第3.2节综合训练

对于 $ \mathrm{A} $ ，若 $ y=f(x) $ ， $ y=g(x) $ 均为奇函数，则 $ f(-x)=-f(x) $ , $ g(-x)=-g(x) $ ，则 $ f(g(-x))=f(-g(x))=-f(g(x)) $ ，且 $ y=f(g(x)) $ 的定义域为 $ \boldsymbol{R} $ ,则函数 $ y=f(g(x)) $ 为奇函数，故 $ \mathrm{A} $ 正确；

对于 $ \mathrm{B} $ ，设 $ f(x)=x $ ， $ g(x)=3x $ ，在 $ \boldsymbol{R} $ 上都是增函数，则 $ y=f(x)\cdot g(x)=3{x}^{2} $ ，但其在 $ \boldsymbol{R} $ 上不单调，故 $ \mathrm{B} $ 错误；

对于 $ \mathrm{C} $ ，设 $ f(x)={x}^{2} $ ， $ g(x)=3x $ ，满足 $ f(g(x))=f(g(-x)) $ ，但 $ g(x)=g(-x) $ 不成立，故 $ \mathrm{C} $ 错误；

对于 $ \mathrm{D} $ ，设 $ f(x)=-{x}^{3} $ ， $ g(x)=-2x $ ， $ f(g(x))=-{\left(-2x\right) ^ {3}}=8{x}^{3} $ ， $ f(g(x)) $ 在 $ \boldsymbol{R} $ 上单调递增，满足 $ \dfrac{f(g({x}_{1}))-f(g({x}_{2}))}{{x}_{1}-{x}_{2}} > 0 $ ，但 $ g(x) $ 为 $ \boldsymbol{R} $ 上的减函数， $ \dfrac{g({x}_{1})-g({x}_{2})}{{x}_{1}-{x}_{2}} < 0 $ ，故 $ \mathrm{D} $ 错误.故选 $ \mathrm{A} $ .

由图可知, $ f(x)=\dfrac{{m}_{1}x+1}{x+1}={m}_{1}+\dfrac{1-{m}_{1}}{x+1} $ 在 $ x\geqslant 0 $ 时单调递增，则 $ 1-{m}_{1} < 0 $ ，即 $ {m}_{1} > 1 $ .又 $ f(1)=\dfrac{{m}_{1}+1}{1+1} > 1 $ ，即 $ {m}_{1} > 1 $ .

综上， $ {m}_{1} > 1 $ .

$ g(x)=\dfrac{{m}_{2}x+1}{x+1}={m}_{2}+\dfrac{1-{m}_{2}}{x+1} $ 在 $ x\geqslant 0 $ 时单调递减，则 $ 1-{m}_{2} > 0 $ ，即 $ {m}_{2} < 1 $ .

又 $ g(1)=\dfrac{{m}_{2}+1}{1+1} < 0 $ ，则 $ {m}_{2} < -1 $ .

综上， $ {m}_{2} < -1 $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

因为偶函数 $ f(x) $ 在 $ (0,+\mathrm{\infty }) $ 上单调递增，所以函数 $ f(x) $ 在 $ (-\mathrm{\infty },0) $ 上单调递减，则 $ f(-3)=f(3)=0 $ ，则不等式 $ ({x}^{2}-9)f(x-2)\leqslant 0 $ 等价为

当 $ {x}^{2}-9 > 0 $ 时， $ f(x-2)\leqslant 0 $ ，此时 $ \begin{cases}x < -3\text{或}x > 3,\\ -3\leqslant x-2\leqslant 3,\end{cases} $ 解得 $ 3 < x\leqslant 5 $ ；

当 $ {x}^{2}-9 < 0 $ 时， $ f(x-2)\geqslant 0 $ ，此时 $ \begin{cases}-3 < x < 3,\\ x-2\geqslant 3\text{或}x-2\leqslant -3,\end{cases} $ 解得 $ -3 < x\leqslant -1 $ ；

当 $ {x}^{2}-9=0 $ ，即 $ x=±3 $ 时，显然满足题意.

综上，不等式的解集为 $ ｛x|-3\leqslant x\leqslant -1 $ 或 $ 3\leqslant x\leqslant 5｝ $ ，即 $ x $ 的取值范围为 $ [-3,-1]\cup [3,5] $ .故选 $ \mathrm{A} $ .

由 $ {x}^{2}-2x+1\leqslant 4⇒(x+1)\cdot (x-3)\leqslant 0⇒-1\leqslant x\leqslant 3 $ .

所以 $ {f}_{4}(x)=\begin{cases}{x}^{2}-2x+1,-1\leqslant x\leqslant 3,\\ 4,x < -1\mathrm{或}x > 3,\end{cases} $ 作出 $ {f}_{4}(x) $ 的图象如图所示，

所以 $ {f}_{4}(2)=f(2)={2}^{2}-2×2+1=1 $ ，故 $ \mathrm{A} $ 正确；

由图可知 $ {f}_{4}(x) $ 在 $ (-\mathrm{\infty },1) $ 上不单调递减，故 $ \mathrm{B} $ 错误；

将函数 $ {f}_{4}(x) $ 的图象向左平移1个单位长度，所得图象关于 $ y $ 轴对称，即 $ {f}_{4}(x+1) $ 为偶函数，故 $ \mathrm{C} $ 正确；

因为 $ {f}_{4}(x)\in [0,4] $ ，当 $ x\in [0,4] $ 时， $ f(x)={x}^{2}-2x+1={\left(x-1\right) ^ {2}}\in [0,9] $ ，即 $ y=f({f}_{4}(x)) $ 的值域为 $ [0,9] $ ，故 $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{D} $ .

$ f(x)=\sqrt{\dfrac{1}{1+{x}^{2}}}+\sqrt{\dfrac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}} $ , $ x\in \boldsymbol{R} $ , $ f(-x)=\sqrt{\dfrac{1}{1+{x}^{2}}}+\sqrt{\dfrac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}} $ ,故 $ f(-x)=f(x) $ ,又 $ f(x) $ 的定义域为 $ \boldsymbol{R} $ ,所以函数 $ f(x) $ 是偶函数, $ \mathrm{A} $ 正确.

先研究 $ x > 0 $ 的情况，

$ [f(x)]^{2}=\dfrac{1}{1+{x}^{2}}+\dfrac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}+\dfrac{2x}{1+{x}^{2}} $ ,

故 $ f(x)=\sqrt{1+\dfrac{2x}{1+{x}^{2}}}=\sqrt{1+\dfrac{2}{\dfrac{1}{x}+x}} $ ,

令 $ g(x)=\dfrac{1}{x}+x $ ，由对勾函数的性质，知当 $ x\in (0,1) $ 时， $ g(x) $ 单调递减，当 $ x\in (1,+\mathrm{\infty }) $ 时， $ g(x) $ 单调递增，且 $ g(x) > 0 $ ,

所以 $ f(x) $ 在 $ (0,1) $ 上单调递增，在 $ (1,+\mathrm{\infty }) $ 上单调递减，故 $ \mathrm{B} $ 正确.

由上述分析知 $ x\geqslant 0 $ 时， $ f(x) $ 在 $ x=1 $ 处取得最大值 $ f(1)=\sqrt{2} $ , $ f(0)=1 $ ,且当 $ x\to +\mathrm{\infty } $ 时， $ f(x)\to 1 $ ,

又由偶函数的对称性可得 $ \mathrm{C} $ 错误， $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{D} $ .

对于 $ \mathrm{A} $ ，令 $ x=y=0 $ ，得 $ f(0)-f(0)=f(0) $ ，即 $ f(0)=0 $ ，故 $ \mathrm{A} $ 正确；

对于 $ \mathrm{B} $ ，令 $ y=-x $ 得 $ f(x)-f(-x)=f(\dfrac{2x}{1+{x}^{2}}) $ ，①

再以 $ -x $ 代 $ x $ ，得 $ f(-x)-f(x)=f(\dfrac{-2x}{1+{x}^{2}}) $ ， $ \mathrm{②}\text{ }\mathrm{①}+\mathrm{②} $ 得 $ f(\dfrac{2x}{1+{x}^{2}})+f(\dfrac{-2x}{1+{x}^{2}})=0 $ ， $ \text{ }\therefore f(\dfrac{-2x}{1+{x}^{2}})=-f(\dfrac{2x}{1+{x}^{2}}) $ ， $ \therefore $   定义在 $ (-1,1) $ 上的函数 $ f(x) $ 为奇函数，故 $ \mathrm{B} $ 正确；

对于 $ \mathrm{C} $ ， $ \because $   函数 $ f(x) $ 为定义在 $ (-1,1) $ 上的奇函数，且当 $ x\in (-1,0) $ 时， $ f(x) < 0 $ ，

不妨设 $ -1 < {x}_{1} < {x}_{2} < 1 $ ，则 $ f({x}_{1})-f({x}_{2})=f(\dfrac{{x}_{1}-{x}_{2}}{1-{x}_{1}{x}_{2}}) $ ， $ \because -1 < {x}_{1} < {x}_{2} < 1 $ ， $ \therefore \dfrac{{x}_{1}-{x}_{2}}{1-{x}_{1}{x}_{2}} < 0 $ 且 $ \dfrac{{x}_{1}-{x}_{2}}{1-{x}_{1}{x}_{2}}+1=\dfrac{(1+{x}_{1})(1-{x}_{2})}{1-{x}_{1}{x}_{2}} > 0 $ , $ \therefore -1 < \dfrac{{x}_{1}-{x}_{2}}{1-{x}_{1}{x}_{2}} < 0 $ ， $ \therefore f(\dfrac{{x}_{1}-{x}_{2}}{1-{x}_{1}{x}_{2}}) < 0 $ ，则 $ f({x}_{1})-f({x}_{2}) < 0 $ ，即 $ f({x}_{1}) < f({x}_{2}) $ ，故函数 $ f(x) $ 在 $ (-1,1) $ 上单调递增，故 $ \mathrm{C} $ 错误;

对于 $ \mathrm{D} $ ，令 $ x=\dfrac{5}{7} $ , $ y=\dfrac{1}{3} $ ，则 $ f(\dfrac{5}{7})-f(\dfrac{1}{3})=f(\dfrac{1}{2}) $ ，即 $ f(\dfrac{1}{2})+f(\dfrac{1}{3})=f(\dfrac{5}{7}) $ ， $ \because \dfrac{5}{7} < \dfrac{5}{6} $ ，且函数 $ f(x) $ 在 $ (-1,1) $ 上单调递增，

$ \therefore f(\dfrac{5}{7}) < f(\dfrac{5}{6}) $ ，即 $ f(\dfrac{1}{2})+f(\dfrac{1}{3}) < f(\dfrac{5}{6}) $ ，故 $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{D} $ .