3.1.2 函数的表示法

由 $ \dfrac{x+3x}{2}\cdot y=100 $ ,得 $ xy=50 $ , $ \therefore y=\dfrac{50}{x}(x > 0) $ .

因为 $ x=1 $ 满足 $ x\in (0,2] $ ，所以 $ m=f(1)=-2 $ .由表中数据可知 $ y $ 的取值仅有三个值 $ {\rm 1,0,} -2 $ ，所以 $ f(x) $ 的值域 $ M=｛1 {\rm ,0} $ , $ -2｝ $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

当 $ 0\leqslant x\leqslant 1 $ 时， $ P $ 在 $ AB $ 上，如图①,过点 $ M $ 作 $ MH\perp AB $ 于点 $ H $ ，

图①

则 $ MH=1 $ ，故 $ y=\dfrac{1}{2}AP\cdot MH=\dfrac{1}{2}x $ ， $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大;

当 $ 1 < x < 2 $ 时， $ P $ 在 $ BC $ 上，如图②,

图②

此时 $ y=1×1-{S}_{△ADM}-{S}_{△APB}-{S}_{△CPM}=1-\dfrac{1}{2}×1×\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}(x-1)-\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}(2-x)=\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{4}x $ ， $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小;

当 $ 2\leqslant x\leqslant \dfrac{5}{2} $ 时， $ P $ 在 $ CM $ 上，如图③,

图③

此时 $ PM=\dfrac{5}{2}-x $ ， $ y=\dfrac{1}{2}PM\cdot AD=\dfrac{1}{2}(\dfrac{5}{2}-x)=\dfrac{5}{4}-\dfrac{1}{2}x $ ， $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小.

综上可知，函数图象分为三段，每一段均为一次函数图象，结合增减趋势可知 $ \mathrm{A} $ 正确， $ \mathrm{B} $ ， $ \mathrm{C} $ ， $ \mathrm{D} $ 错误.故选 $ \mathrm{A} $ .

因为 $ △ABE $ 是等腰直角三角形, $ BE=CD=6 $ ,所以 $ AB=3\sqrt{2} $ .

当点 $ M $ 在线段 $ BC $ 上运动时, $ 3\sqrt{2}\leqslant x\leqslant 3\sqrt{2}+8 $ , $ L(x)=2x+6 $ .故选 $ \mathrm{A} $ .

由 $ f(x+1)={x}^{2}+x={\left(x+1\right) ^ {2}}-(x+1) $ ，可得 $ f(x)={x}^{2}-x $ .

又函数 $ f(x+1) $ 的定义域为 $ [-1,1] $ ，即 $ -1\leqslant x\leqslant 1 $ ， $ \therefore 0\leqslant x+1\leqslant 2 $ ，

$ \therefore $ 函数 $ f(x)={x}^{2}-x $ 的定义域为 $ [0,2] $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

由 $ f(x)+2f(-x)={x}^{2}+3x+1 $ ①，用 $ -x $ 代替 $ x $ 可得 $ f(-x)+2f(x)={x}^{2}-3x+1 $ ②, $ 2×\mathrm{②}-\mathrm{①} $ 得 $ 3f(x)={x}^{2}-9x+1 $ ，故 $ f(x)=\dfrac{1}{3}{x}^{2}-3x+\dfrac{1}{3} $ .

$ \mathrm{A} $ 选项,分段函数在每段自变量取值范围内都是一个独立的函数,但这几段组合在一起是一个函数,故 $ \mathrm{A} $ 错误；

$ \mathrm{B} $ 选项,由函数的解析式可知 $ \mathrm{B} $ 正确；

$ \mathrm{C} $ 选项, $ f(x)=\mid x-2\mid =\begin{cases}x-2,x\geqslant 2,\\ 2-x,x < 2\end{cases} $ 是一个分段函数,故 $ \mathrm{C} $ 正确；

$ \mathrm{D} $ 选项,分段函数的定义域不都是 $ \boldsymbol{R} $ ,故 $ \mathrm{D} $ 错误.故选 $ \mathrm{B}\mathrm{C} $ .

若 $ x\notin \mathrm{Z} $ ,则 $ f(x)=-2024 $ ,所以 $ f(f(x))=2024 $ .

若 $ f(f(x))=2024 $ ,则 $ f(x)\in \boldsymbol{Z} $ ,所以 $ x\in \boldsymbol{R} $ .

所以“ $ f(f(x))=2024 $ ”是“ $ x\notin \mathrm{Z} $ ”的必要不充分条件.故选 $ \mathrm{B} $ .

对于 $ \mathrm{A} $ ，因为 $ f(x)=\begin{cases}x+2,x\leqslant -1,\\ {x}^{2},-1 < x < 2,\end{cases} $ 所以 $ f(-1)=-1+2=1 $ ，

所以 $ f(f(-1))=f(1)={1}^{2}=1 $ ，故 $ \mathrm{A} $ 正确.

对于 $ \mathrm{B} $ ，若 $ f(x)=3 $ ，则当 $ x\leqslant -1 $ 时，

$ f(x)=x+2=3 $ ，解得 $ x=1 $ （舍）；

当 $ -1 < x < 2 $ 时， $ f(x)={x}^{2}=3 $ ，解得 $ x=-\sqrt{3} $ （舍）或 $ x=\sqrt{3} $ ，

所以 $ f(x)=3 $ 的解为 $ x=\sqrt{3} $ ，故 $ \mathrm{B} $ 正确.

对于 $ \mathrm{C} $ ，当 $ x\leqslant -1 $ 时， $ f(x)=x+2 < 1 $ ，解得 $ x < -1 $ ；

当 $ -1 < x < 2 $ 时， $ f(x)={x}^{2} < 1 $ ，解得 $ -1 < x < 1 $ .

所以 $ f(x) < 1 $ 的解集为 $ (-\mathrm{\infty },-1)\cup (-1,1) $ ，故 $ \mathrm{C} $ 错误.

对于 $ \mathrm{D} $ ，当 $ x\leqslant -1 $ 时， $ f(x)=x+2\leqslant -1+2=1 $ ；

当 $ -1 < x < 2 $ 时， $ f(x)={x}^{2}\in [0,4) $ .

所以 $ f(x) $ 的值域为 $ (-\mathrm{\infty },4) $ ，故 $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{D} $ .

由题图可知 $ f(0)=2 $ ，所以 $ f(f(0)+2)=f(2+2)=f(4)=0 $ .

由题知,当 $ f(x)\geqslant g(x) $ ,即 $ -{x}^{2}+2\geqslant x $ 时,解得 $ -2\leqslant x\leqslant 1 $ ,

此时, $ ℎ(x)=-{x}^{2}+2 $ ；

当 $ f(x) < g(x) $ ,即 $ -{x}^{2}+2 < x $ 时,

解得 $ x < -2 $ 或 $ x > 1 $ ,此时 $ ℎ(x)=x $ ,

$ \therefore ℎ(x)=\begin{cases}x,x < -2,\\ -{x}^{2}+2,-2\leqslant x\leqslant 1,\\ x,x > 1,\end{cases} $

由 $ ℎ(x) < -7 $ ,得

$ \begin{cases}x < -7,\\ x < -2\end{cases} $ 或 $ \begin{cases}-{x}^{2}+2 < -7,\\ -2\leqslant x\leqslant 1\end{cases} $ 或 $ \begin{cases}x < -7,\\ x > 1,\end{cases} $

解得 $ x < -7 $ 或无解.综上, $ x\in (-\mathrm{\infty },-7) $ .

当 $ 0\leqslant x\leqslant 10 $ 时，设 $ y=kx $ ，将点 $ (10,8) $ 的坐标代入 $ y=kx $ 中得 $ 10k=8 $ ，解得 $ k=\dfrac{4}{5} $ ，所以 $ y=\dfrac{4}{5}x $ .

当 $ x > 10 $ 时，设 $ y=\dfrac{a}{x} $ ，将点 $ (10,8) $ 的坐标代入 $ y=\dfrac{a}{x} $ 中得 $ a=10×8=80 $ ，所以 $ y=\dfrac{80}{x} $ .

综上， $ y=\begin{cases}\dfrac{4}{5}x,0\leqslant x\leqslant 10,\\ \dfrac{80}{x},x > 10.\end{cases} $

当 $ 0\leqslant x\leqslant 10 $ 时， $ \dfrac{4}{5}x=4 $ ，解得 $ x=5 $ ；

当 $ x > 10 $ 时， $ \dfrac{80}{x}=4 $ ，解得 $ x=20 $ .

则当 $ y\geqslant 4 $ 时， $ 5\leqslant x\leqslant 20 $ ，所以此次消毒的有效时间是 $ 20-5=15( \min ) $ ，故选 $ \mathrm{C} $ .

设此户居民本月用水量为 $ x{\mathrm{m}}^{3} $ ,缴纳的水费为 $ y $ 元,

则当 $ x\in [0,12] $ 时, $ y=3x\leqslant 36 $ 元,不符合题意;

当 $ x\in (12,18] $ 时, $ y=12×3+(x-12)\cdot 6=6x-36 $ ,令 $ 6x-36=82 $ ,解得 $ x\approx 19.7 $ ,不符合题意;

当 $ x\in (18,+\mathrm{\infty }) $ 时, $ y=12×3+6×6+(x-18)\cdot 9=9x-90=82 $ ,解得 $ x\approx 19.1 $ ,符合题意.

综上所述，此户居民本月用水量约为 $ 19.1{\mathrm{m}}^{3} $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

令 $ t=\sqrt{x}-2 $ , $ t\geqslant -2 $ ,则 $ x={\left(t+2\right) ^ {2}} $ ,

所以 $ f(t)={\left(t+2\right) ^ {2}}-4(t+2)+5={t}^{2}+1 $ ,

所以 $ f(x)={x}^{2}+1(x\geqslant -2) $ .

故选 $ \mathrm{B} $ .

因为函数 $ f(x)=\begin{cases}{x}^{2}-4x+6,x\geqslant 0,\\ x+6,x < 0,\end{cases} $ 所以 $ f(-3)=3 $ ，

不等式 $ f(x) > f(-3) $ 即 $ f(x) > 3 $ .当 $ x < 0 $ 时， $ x+6 > 3 $ ，解得 $ x > -3 $ ，因此 $ -3 < x < 0 $ ；

当 $ x\geqslant 0 $ 时， $ {x}^{2}-4x+6 > 3 $ ，即 $ {x}^{2}-4x+3 > 0 $ ，解得 $ x < 1 $ 或 $ x > 3 $ ，因此 $ 0\leqslant x < 1 $ 或 $ x > 3 $ .

所以不等式 $ f(x) > f(-3) $ 的解集是 $ (-3,1)\cup (3,+\mathrm{\infty }) $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

根据函数的定义及表示方法可知,只有选项 $ \mathrm{D} $ 中可化为 $ y=x $ 或 $ y=-x $ ,不符合函数的定义,故选 $ \mathrm{D} $ .

由表格得 $ f(1)=2 $ ， $ f(2)=3 $ ， $ g(1)=2 $ ， $ g(2)=4 $ ，

则 $ f(f(1))=f(2)=3 $ ， $ g(f(1))=g(2)=4 $ ，

$ f(g(1))=f(2)=3 $ ， $ g(g(1))=g(2)=4 $ ，

因此，只有 $ \mathrm{C} $ 选项正确.故选 $ \mathrm{C} $ .

令 $ f(x)=0 $ ,

当 $ x\geqslant 1 $ 时,由 $ f(x)=0 $ ，得 $ \dfrac{1}{x}=0 $ ,显然无实数解；

当 $ x < 1 $ 时,由 $ f(x)=0 $ ，得 $ -{x}^{2}+2=0 $ ,解得 $ x=-\sqrt{2} $ 或 $ x=\sqrt{2} $ （舍去）.

综上所述, $ y=f(x) $ 图象与 $ x $ 轴的交点有1个.故选 $ \mathrm{B} $ .

依题意，当 $ x $ 为有理数时， $ F(F(x))=F(1)=1 $ ，当 $ x $ 为无理数时， $ F(F(x))=F(0)=1 $ ，因此 $ F(F(x))=1 $ 恒成立， $ \mathrm{A} $ 错误；

当 $ x $ 是有理数时， $ F(x)=1=F(-x) $ ，当 $ x $ 是无理数时， $ F(x)=0=F(-x) $ ，所以对任意 $ x\in \boldsymbol{R} $ ，恒有 $ F(x)=F(-x) $ 成立， $ \mathrm{B} $ 正确；

若 $ T $ 是无理数，当 $ x $ 是有理数时，则 $ x+T $ 是无理数，有 $ F(x+T)=0 $ ，而 $ F(x)=1 $ ，此时 $ F(x+T)\ne F(x) $ ， $ \mathrm{C} $ 错误；

取 $ {x}_{1}=-\dfrac{\sqrt{3}}{3} $ , $ {x}_{2}=0 $ , $ {x}_{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{3} $ ，得 $ F({x}_{1})=0 $ , $ F({x}_{2})=1 $ , $ F({x}_{3})=0 $ ，则 $ A(-\dfrac{\sqrt{3}}{3},0) $ , $ B(0,1) $ , $ C(\dfrac{\sqrt{3}}{3},0) $ ，此时 $ |AB|=|BC|=|AC|=\dfrac{2\sqrt{3}}{3} $ ，即 $ △ABC $ 为等边三角形， $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{B}\mathrm{D} $ .

用 $ x $ 替换 $ 1-x $ 代入计算，得到 $ f(1-x)+2f(x)=\dfrac{3}{1-x} $ ，结合 $ f(x)+2f(1-x)=\dfrac{3}{x} $ ，两式联立解得 $ f(x)=\dfrac{2}{1-x}-\dfrac{1}{x} $ .

对于 $ \mathrm{A} $ ，令 $ x=-2 $ ，则 $ f(-2)=\dfrac{2}{1-(-2)}-\dfrac{1}{-2}=\dfrac{7}{6} $ ，故 $ \mathrm{A} $ 正确；

对于 $ \mathrm{B} $ ，令 $ x=3 $ ，则 $ f(3)=\dfrac{2}{1-3}-\dfrac{1}{3}=-\dfrac{4}{3} $ ，故 $ \mathrm{B} $ 正确；

对于 $ \mathrm{C} $ ，令 $ x=\dfrac{1}{2} $ ，则 $ f(\dfrac{1}{2})=\dfrac{2}{1-\dfrac{1}{2}}-\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=2 $ ，令 $ x=-\dfrac{1}{2} $ ，则 $ f(-\dfrac{1}{2})=\dfrac{2}{1+\dfrac{1}{2}}-\dfrac{1}{-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{10}{3} $ ， $ f(-\dfrac{1}{2})\ne f(\dfrac{1}{2}) $ ，故 $ \mathrm{C} $ 错误；

对于 $ \mathrm{D} $ ，令 $ x=2 $ ，代入原已知式子，则 $ f(2)+2f(1-2)=\dfrac{3}{2} $ ，即 $ f(2)+2f(-1)=\dfrac{3}{2} $ ，故 $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{D} $ .

若 $ f(f({x}_{0}))=f({x}_{0})+\dfrac{1}{2}\in A $ ,则 $ 0\leqslant f({x}_{0})+\dfrac{1}{2} < \dfrac{1}{2}⇒-\dfrac{1}{2}\leqslant f({x}_{0}) < 0 $ .

令 $ f({x}_{0})={x}_{0}+\dfrac{1}{2} $ ,则 $ -\dfrac{1}{2}\leqslant {x}_{0}+\dfrac{1}{2} < 0⇒-1\leqslant {x}_{0} < -\dfrac{1}{2} $ ,不符合 $ {x}_{0}\in A $ ；

令 $ f({x}_{0})=2(1-{x}_{0}) $ ,则 $ -\dfrac{1}{2}\leqslant 2(1-{x}_{0}) < 0⇒1 < {x}_{0}\leqslant \dfrac{5}{4} $ ,不符合 $ {x}_{0}\in A $ .

若 $ f(f({x}_{0}))=2[1-f({x}_{0})]\in A $ ,则 $ 0\leqslant 2[1-f({x}_{0})] < \dfrac{1}{2}⇒\dfrac{3}{4} < f({x}_{0})\leqslant 1 $ .

令 $ f({x}_{0})={x}_{0}+\dfrac{1}{2} $ ,则 $ \dfrac{3}{4} < {x}_{0}+\dfrac{1}{2}\leqslant 1⇒\dfrac{1}{4} < {x}_{0}\leqslant \dfrac{1}{2} $ ,此时 $ {x}_{0}\in (\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{2}) $ ,符合题意；

令 $ f({x}_{0})=2(1-{x}_{0}) $ ,则 $ \dfrac{3}{4} < 2(1-{x}_{0})\leqslant 1⇒\dfrac{1}{2}\leqslant {x}_{0} < \dfrac{5}{8} $ ,不符合 $ {x}_{0}\in A $ .

综上, $ {x}_{0}\in (\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{2}) $ ,则 $ \dfrac{1}{{x}_{0}}\in (2,4) $ .

令 $ x=0 $ 可得 $ f(0+f(y))=f(f(y))=f(f(0))+y\mathrm{①} $ ，

根据①且令 $ y=f(y) $ ，从而 $ f(f(f(y)))=f(f(0))+f(y) $ ；

根据题设及①有 $ f(f(f(y)))=f(f(f(0))+y)=f(f(y))+f(0)\mathrm{②} $ ，

联立①②，有 $ f(f(0))+f(y)=f(f(y))+f(0)=f(f(0))+y+f(0) $ ，即 $ f(y)=y+f(0) $ .

令 $ y=1 $ 可得 $ f(0)=2023 $ ，因此 $ f(2024)=2024+f(0)=2024+2023=4047 $ .