定的 $ y $ 与其对应，故 $ \mathrm{A} $ 能表示从 $ A $ 到 $ B $ 的函数， $ \mathrm{A} $ 正确；
$ \mathrm{B} $ 选项， $ y=\dfrac{1}{3}x $ ,当 $ 0\leqslant x\leqslant 4 $ 时， $ y\in [0,\dfrac{4}{3}]\subseteq [0,2] $ ，且对每一个 $ x $ ，都有唯一确定的 $ y $ 与其对应，故 $ \mathrm{B} $ 能表示从 $ A $ 到 $ B $ 的函数， $ \mathrm{B} $ 正确；
$ \mathrm{C} $ 选项， $ y=\dfrac{2}{3}x $ ，当 $ 0\leqslant x\leqslant 4 $ 时， $ y\in [0 $ , $ \dfrac{8}{3} ]\supseteq [0,2 ] $ ，故 $ \mathrm{C} $ 不能表示从 $ A $ 到 $ B $ 的函数， $ \mathrm{C} $ 不正确；
$ \mathrm{D} $ 选项， $ y=\sqrt{x} $ ，当 $ 0\leqslant x\leqslant 4 $ 时， $ y\in [0,2] $ ，
且对每一个 $ x $ ，都有唯一确定的 $ y $ 与其对应，故 $ \mathrm{D} $ 能表示从 $ A $ 到 $ B $ 的函数， $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{C} $ .
15．若函数 $ f(2x+1)={x}^{2}-2x $ ，则 $ f(5)= $ （ ）
A． $ -1 $
B．0
C．1
D．3
$ f(2x+1)={x}^{2}-2x $ ,令 $ x=2 $ ,得 $ f(5)={2}^{2}-4=0 $ .故选 $ \mathrm{B} $ .
16．有如下对应关系：
（1） $ A=｛0 $ ， $ 2｝ $ ， $ B=｛0 $ ， $ 1｝ $ ， $ f：x\to \dfrac{x}{2} $ ；
（2） $ A=｛-2 {\rm ，0} $ ， $ 2｝ $ ， $ B=｛4｝ $ ， $ f：x\to {x}^{2} $ ；
（3） $ A=\boldsymbol{R} $ ， $ B=｛y|y > 0｝ $ ， $ f：x\to \dfrac{1}{{x}^{2}} $ ；
（4） $ A=\boldsymbol{R} $ ， $ B=\boldsymbol{R} $ ， $ f：x\to 2x+1 $ ；
（5） $ A=｛(x,y)|x $ ， $ y\in \boldsymbol{R}｝ $ ， $ B=\boldsymbol{R} $ ， $ f：(x,y)\to x+y $ .
其中能构成从集合 $ A $ 到集合 $ B $ 的函数的有 .（填序号）
$ (1)(4) $
（1）由函数的定义知,满足题意；
（2）当 $ x=0 $ 时, $ B $ 中不存在元素与之对应,不满足题意；
（3）当 $ x=0 $ 时, $ \dfrac{1}{{x}^{2}} $ 没有意义，不满足题意；
（4）由函数的定义知,满足题意；
（5）集合 $ A $ 不是数集,故不满足题意.
17．若函数 $ f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{k{x}^{2}+kx+1}} $ 的定义域为 $ \boldsymbol{R} $ ，则实数 $ k $ 的取值范围是（ ）
A． $ (0,4) $
B． $ (0,4] $
C． $ [0,4) $
D． $ (-\mathrm{\infty },0)\cup (4,+\mathrm{\infty }) $
由题意知，当 $ x\in \boldsymbol{R} $ 时，不等式 $ k{x}^{2}+kx+1 > 0 $ 恒成立.
当 $ k=0 $ 时， $ 1 > 0 $ 恒成立；
当 $ k\ne 0 $ 时，则需满足 $ \begin{cases}k > 0,\\ \mathrm{\Delta }={k}^{2}-4k < 0,\end{cases} $ 解得 $ 0 < k < 4 $ .
综上可得 $ k $ 的取值范围是 $ [0,4) $ .故选 $ \mathrm{C} $ .
18．函数 $ f(x)={x}^{2}-2x $ , $ x\in [-1,2] $ 的值域为（ ）
A． $ [-1,3] $
B． $ [-1,0] $
C． $ [0,3] $
D． $ [-1,2] $
因为 $ f(x)={x}^{2}-2x $ ,图象的对称轴为直线 $ x=1 $ ，所以当 $ x=1 $ 时, $ f(x) $ 取最小值 $ -1 $ .当 $ x=-1 $ 时, $ f(-1)=3 $ ，当 $ x=2 $ 时, $ f(2)=0 $ ，因此函数 $ f(x)={x}^{2}-2x $ , $ x\in [-1,2] $ 的值域为 $ [-1,3] $ ，故选 $ \mathrm{A} $ .
19．若函数 $ f(x) $ 的定义域是 $ [2,5] $ ，则函数 $ y=\dfrac{f(2x-3)}{\sqrt{{x}^{2}-2x-3}} $ 的定义域是 .
$ (3,4] $
由题意得函数 $ f(x) $ 的定义域是 $ [2,5] $ ，
令 $ t=2x-3 $ ，所以 $ 2\leqslant t\leqslant 5 $ ，即 $ 2\leqslant 2x-3\leqslant 5 $ ，解得 $ \dfrac{5}{2}\leqslant x\leqslant 4 $ .
由 $ {x}^{2}-2x-3 > 0 $ ，解得 $ x < -1 $ 或 $ x > 3 $ ，
所以函数 $ y=\dfrac{f(2x-3)}{\sqrt{{x}^{2}-2x-3}} $ 的定义域为 $ (3,4] $ .
20．已知函数f(x+1)的定义域为[−2,3],则函数f $ (\dfrac{1}{x}+1) $ 的定义域为 .
$ (-\infty ,-\dfrac{1}{2}] $ ∪ $ [\dfrac{1}{3},+\infty ) $
已知函数f(x+1)的定义域为[−2,3],所以函数f(x)的定义域为[−1,4].在函数f $ (\dfrac{1}{x}+1) $ 中, $ {\rm -1\leqslant } \dfrac{1}{x} {\rm +1\leqslant 4,-2\leqslant } $ $ \dfrac{1}{x} {\rm \leqslant 3} $ ,所以 $ {\rm \mathit{x}\leqslant -} \dfrac{1}{2} $ 或 $ {\rm \mathit{x}\geqslant } \dfrac{1}{3} $ ,所以函数 f 
$ \dfrac{1}{x} {\rm +1} $ 
的定义域为
$ {\rm -∞,-} \dfrac{1}{2} $ 
∪
$ \dfrac{1}{3} {\rm ,+∞} $ 
.
1．已知集合 $ A=｛1,2｝ $ ， $ B=｛4,5,6｝ $ ，则从 $ A $ 到 $ B $ 的函数 $ f(x) $ 有（ ）
A．8个
B．6个
C．7个
D．9个
集合 $ A=｛1,2｝ $ 中有两个元素,若在集合 $ B $ 中都对应相同的元素,则有3种情况： $ f(1)=4 $ , $ f(2)=4 $ ； $ f(1)=5 $ , $ f(2)=5 $ ； $ f(1)=6 $ , $ f(2)=6 $ .
若在集合 $ B $ 中都对应不同的元素,则有6种情况： $ f(1)=4 $ , $ f(2)=5 $ ； $ f(1)=5 $ , $ f(2)=4 $ ； $ f(1)=4 $ , $ f(2)=6 $ ； $ f(1)=6 $ , $ f(2)=4 $ ； $ f(1)=5 $ , $ f(2)=6 $ ； $ f(1)=6 $ , $ f(2)=5 $ .所以从 $ A $ 到 $ B $ 的函数 $ f(x) $ 有9个.故选 $ \mathrm{D} $ .
2．已知集合 $ A=｛x|y=\sqrt{x-2}｝ $ ， $ B=｛y|y={x}^{2}+1｝ $ ，则（ ）
A． $ A\cap B=\mathrm{⌀} $
B． $ A\cap B=A $
C． $ A\cup B=A $
D． $ {\complement }_{\boldsymbol{R}}B\subseteq A $
由 $ y=\sqrt{x-2} $ 有意义，可得 $ x\geqslant 2 $ ，即 $ A=[2,+\mathrm{\infty }) $ ，
由 $ y={x}^{2}+1\geqslant 1 $ ，可得 $ B=[1,+\mathrm{\infty }) $ ，
故 $ A\cap B=[2,+\mathrm{\infty })=A $ ，故 $ \mathrm{A} $ 错误， $ \mathrm{B} $ 正确；
$ A\cup B=[1,+\mathrm{\infty })=B $ ，故 $ \mathrm{C} $ 错误；
$ {\complement }_{\boldsymbol{R}}B=(-\mathrm{\infty },1) $ 显然不是集合 $ A $ 的子集，故 $ \mathrm{D} $ 错误.故选 $ \mathrm{B} $ .
3．已知 $ f(x) $ 的定义域为 $ (1,3) $ ，则 $ f(\dfrac{1}{x})+f(x+\dfrac{5}{2}) $ 的定义域为（ ）
A． $ (\dfrac{1}{3},1) $
B． $ (\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{2}] $
C． $ (\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{2}) $
D． $ (\dfrac{1}{2},1) $
因为 $ f(x) $ 的定义域为 $ (1,3) $ ，
所以 $ \begin{cases}1 < \dfrac{1}{x} < 3,\\ 1 < x+\dfrac{5}{2} < 3,\end{cases} $ 所以 $ \begin{cases}\dfrac{1}{3} < x < 1,\\ -\dfrac{3}{2} < x < \dfrac{1}{2},\end{cases} $
所以 $ \dfrac{1}{3} < x < \dfrac{1}{2} $ ，即 $ f(\dfrac{1}{x})+f(x+\dfrac{5}{2}) $ 的定义域为 $ (\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{2}) $ .故选 $ \mathrm{C} $ .
4．函数 $ y=3x+1+2\sqrt{1-3x} $ 的值域为（ ）
A． $ [2,+\mathrm{\infty }) $
B． $ (-\mathrm{\infty },2] $
C． $ [\dfrac{3}{2},+\mathrm{\infty }) $
D． $ (-\mathrm{\infty },3] $
$ y=3x+1+2\sqrt{1-3x} $ ，由 $ 1-3x\geqslant 0 $ ，得 $ x\leqslant \dfrac{1}{3} $ ，所以函数的定义域为 $ (-\mathrm{\infty },\dfrac{1}{3}] $ .
令 $ t=\sqrt{1-3x} $ ，则 $ t\geqslant 0 $ ， $ 3x=1-{t}^{2} $ ，
所以 $ y=3x+1+2\sqrt{1-3x}=1-{t}^{2}+1+2t=-{t}^{2}+2t+2=-{\left(t-1\right) ^ {2}}+3 $ ， $ t\in [0,+\mathrm{\infty }) $ ，
又 $ y=-{\left(t-1\right) ^ {2}}+3 $ 的值在 $ [0,1) $ 上随 $ t $ 的增大而增大，在 $ (1,+\mathrm{\infty }) $ 上随 $ t $ 的增大而减小，
所以当 $ t=1 $ 时函数取得最大值，最大值为3.
则由二次函数的图象与性质可知，函数 $ y={-(t-1)}^{2}+3 $ 的值域为 $ (-\mathrm{\infty },3] $ ，
即函数 $ y=3x+1+2\sqrt{1-3x} $ 的值域为 $ (-\mathrm{\infty },3] $ .故选 $ \mathrm{D} $ .
5．已知函数 $ y=f(x) $ 满足 $ f(x+2)=2f(x) $ ，且 $ f(6)=3f(2)+2 $ ，则 $ f(8)= $ （ ）
A．16
B．8
C．4
D．2
因为函数 $ y=f(x) $ 满足 $ f(x+2)=2f(x) $ ,
所以有 $ f(6)=2f(4) $ , $ f(4)=2f(2) $ ,
又 $ f(6)=3f(2)+2 $ ,
所以 $ 2f(4)=\dfrac{3}{2}f(4)+2 $ ,
解得 $ f(4)=4 $ ,则 $ f(8)=2f(6)=4f(4)=16 $ .故选 $ \mathrm{A} $ .
6．若某函数的定义域与其值域的交集是 $ [a,b] $ ，则称该函数为“ $ [a,b] $ 交汇函数”.下列函数是“ $ [0,1] $ 交汇函数”的是（ ）（多选）
A． $ y=\sqrt{1-x} $
B． $ y=2\sqrt{x}-x $
C． $ y=\dfrac{1}{{x}^{2}-2x+2} $
D． $ y=\sqrt{1-{x}^{2}}-|x| $
由“ $ [a,b] $ 交汇函数”的定义可知“ $ [0,1] $ 交汇函数”表示函数的定义域与其值域的交集为 $ [0,1] $ .
对于选项 $ \mathrm{A} $ , $ y=\sqrt{1-x} $ 的定义域 $ A=(-\mathrm{\infty },1] $ ,值域 $ B=[0,+\mathrm{\infty }) $ ,则 $ A\cap B=[0,1] $ , $ \mathrm{A} $ 正确；
对于选项 $ \mathrm{B} $ , $ y=2\sqrt{x}-x $ 的定义域 $ A=[0,+\mathrm{\infty }) $ ,令 $ t=\sqrt{x}\geqslant 0 $ ,则 $ y=2t-{t}^{2}=-{\left(t-1\right) ^ {2}}+1\leqslant 1 $ ,值域 $ B=(-\mathrm{\infty },1] $ ,则 $ A\cap B=[0,1] $ , $ \mathrm{B} $ 正确；
对于选项 $ \mathrm{C} $ , $ y=\dfrac{1}{{x}^{2}-2x+2}=\dfrac{1}{(x-1)^{2}+1} $ , $ \because (x-1)^{2}\geqslant 0 $ , $ \therefore (x-1)^{2}+1\geqslant 1 $ , $ \therefore 0 < \dfrac{1}{{\left(x-1\right) ^ {2}}+1}\leqslant 1 $ ,定义域 $ A=\boldsymbol{R} $ ,值域 $ B=(0,1] $ ,则 $ A\cap B=(0,1] $ , $ \mathrm{C} $ 错误；
对于选项 $ \mathrm{D} $ , $ y=\sqrt{1-{x}^{2}}-|x| $ 的定义域 $ A=[-1,1] $ ,由题可得 $ {y}^{2}=1-{x}^{2}+{x}^{2}-2|x|\sqrt{1-{x}^{2}}=1-2\sqrt{{x}^{2}(1-{x}^{2})} $ , $ \because -1\leqslant x\leqslant 1 $ , $ \therefore 0\leqslant {x}^{2}(1-{x}^{2})\leqslant \dfrac{1}{4} $ ,即 $ 0\leqslant {y}^{2}\leqslant 1 $ ,
$ \therefore -1\leqslant y\leqslant 1 $ ,即值域 $ B=[-1,1] $ ,则 $ A\cap B=[-1,1] $ , $ \mathrm{D} $ 错误.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{B} $ .
7．已知函数 $ f(\dfrac{2x}{x+1})={x}^{2}-1 $ ，则 $ f(\dfrac{1}{2})= $
$ -\dfrac{8}{9} $ .
令 $ \dfrac{2x}{x+1}=t(t\ne 2) $ ,则 $ x=\dfrac{t}{2-t} $ ，将其代入 $ f(\dfrac{2x}{x+1})={x}^{2}-1 $ 中得 $ f(t)={\left(\dfrac{t}{2-t}\right) ^ {2}}-1 $ ，即 $ f(x)={\left(\dfrac{x}{2-x}\right) ^ {2}}-1 $ ,则 $ f(\dfrac{1}{2})=-\dfrac{8}{9} $ .
8．已知函数 $ f(x)={x}^{2}-2ax+{a}^{2}-9 $ ， $ x\in [a-3,{a}^{2}](a > 0) $ ，若函数 $ f(x) $ 的值域为 $ [-9,0] $ ，则实数 $ a $ 的取值范围是 .
$ [1,\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}] $
$ f(x)={x}^{2}-2ax+{a}^{2}-9={\left(x-a\right) ^ {2}}-9 $ ，则有 $ f(a)=-9 $ ， $ f(a-3)=0 $ ，
由 $ x\in [a-3,{a}^{2}](a > 0) $ ， $ f(x)\in [-9,0] $ ，
所以 $ \begin{cases}a-3 < a\leqslant {a}^{2},\\ a-(a-3)\geqslant {a}^{2}-a,\\ a > 0,\end{cases} $ 解得 $ 1\leqslant a\leqslant \dfrac{1+\sqrt{13}}{2} $ ，
所以实数 $ a $ 的取值范围是 $ [1,\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}] $ .
9．函数 $ f(x)=\sqrt{({m}^{2}-m-6){x}^{2}+(m+2)x+8} $ .
（1） 若 $ f(x) $ 的定义域为 $ [-1,2] $ ，求实数 $ m $ 的值；
（2） 若 $ f(x) $ 的定义域为 $ \boldsymbol{R} $ ，求实数 $ m $ 的取值范围.
（1） 【解】由于 $ f(x)=\sqrt{({m}^{2}-m-6){x}^{2}+(m+2)x+8} $ 的定义域需要满足 $ ({m}^{2}-m-6){x}^{2}+(m+2)\cdot x+8\geqslant 0 $ ，
结合 $ f(x) $ 的定义域为 $ [-1,2] $ ，故 $ x=-1 $ 和 $ x=2 $ 是一元二次方程 $ ({m}^{2}-m-6){x}^{2}+(m+2)x+8=0 $ 的两个不相等的实数根，
所以 $ \begin{cases}{m}^{2}-m-6 < 0,\\ -1+2=-\dfrac{m+2}{{m}^{2}-m-6},\\ -1×2=\dfrac{8}{{m}^{2}-m-6},\end{cases} $
解得 $ m=2 $ .
（2） 【解】若 $ f(x) $ 的定义域为 $ \boldsymbol{R} $ ，则 $ ({m}^{2}-m-6)\cdot {x}^{2}+(m+2)x+8\geqslant 0 $ 对任意的 $ x\in \boldsymbol{R} $ 均成立，
当 $ m=3 $ 时， $ {m}^{2}-m-6=0 $ ，此时不等式为 $ 5x+8\geqslant 0 $ ，则解集不是全体实数，不符合题意，舍去；
当 $ m=-2 $ 时， $ {m}^{2}-m-6=0 $ ，此时不等式为 $ 8\geqslant 0 $ ，则解集是全体实数，符合题意；
当 $ m\ne 3 $ 且 $ m\ne -2 $ ，此时 $ {m}^{2}-m-6\ne 0 $ ，不等式 $ ({m}^{2}-m-6){x}^{2}+(m+2)x+8\geqslant 0 $ 为一元二次不等式，要使解集为全体实数，则 $ \begin{cases}{m}^{2}-m-6 > 0,\\ \mathrm{\Delta }={\left(m+2\right) ^ {2}}-32({m}^{2}-m-6)\leqslant 0,\end{cases} $
解得 $ m\geqslant \dfrac{98}{31} $ 或 $ m < -2 $ .
综上可得 $ m $ 的取值范围为 $ ｛m|m\geqslant \dfrac{98}{31} $ 或 $ m\leqslant -2｝ $ .
10．已知函数 $ f(x)=\dfrac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}} $ .
（1） 求 $ f(2) $ 与 $ f(\dfrac{1}{2}) $ ， $ f(3) $ 与 $ f(\dfrac{1}{3}) $ 的值.
（2） 由（1）中求得的结果，你能发现 $ f(x) $ 与 $ f(\dfrac{1}{x}) $ 有什么关系？证明你的发现.
（3） 求 $ f(1)+f(2)+f(3)+\cdots +f(2023)+f(\dfrac{1}{2})+f(\dfrac{1}{3})+\cdots +f(\dfrac{1}{2023}) $ 的值.
（1） 【解】 $ f(\dfrac{1}{2})=\dfrac{{\left(\dfrac{1}{2}\right) ^ {2}}}{1+{\left(\dfrac{1}{2}\right) ^ {2}}}=\dfrac{1}{5} $ ；
$ f(3)=\dfrac{{3}^{2}}{1+{3}^{2}}=\dfrac{9}{10} $ ,
$ f(\dfrac{1}{3})=\dfrac{{\left(\dfrac{1}{3}\right) ^ {2}}}{1+{\left(\dfrac{1}{3}\right) ^ {2}}}=\dfrac{1}{10} $ .
（2） 【解】由（1）中求得的结果,归纳推理可得 $ f(x)+f(\dfrac{1}{x})=1 $ .
证明： $ f(x)+f(\dfrac{1}{x})=\dfrac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}+\dfrac{{\left(\dfrac{1}{x}\right) ^ {2}}}{1+{\left(\dfrac{1}{x}\right) ^ {2}}}=\dfrac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}+\dfrac{1}{1+{x}^{2}}=1 $ .
（3） 【解】因为 $ f(1)=\dfrac{1}{2} $ ,
所以 $ f(1)+f(2)+f(3)+\cdots +f(2023)+f(\dfrac{1}{2})+f(\dfrac{1}{3})+\cdots +f(\dfrac{1}{2023}) $
$ =f(1)+f(2)+f(\dfrac{1}{2})+f(3)+f(\dfrac{1}{3})+\cdots +f(2023)+f(\dfrac{1}{2023}) $
$ =\dfrac{1}{2}+2022=\dfrac{4045}{2} $ .
11．已知集合 $ A=｛1,2,3｝ $ ,映射 $ f:A\to A $ ,且满足对任意 $ x\in A $ ,有 $ f(f(x))\geqslant x $ ,则这样的“ $ f $ ”一共有 个.
13
分情况讨论：
①当 $ f(1)=1 $ 时，满足的情况有
$ \begin{cases}f(2)=2,\\ f(3)=3,\end{cases}\begin{cases}f(2)=3,\\ f(3)=2\mathrm{或}3;\end{cases} $
②当 $ f(1)=2 $ 时，满足的情况有
$ \begin{cases}f(2)=1,\\ f(3)=3,\end{cases}\begin{cases}f(2)=2,\\ f(3)=3,\end{cases}\begin{cases}f(2)=3,\\ f(3)=2\mathrm{或}3；\end{cases} $
③当 $ f(1)=3 $ 时，满足的情况有
$ \begin{cases}f(2)=1,\\ f(3)=1\mathrm{或}3,\end{cases}\begin{cases}f(2)=2,\\ f(3)=1\mathrm{或}3,\end{cases} $
$ \begin{cases}f(2)=3,\\ f(3)=2\mathrm{或}3.\end{cases} $
故这样的“ $ f $ ”一共有13个.