3.2.2 奇偶性

$ \mathrm{A} $ 项,若定义域不包含0,则图象与 $ y $ 轴不相交;

$ \mathrm{C} $ 项,若定义域不包含0,则图象不过原点;

$ \mathrm{D} $ 项,奇函数不一定是单调函数.故选 $ \mathrm{B} $ .

$ \because f(x) $ 为奇函数， $ \therefore f(-x)=-f(x) $ .又 $ f(x)\ne 0 $ ， $ \therefore f(x)f(-x)=-{[f(x)]}^{2} < 0 $ .

对于 $ \mathrm{A} $ ,由 $ f(x)=\sqrt{x} $ ，得定义域为 $ [0,+\mathrm{\infty }) $ ，不关于原点对称，所以 $ f(x)=\sqrt{x} $ 不是奇函数，故 $ \mathrm{A} $ 错误；

对于 $ \mathrm{C} $ ， $ f(x)=\dfrac{1}{{x}^{2}+1} $ 的定义域为 $ \boldsymbol{R} $ ,且 $ f(-x)=\dfrac{1}{{\left(-x\right) ^ {2}}+1}=\dfrac{1}{{x}^{2}+1}=f(x) $ ，

所以 $ f(x)=\dfrac{1}{{x}^{2}+1} $ 是偶函数，故 $ \mathrm{C} $ 错误；

对于 $ \mathrm{B} $ ， $ f(x)=-x|x| $ ，定义域为 $ \boldsymbol{R} $ ，

且 $ f(-x)=-(-x)|-x|=x|x|=-f(x) $ ，所以 $ f(x) $ 为奇函数，当 $ x > 0 $ 时， $ f(x)=-{x}^{2} $ ，且 $ f(x)=-{x}^{2} $ 在 $ (0,+\mathrm{\infty }) $ 上单调递减，故 $ \mathrm{B} $ 错误；

对于 $ \mathrm{D} $ ， $ f(x)={x}^{3} $ ，定义域为 $ \boldsymbol{R} $ ，且 $ f(-x)={\left(-x\right) ^ {3}}=-{x}^{3}=-f(x) $ ，所以 $ f(x)={x}^{3} $ 为奇函数，且在定义域上为增函数，故 $ \mathrm{D} $ 正确，故选 $ \mathrm{D} $ .

①函数 $ f(x)=-3{x}^{4} $ 是 $ \boldsymbol{R} $ 上的偶函数,不是奇函数；

②函数 $ f(x)=\dfrac{1}{2x+1} $ 的定义域为 $ ｛x|x\ne -\dfrac{1}{2}｝ $ ,定义域不关于原点对称,不是奇函数；

③函数 $ f(x)=3x $ , $ x\in [-1,2] $ ,定义域不关于原点对称,不是奇函数；

④函数 $ f(x)=5x+7 $ 的定义域是 $ \boldsymbol{R} $ ,而 $ f(0)=7\ne 0 $ ,不是奇函数.

所以奇函数的个数为0.故选 $ \mathrm{A} $ .

因为 $ f(x)=|3-x| $ ，所以 $ g(x)=|3-x|-|3+x| $ ，显然 $ g(x) $ 的定义域为 $ \boldsymbol{R} $ ，且 $ g(-x)=|3+x|-|3-x|=-g(x) $ ，故 $ g(x) $ 是奇函数.

对于 $ \mathrm{A} $ ，因为 $ g(1)=f(1)-f(-1)=-2 $ ， $ g(-1)=f(-1)-f(1)=2 $ ，所以 $ g(1)-g(-1)=-4\ne 4=g(-1)-g(1) $ ，所以 $ g(x)-g(-x) $ 不是偶函数， $ \mathrm{A} $ 错误；

对于 $ \mathrm{B} $ ，因为 $ g(-x)+g(x)=g(x)+g(-x) $ ，所以 $ g(x)+g(-x) $ 是偶函数， $ \mathrm{B} $ 正确；

对于 $ \mathrm{C} $ ，因为 $ g(-x)|g(-x)|=-g(x)\cdot |-g(x)|=-g(x)|g(x)| $ ，所以 $ g(x)|g(x)| $ 是奇函数， $ \mathrm{C} $ 正确；

对于 $ \mathrm{D} $ ，因为 $ g(-x)g(|-x|)=-g(x)g(, x, ) $ ，所以 $ g(x)g(, x, ) $ 是奇函数， $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D} $ .

由不等式 $ 10-{x}^{2} > 0 $ ，可得 $ -\sqrt{10} < x < \sqrt{10} $ ，

所以 $ f(x) $ 的定义域为 $ (-\sqrt{10},\sqrt{10}) $ ，关于原点对称，

由 $ f(x)=\dfrac{2x-5+|x-5|}{\sqrt{10-{x}^{2}}}=\dfrac{2x-5+5-x}{\sqrt{10-{x}^{2}}}=\dfrac{x}{\sqrt{10-{x}^{2}}} $ ，可得 $ f(-x)=-\dfrac{x}{\sqrt{10-{x}^{2}}}=-f(x) $ ，所以函数 $ f(x) $ 为奇函数.

因为 $ f(x) $ 为 $ \boldsymbol{R} $ 上的奇函数，当 $ x > 0 $ 时， $ f(x)={x}^{3}+2x+1 $ ，

所以设 $ x < 0 $ ，则 $ -x > 0 $ ，则 $ f(-x)={\left(-x\right) ^ {3}}+2(-x)+1=-f(x)⇒f(x)={x}^{3}+2x-1(x < 0) $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

由题知函数 $ f(x)=\dfrac{|{x}^{2}-1|}{x} $ 的定义域为 $ ｛x|x\ne 0｝ $ ，关于原点对称，

又 $ f (-x )=\dfrac{| (-x)^{2}-1|}{-x}=-\dfrac{|{x}^{2}-1|}{x}=-f (x ) $ ，

所以 $ f(x)=\dfrac{|{x}^{2}-1|}{x} $ 为奇函数，图象关于原点对称，故排除 $ \mathrm{A} $ ；

当 $ x > 0 $ 时， $ |{x}^{2}-1|\geqslant 0 $ ，则 $ f(x)=\dfrac{|{x}^{2}-1|}{x}\geqslant 0 $ ，故排除 $ \mathrm{C} $ ；

当 $ x > 1 $ 时， $ f(x)=\dfrac{{x}^{2}-1}{x}=x-\dfrac{1}{x} $ ，函数在 $ (1,+\mathrm{\infty }) $ 上单调递增，且当 $ x\to +\mathrm{\infty } $ 时， $ f(x)\to +\mathrm{\infty } $ ，故排除 $ \mathrm{B} $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

因为函数 $ f(x) $ 是奇函数,所以 $ y=f(x) $ 在 $ [-5,5] $ 上的图象关于坐标原点对称,由 $ y=f(x) $ 在 $ x\in [0,5] $ 上的图象,知它在 $ [-5,0] $ 上的图象,如图所示.

所以由图可知使 $ f(x) < 0 $ 的 $ x $ 的取值范围为 $ (-5,-3)\cup (0,3) $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

因为 $ f(x) $ 为偶函数，所以 $ -4+a-1=0 $ ，即 $ a=5 $ ，

因为 $ f(x) $ 在 $ [-4,0] $ 上单调递增且 $ f(x) $ 为偶函数，所以 $ f(x) $ 在 $ [0,4] $ 上单调递减.

而 $ f(x+\dfrac{a}{5}) < f(-2) $ ，即 $ f(x+1) < f(-2) $ ，

故 $ 4\geqslant |x+1| > 2 $ ，解得 $ -5\leqslant x < -3 $ 或 $ 1 < x\leqslant 3 $ ，故选 $ \mathrm{C} $ .

选项 $ \mathrm{A} $ ,因为 $ f(x) $ 是 $ \boldsymbol{R} $ 上的奇函数,所以 $ f(0)=-f(-0)=-f(0) $ ,所以 $ f(0)=0 $ , $ \mathrm{A} $ 正确；

选项 $ \mathrm{B} $ ,在 $ [0,+\mathrm{\infty }) $ 上, $ f(x)\geqslant -1 $ ,且存在 $ {x}_{0}\in [0,+\mathrm{\infty }) $ ,使得 $ f({x}_{0})=-1 $ ,则当 $ x\leqslant 0 $ 时, $ f(-x)\geqslant -1 $ , $ f(x)=-f(-x)\leqslant 1 $ , $ f(-{x}_{0})=-f({x}_{0})=1 $ ,即 $ f(x) $ 在 $ (-\mathrm{\infty },0] $ 上有最大值 $ {\rm 1,} \mathrm{B} $ 正确；

选项 $ \mathrm{C} $ ,设 $ {x}_{1} < {x}_{2}\leqslant -1 $ ,则 $ -{x}_{1} > -{x}_{2}\geqslant 1 $ ,由已知得 $ f(-{x}_{1}) > f(-{x}_{2}) $ ,即 $ -f({x}_{1}) > -f({x}_{2}) $ ,所以 $ f({x}_{1}) < f({x}_{2}) $ ,所以 $ f(x) $ 在 $ (-\mathrm{\infty },-1] $ 上单调递增, $ \mathrm{C} $ 错误；

选项 $ \mathrm{D} $ ,设 $ x < 0 $ ,则 $ -x > 0 $ , $ f(-x)={\left(-x\right) ^ {2}}-2(-x)={x}^{2}+2x $ ,则 $ f(x)=-f(-x)=-{x}^{2}-2x $ , $ \mathrm{D} $ 错误.

故选 $ \mathrm{A}\mathrm{B} $ .

$ \because $ 当 $ {x}_{1} < {x}_{2} < -2 $ 时， $ \dfrac{f({x}_{1})-f({x}_{2})}{{x}_{1}-{x}_{2}} > 0 $ 恒成立，

$ \therefore $ 函数 $ f(x) $ 在 $ (-\mathrm{\infty },-2) $ 上单调递增，

$ \because $ 函数 $ f(x-2) $ 是偶函数，即 $ f(x-2)=f(-x-2) $ ， $ \therefore $ 函数 $ f(x) $ 的图象关于直线 $ x=-2 $ 对称， $ \therefore b=f(0)=f(-4) $ ， $ c=f(2)=f(-6) $ ， $ \therefore f(-6) < f(-4) < f(-3) $ ，即 $ f(2) < f(0) < f(-3) $ ， $ \therefore c < b < a $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

因为函数 $ g(x) $ 对任意的 $ x\in \boldsymbol{R} $ ,有 $ g(x)-g(-x)=2x $ , $ f(x)=g(x)-x(x\in \boldsymbol{R}) $ ,则 $ f(-x)=g(-x)+x=g(x)-2x+x=g(x)-x=f(x) $ ,

所以函数 $ f(x) $ 为偶函数.

又函数 $ f(x) $ 在区间 $ [0,+\mathrm{\infty }) $ 上单调递增,所以由 $ f(a)-f(2a+1) > 0 $ ,得 $ f(a) > f(2a+1) $ ,即 $ f(, a, ) > f(|2a+1|) $ ,则 $ |a| > |2a+1| $ ,

解得 $ -1 < a < -\dfrac{1}{3} $ ,故实数 $ a $ 的取值范围为 $ (-1,-\dfrac{1}{3}) $ .故选 $ \mathrm{A} $ .

令 $ g(x)=f(x)-2=a{x}^{3}+\dfrac{b}{{x}^{5}} $ ，则 $ g(x) $ 的定义域为 $ ｛x|x\ne 0｝ $ ，关于原点对称.

因为 $ g (-x )=a (-x)^{3}+\dfrac{b}{{\left(-x \right) ^ {5}}}=-a{x}^{3}-\dfrac{b}{{x}^{5}}=-g (x ) $ ，所以 $ g(x) $ 为奇函数，

所以 $ g(2024)+g(-2024)=0 $ ，

所以 $ f(2024)-2+f(-2024)-2=0 $ ，

将 $ f(2024)=16 $ 代入上式，可得 $ f(-2024)=-12 $ .

函数 $ f(x)=\sqrt{{x}^{2}-4}+\sqrt{4-{x}^{2}} $ 有意义需满足 $ \begin{cases}{x}^{2}-4\geqslant 0,\\ 4-{x}^{2}\geqslant 0,\end{cases} $

即 $ {x}^{2}=4 $ ,因此函数 $ f(x) $ 的定义域为 $ ｛-2 $ , $ 2｝ $ ,关于原点对称,此时 $ f(x)=0 $ ,

满足 $ f(-x)=-f(x) $ , $ f(-x)=f(x) $ ,所以函数 $ f(x) $ 既是奇函数又是偶函数.

而函数 $ ℎ(x)=\sqrt{x-4}+\sqrt{4-x} $ 的定义域为 $ ｛4｝ $ ,不关于原点对称,因此函数 $ ℎ(x) $ 是非奇非偶函数.

因为 $ f(x) $ 为奇函数，所以 $ f(-x)=-f(x) $ .

设 $ g(x)=\dfrac{f(x)}{x}(x\ne 0) $ ，定义域关于原点对称，则 $ g(-x)=\dfrac{f(-x)}{-x}=\dfrac{f(x)}{x}=g(x) $ ，

所以 $ g(x) $ 为偶函数.

对于 $ \forall {x}_{1} $ , $ {x}_{2}\in (0,+\mathrm{\infty }) $ ，且 $ {x}_{1}\ne {x}_{2} $ ，有 $ \dfrac{{x}_{1}f({x}_{2})-{x}_{2}f({x}_{1})}{{x}_{2}-{x}_{1}} > 0 $ ，

设 $ {x}_{1} < {x}_{2} $ ，则 $ {x}_{1}f({x}_{2})-{x}_{2}f({x}_{1}) > 0 $ ，得 $ \dfrac{f({x}_{1})}{{x}_{1}} < \dfrac{f({x}_{2})}{{x}_{2}} $ ，即 $ g({x}_{1}) < g({x}_{2}) $ ，

所以 $ g(x) $ 在 $ (0,+\mathrm{\infty }) $ 上单调递增，所以 $ g(x) $ 在 $ (-\mathrm{\infty },0) $ 上单调递减，

且 $ g(2)=\dfrac{f(2)}{2}=1 $ ， $ g(-2)=g(2)=1 $ .

当 $ x > 0 $ 时，由 $ f(x) < x $ ，得 $ g(x)=\dfrac{f(x)}{x} < 1=g(2) $ ，解得 $ 0 < x < 2 $ ；

当 $ x < 0 $ 时，由 $ f(x) < x $ ，得 $ g(x)=\dfrac{f(x)}{x} > 1=g(-2) $ ，解得 $ x < -2 $ .

综上，不等式 $ f(x) < x $ 的解集为 $ (-\mathrm{\infty },-2)\cup (0,2) $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

由题得 $ f(x)=\dfrac{x+1}{1-x}=-\dfrac{x+1}{x-1}=-\dfrac{x-1+2}{x-1}=-1-\dfrac{2}{x-1} $ .

对于 $ \mathrm{A} $ 选项, $ f(x-1)-1=-1-\dfrac{2}{x-2}-1=-2-\dfrac{2}{x-2} $ ,定义域为 $ ｛x|x\ne 2｝ $ ,不关于原点对称，为非奇非偶函数；

对于 $ \mathrm{B} $ 选项, $ f(x-1)+1=-1-\dfrac{2}{x-2}+1=-\dfrac{2}{x-2} $ ,定义域为 $ ｛x|x\ne 2｝ $ ,不关于原点对称，为非奇非偶函数；

对于 $ \mathrm{C} $ 选项, $ f(x+1)-1=-1-\dfrac{2}{x}-1=-2-\dfrac{2}{x} $ ,为非奇非偶函数；

对于 $ \mathrm{D} $ 选项, $ f(x+1)+1=-1-\dfrac{2}{x}+1=-\dfrac{2}{x} $ ,定义域为 $ ｛x|x\ne 0｝ $ ,为奇函数.

故选 $ \mathrm{D} $ .

因为 $ f (-x )=\dfrac{-2\sqrt{2}x}{2 (-x)^{2}+1}=-\dfrac{2\sqrt{2}x}{2{x}^{2}+1}=-f (x ) $ ，且其定义域为 $ \boldsymbol{R} $ ，所以函数 $ f(x) $ 为奇函数，图象关于原点对称，所以排除 $ \mathrm{A} $ ， $ \mathrm{B} $ ；又 $ f(1)=\dfrac{2\sqrt{2}}{3} > 0 $ ，所以排除 $ \mathrm{C} $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

因为 $ f(x) $ 是定义在 $ \boldsymbol{R} $ 上的偶函数， $ g(x) $ 是定义在 $ \boldsymbol{R} $ 上的奇函数，且两函数在 $ (-\mathrm{\infty },0] $ 上单调递减，

所以 $ f(x) $ 在 $ (-\mathrm{\infty },0) $ 上单调递减，在 $ [0,+\mathrm{\infty }) $ 上单调递增， $ g(x) $ 在 $ \boldsymbol{R} $ 上单调递减，且 $ g(0)=0 $ .

对于 $ \mathrm{A} $ ，由 $ g(x) $ 在 $ \boldsymbol{R} $ 上单调递减，得 $ g(-1) > g(2) $ ，故 $ g(g(-1)) < g(g(2)) $ ，故 $ \mathrm{A} $ 正确；

对于 $ \mathrm{B} $ ， $ g(f(-1))=g(f(1)) $ ，因为 $ f(x) $ 在 $ [0,+\mathrm{\infty }) $ 上单调递增，所以 $ f(1) < f(2) $ ，又 $ g(x) $ 在 $ \boldsymbol{R} $ 上单调递减，所以 $ g(f(-1))=g(f(1)) > g(f(2)) $ ，故 $ \mathrm{B} $ 正确；

对于 $ \mathrm{C} $ ，因为 $ g(x) $ 在 $ \boldsymbol{R} $ 上单调递减，所以 $ 0=g(0) > g(1) > g(2) $ ，又 $ f(x) $ 在 $ (-\mathrm{\infty },0) $ 上单调递减，所以 $ f(g(1)) < f(g(2)) $ ，故 $ \mathrm{C} $ 正确；

对于 $ \mathrm{D} $ ， $ f(x) $ 在 $ [0,+\mathrm{\infty }) $ 上单调递增，故 $ f(1) < f(2) $ ，但不确定 $ |f(1)| $ , $ |f(2)| $ 的大小关系，则无法比较 $ f(f(1)) $ , $ f(f(2)) $ 的大小，故 $ \mathrm{D} $ 错误.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C} $ .

对于 $ \mathrm{A} $ ，令 $ x=y=1 $ ，则 $ f(1)=f(1)+f(1)-1 $ ，则 $ f(1)=1 $ ，

令 $ x=y=-1 $ ，则 $ f(1)=f(-1)+f(-1)-1 $ ，则 $ f(-1)=1 $ ， $ \mathrm{A} $ 正确；

对于 $ \mathrm{B} $ ，若 $ f(2)=\dfrac{1}{2} $ ，则 $ f(4)=f(2)+f(2)-1=0 $ ， $ f(16)=f(4)+f(4)-1=-1 $ ，

$ f(256)=f(16)+f(16)-1=-3 $ ，

故 $ f(1024)=f(256×4)=f(256)+f(4)-1=-4 $ ， $ \mathrm{B} $ 正确；

对于 $ \mathrm{C} $ ，由于函数的定义域为 $ (-\mathrm{\infty },0)\cup (0,+\mathrm{\infty }) $ ，关于原点对称，取 $ y=-1 $ ，则 $ f(-x)=f(x)+f(-1)-1=f(x) $ ，即 $ f(x) $ 为偶函数，

任取 $ {x}_{1} $ , $ {x}_{2}\in (0,+\mathrm{\infty }) $ ，且 $ {x}_{1} < {x}_{2} $ ，则 $ f({x}_{2})=f({x}_{1}\cdot \dfrac{{x}_{2}}{{x}_{1}})=f({x}_{1})+f(\dfrac{{x}_{2}}{{x}_{1}})-1 $ ，

因为 $ \dfrac{{x}_{2}}{{x}_{1}} > 1 $ ，所以 $ f(\dfrac{{x}_{2}}{{x}_{1}}) < 1 $ ，则 $ f(\dfrac{{x}_{2}}{{x}_{1}})-1 < 0 $ ，则 $ f({x}_{2})=f({x}_{1})+f(\dfrac{{x}_{2}}{{x}_{1}})-1 < f({x}_{1}) $ ，

故函数 $ f(x) $ 在 $ (0,+\mathrm{\infty }) $ 上单调递减， $ \mathrm{C} $ 错误；

对于 $ \mathrm{D} $ ，由 $ \mathrm{C} $ 的分析可知函数 $ f(x) $ 为偶函数且在 $ (0,+\mathrm{\infty }) $ 上单调递减，则 $ f(x) $ 在 $ (-\mathrm{\infty },0) $ 上单调递增，

故由 $ f(2x+1) > 1 $ 结合 $ f(-1)=1 $ ， $ f(1)=1 $ 可得 $ -1 < 2x+1 < 1 $ ，且 $ 2x+1\ne 0 $ ，

解得 $ -1 < x < 0 $ ，且 $ x\ne -\dfrac{1}{2} $ ，即 $ f(2x+1) > 1 $ 的解集为 $ (-1,-\dfrac{1}{2})\cup (-\dfrac{1}{2},0) $ ， $ \mathrm{D} $ 正确，故选 $ \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{D} $ .

根据定义可得 $ {y}_{1}=f(a)×(-1)+f(b)×(a-1) $ , $ {y}_{2}=f(a)×(b+1)+f(b)×1 $ , $ f(ab)={y}_{1}+{y}_{2}=-f(a)+(a-1)×f(b)+(b+1)×f(a)+f(b)=bf(a)+af(b) $ .

令 $ a=b=0 $ ,则 $ f(0)=0 $ , $ \mathrm{A} $ 正确；

令 $ a=b=1 $ ,则 $ f(1)=f(1)+f(1) $ ,得 $ f(1)=0 $ ,令 $ a=b=-1 $ ,则 $ f(1)=-f(-1)-f(-1) $ ,得 $ f(-1)=0 $ , $ \mathrm{B} $ 错误；

令 $ a=x $ , $ b=-1 $ ,则 $ f(-x)=-f(x)+xf(-1) $ ,即 $ f(-x)=-f(x) $ ,又定义域为 $ \boldsymbol{R} $ ,所以 $ f(x) $ 是奇函数,故 $ \mathrm{C} $ 错误, $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{D} $ .

由题可得 $ f(-x)-g(-x)=-f(x)-g(x)=-{x}^{3}+{x}^{2}+1 $ ,

与 $ f(x)-g(x)={x}^{3}+{x}^{2}+1 $ 相加得 $ -2g(x)=2({x}^{2}+1) $ ,

故 $ g(x)=-({x}^{2}+1) $ , $ f(x)={x}^{3} $ ,

故 $ f(1)+g(2)=1-5=-4 $ .

设 $ g(x)=kx\sqrt{{x}^{2}+2} $ ,则 $ g(-x)=k(-x)\sqrt{{\left(-x\right) ^ {2}}+2}=-kx\sqrt{{x}^{2}+2}=-g(x) $ ,且定义域为 $ \boldsymbol{R} $ ,

$ \therefore g(x) $ 是奇函数, $ \therefore f(-x)=-g(x)+1 $ ,与 $ f(x)=g(x)+1 $ 相加得 $ f(x)+f(-x)=2 $ ,

$ \therefore f(-2024)=2-f(2024)=2-(-2021)=2023 $ .

令 $ x=-2 $ ,得 $ f(2)=f(-2)+2f(2) $ ,

又 $ f(x) $ 是偶函数,所以 $ f(-2)=f(2) $ ,

所以 $ f(2)=0 $ ,所以 $ f(x+4)=f(x) $ ,

故 $ f(x) $ 是以4为周期的函数,

所以 $ f(2022)=f(2)=0 $ .