专题3 函数的性质及应用

因为 $ a < 0 $ ,所以 $ 1-a > 1 $ , $ 1+a < 1 $ ,所以 $ f(1-a)=-(1-a)-2a $ , $ f(1+a)=2(1+a)+a $ .

因为 $ f(1-a)=f(1+a) $ ,所以 $ -(1-a)-2a=2(1+a)+a $ ,解得 $ a=-\dfrac{3}{4} $ .故选 $ \mathrm{A} $ .

当 $ x\leqslant 4 $ 时, $ f(x)=-{x}^{2}+4x=-{\left(x-2\right) ^ {2}}+4\leqslant 4 $ .

当 $ x > 4，a\leqslant 0 $ 时, $ f(x)=\dfrac{a}{x}\leqslant 0 $ ,此时函数 $ f(x)=\begin{cases}-{x}^{2}+4x,x\leqslant 4,\\ \dfrac{a}{x},x > 4\end{cases} $ 的最大值为4,符合题意；

当 $ a > 0 $ 时, $ f(x)=\dfrac{a}{x} $ 在 $ (4,+\mathrm{\infty }) $ 上单调递减,故 $ f(x) < \dfrac{a}{4} $ ,

若 $ f(x)=\begin{cases}-{x}^{2}+4x,x\leqslant 4,\\ \dfrac{a}{x},x > 4\end{cases} $ 有最大值,则 $ \dfrac{a}{4}\leqslant 4 $ ,得 $ 0 < a\leqslant 16 $ .

综上可得 $ a\leqslant 16 $ ,故选 $ \mathrm{B} $ .

由题知 $ f(x)=\begin{cases}3-\mid x-3\mid ,x\leqslant 1\mathrm{或}x\geqslant 3,\\ {x}^{2}-3x+3,1 < x < 3,\end{cases} $

作出函数 $ f(x) $ 的图象如图所示，其中 $ A(1,1) $ ， $ B(3,3) $ ，

若 $ f(x)=\dfrac{3}{4} $ ，则当 $ x\geqslant 3 $ 或 $ x\leqslant 1 $ 时，由 $ 3-|x-3|=\dfrac{3}{4} $ ，得 $ |x-3|=\dfrac{9}{4} $ ，

即 $ {x}_{C}=\dfrac{3}{4} $ 或 $ {x}_{G}=\dfrac{21}{4} $ ；

若 $ f(x)=\dfrac{7}{4} $ ，则当 $ 1 < x < 3 $ 时，由 $ {x}^{2}-3x+3=\dfrac{7}{4} $ ，得 $ {x}_{E}=\dfrac{5}{2} $ .

由图象知若 $ f(x) $ 在区间 $ [m,n] $ 上的值域为 $ [\dfrac{3}{4},\dfrac{7}{4}] $ ，则区间 $ [m,n] $ 长度的最大值为 $ {x}_{E}-{x}_{C}=\dfrac{5}{2}-\dfrac{3}{4}=\dfrac{7}{4} $ ，故选 $ \mathrm{B} $ .

依题意,对任意的 $ {x}_{1} $ , $ {x}_{2}\in [0,+\mathrm{\infty })({x}_{1}\ne {x}_{2}) $ ,有 $ \dfrac{f({x}_{2})-f({x}_{1})}{{x}_{2}-{x}_{1}} < 0 $ ,

所以 $ f(x) $ 在区间 $ [0,+\mathrm{\infty }) $ 上单调递减.又 $ f(x) $ 是偶函数,

所以由 $ f(a+2) > f(a-3) $ 可得 $ |a+2| < |a-3| $ ,两边平方得 $ {a}^{2}+4a+4 < {a}^{2}-6a+9 $ ,解得 $ a < \dfrac{1}{2} $ .所以实数 $ a $ 的取值范围是 $ (-\mathrm{\infty },\dfrac{1}{2}) $ .故选 $ \mathrm{A} $ .

对于 $ \mathrm{A} $ , $ f(x)=\dfrac{3+x}{4-x}=\dfrac{7}{4-x}-1\ne -1 $ , $ |f(x)|\in [0,+\mathrm{\infty }) $ ,不存在正数 $ M $ ,使得 $ |f(x)|\leqslant M $ 成立, $ f(x) $ 不是“有界函数”；

对于 $ \mathrm{B} $ , $ f(x)=\sqrt{4-{x}^{2}}\in [0,2] $ , $ |f(x)|\in [0,2] $ ,存在正数 $ M\geqslant 2 $ ,使得 $ |f(x)|\leqslant M $ 成立, $ f(x) $ 是“有界函数”；

对于 $ \mathrm{C} $ , $ f (x )=\dfrac{5}{2{x}^{2}-4x+3}=\dfrac{5}{2 (x-1)^{2}+1}\in (0,5 ] $ , $ |f(x)|\in (0,5] $ ,存在正数 $ M\geqslant 5 $ ,使得 $ |f(x)|\leqslant M $ 成立, $ f(x) $ 是“有界函数”；

对于 $ \mathrm{D} $ , $ f(x)=x+\sqrt{x-4} $ 在 $ [4,+\mathrm{\infty }) $ 上单调递增,所以 $ f(x)\in [4,+\mathrm{\infty }) $ , $ |f(x)|\in [4,+\mathrm{\infty }) $ ,不存在正数 $ M $ ,使得 $ |f(x)|\leqslant M $ 成立, $ f(x) $ 不是“有界函数”.故选 $ \mathrm{B}\mathrm{C} $ .

对于 $ \mathrm{A} $ ， $ f(x)=\dfrac{{x}^{2}+1}{x}+\dfrac{x}{{x}^{2}+1} $ 的定义域为 $ ｛x|x\ne 0｝ $ ，

又 $ f(-x)=\dfrac{{\left(-x\right) ^ {2}}+1}{-x}+\dfrac{-x}{{\left(-x\right) ^ {2}}+1}=-(\dfrac{{x}^{2}+1}{x}+\dfrac{x}{{x}^{2}+1})=-f(x) $ ，所以 $ f(x) $ 是奇函数，故 $ \mathrm{A} $ 正确；

对于 $ \mathrm{B} $ ，由对勾函数的性质知 $ t=\dfrac{{x}^{2}+1}{x}=x+\dfrac{1}{x} $ 在 $ (0,1) $ 上单调递减，在 $ (1,+\mathrm{\infty }) $ 上单调递增，且 $ t=x+\dfrac{1}{x} $ 在 $ (0,+\mathrm{\infty }) $ 上的值域为 $ [2,+\mathrm{\infty }) $ ，

而 $ y=t+\dfrac{1}{t} $ 在 $ t\in [2,+\mathrm{\infty }) $ 上单调递增，所以 $ f(x) $ 在 $ (0,1) $ 上单调递减，在 $ (1,+\mathrm{\infty }) $ 上单调递增，且 $ f(x)\in [\dfrac{5}{2},+\mathrm{\infty }) $ ，

由奇函数的对称性知 $ f(x) $ 在 $ (-\mathrm{\infty },-1) $ 上单调递增，在 $ (-1,0) $ 上单调递减，且 $ f(x)\in (-\mathrm{\infty },-\dfrac{5}{2}] $ ，所以 $ f(x) $ 的值域为 $ (-\mathrm{\infty },-\dfrac{5}{2}]\cup [\dfrac{5}{2},+\mathrm{\infty }) $ ，故 $ \mathrm{B} $ 错误；

对于 $ \mathrm{C} $ ，当 $ x > 0 $ 时， $ f(x)-x=\dfrac{{x}^{2}+1}{x}+\dfrac{x}{{x}^{2}+1}-x=\dfrac{1}{x}+\dfrac{x}{{x}^{2}+1} > 0 $ 恒成立，所以恒有 $ f(x) > x $ 成立，故 $ \mathrm{C} $ 正确；

对于 $ \mathrm{D} $ ， $ f(\dfrac{1}{x})=\dfrac{{\left(\dfrac{1}{x}\right) ^ {2}}+1}{\dfrac{1}{x}}+\dfrac{\dfrac{1}{x}}{{\left(\dfrac{1}{x}\right) ^ {2}}+1}=\dfrac{1+{x}^{2}}{x}+\dfrac{x}{1+{x}^{2}}=f(x) $ ，

因为 $ {x}_{1} > 0 $ ， $ {x}_{2} > 0 $ ， $ {x}_{1}\ne {x}_{2} $ ，且 $ f({x}_{1})=f({x}_{2}) $ ，

所以 $ {x}_{2}=\dfrac{1}{{x}_{1}} $ ，故 $ {x}_{1}+{x}_{2}={x}_{1}+\dfrac{1}{{x}_{1}}\geqslant 2\sqrt{{x}_{1}\cdot \dfrac{1}{{x}_{1}}}=2 $ ，当且仅当 $ {x}_{1}=1 $ 时等号成立，而 $ {x}_{1}=1 $ 时， $ {x}_{2}={x}_{1}=1 $ ，又 $ {x}_{1}\ne {x}_{2} $ ,故等号不成立，所以 $ {x}_{1}+{x}_{2} > 2 $ ，故 $ \mathrm{D} $ 正确.

故选 $ \mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{D} $ .

因为 $ f(-x)=f(x)+2{x}^{3} $ ，所以 $ f(-x)-{x}^{3}=f(x)+{x}^{3} $ ，

设 $ g(x)=f(x)+{x}^{3} $ ，则 $ g(-x)=f(-x)+{\left(-x\right) ^ {3}}=f(-x)-{x}^{3}=f(x)+{x}^{3}=g(x) $ ，且 $ g(x) $ 的定义域为 $ \boldsymbol{R} $ ,所以函数 $ g(x) $ 为偶函数.又函数 $ f(x) $ 在区间 $ [0,+\mathrm{\infty }) $ 上单调递增， $ y={x}^{3} $ 在 $ [0,+\mathrm{\infty }) $ 上单调递增，

所以 $ g(x) $ 在区间 $ [0,+\mathrm{\infty }) $ 上单调递增，在区间 $ (-\mathrm{\infty },0) $ 上单调递减，

则关于 $ t $ 的不等式 $ f(t)\geqslant f(t+1)+3{t}^{2}+3t+1 $ 可变形为 $ f(t)+{t}^{3}\geqslant f(t+1)+{\left(t+1\right) ^ {3}} $ ，

即 $ g(t)\geqslant g(t+1) $ ，所以 $ |t|\geqslant |t+1| $ ，解得 $ t\leqslant -\dfrac{1}{2} $ ，所以关于 $ t $ 的不等式 $ f(t)\geqslant f(t+1)+3{t}^{2}+3t+1 $ 的解集为 $ (-\mathrm{\infty },-\dfrac{1}{2}] $ .

因为 $ f(x)-1 $ 为奇函数，所以 $ f(0)=1 $ ，且函数 $ f(x) $ 的图象关于点 $ (0,1) $ 中心对称，即 $ f(x)+f(-x)=2 $ .

因为 $ f(x+2) $ 为偶函数，所以 $ f(x+2)=f(2-x) $ ，所以 $ f(x+4)=f(-x) $ ，

所以 $ f(x)+f(x+4)=2 $ ， $ f(x+4)+f(x+8)=2 $ ，所以 $ f(x)=f(x+8) $ ，所以 $ f(x) $ 是以8为周期的函数.

因为 $ f(1)+f(5)=2 $ , $ f(2)+f(6)=2 $ , $ f(3)+f(7)=2 $ , $ f(4)+f(8)=2 $ ，

所以 $ f(1)+f(2)+\cdots +f(16)=2[f(1)+f(2)+\cdots +f(8)]=16 $ ，故选 $ \mathrm{B} $ .

因为 $ f(x-1) $ 的图象关于点 $ (1,0) $ 中心对称,所以 $ f(x) $ 的图象的对称中心是 $ (0,0) $ ,故 $ f(-x)=-f(x) $ .

因为 $ f(x+2) $ 是偶函数,所以 $ f(x) $ 的图象的对称轴是直线 $ x=2 $ ,即 $ f(2+x)=f(2-x) $ ,

在 $ f(2+x)=f(2-x) $ 中,把 $ x $ 替换为 $ x-2 $ ,得到 $ f(x)=f(4-x) $ ,故 $ f(-x)=-f(4-x) $ ,把 $ x $ 替换为 $ x-4 $ ,得到 $ f(4-x)=-f(8-x) $ ,所以 $ f(-x)=f(8-x) $ ,因此 $ f(x) $ 的周期为8.

所以 $ f(10)=f(2) $ , $ f(19)=f(3)=f(1) $ , $ f(13)=f(5)=f(-1) $ .因为 $ f(x) $ 在 $ [0,2] $ 上单调递增且 $ f(x) $ 是奇函数,所以 $ f(x) $ 在 $ [-2,2] $ 上单调递增,所以 $ f(-1) < f(1) < f(2) $ ,所以 $ f(13) < f(19) < f(10) $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

由 $ f(1+2x)=4-f(1-2x) $ ，得 $ f(x)=4-f(2-x) $ ，所以 $ f(x)+f(2-x)=4 $ ，所以 $ f(x) $ 的图象关于点 $ (1,2) $ 中心对称，故 $ \mathrm{A} $ 正确；

由 $ f(x)+f(2-x)=4 $ 得 $ [g(x)-2x]+[g(2-x)-2(2-x)]=4 $ ，即 $ g(x)+g(2-x)=8 $ ，所以 $ g(x) $ 的图象关于点 $ (1,4) $ 中心对称，又因为函数 $ g(x)=f(x)+2x $ 的图象关于直线 $ x=2 $ 对称，所以 $ g(x)=g(4-x) $ ，所以 $ g(4-x)+g(2-x)=8 $ ，所以 $ g(2-x)+g(-x)=8 $ ，

所以 $ g(-x)=g(4-x) $ ，即 $ g(x+4)=g(x) $ ，所以 $ g(x) $ 是以4为周期的函数，故 $ \mathrm{B} $ 错误， $ \mathrm{C} $ 正确；

若 $ f(2)=1 $ ，且 $ f(x) $ 的图象关于点 $ (1,2) $ 中心对称，所以 $ f(0)=3 $ ，所以 $ g(0)=f(0)+0=3 $ ，所以 $ g(2024)=g(0)=3 $ ，所以 $ f(2024)=g(2024)-2×2024=-4045 $ ，故 $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{D} $ .

因为当 $ {x}_{1} $ , $ {x}_{2}\in [-1,0] $ ，且 $ {x}_{1}\ne {x}_{2} $ 时， $ \dfrac{f({x}_{1})-f({x}_{2})}{{x}_{1}-{x}_{2}} < 0 $ ，不妨设 $ {x}_{1} < {x}_{2} $ ，则 $ {x}_{1}-{x}_{2} < 0 $ ，故 $ f({x}_{1})-f({x}_{2}) > 0 $ ，即 $ f({x}_{1}) > f({x}_{2}) $ ，所以 $ f(x) $ 在 $ [-1,0] $ 上单调递减.

因为 $ f(x) $ 是 $ \boldsymbol{R} $ 上的偶函数，所以 $ f(x) $ 的图象关于 $ y $ 轴对称，故 $ f(x) $ 在 $ [0,1] $ 上单调递增.

因为 $ f(\dfrac{1}{2})=0 $ ，所以 $ f(-\dfrac{1}{2})=f(\dfrac{1}{2})=0 $ .

又因为 $ f(-1+x)=f(-1-x) $ ，所以 $ f(x) $ 的图象关于直线 $ x=-1 $ 对称，故 $ f(x) $ 在 $ [-2,-1] $ 上单调递增，即 $ f(x) $ 在 $ [-\dfrac{3}{2},-1] $ 上单调递增，且 $ f(-\dfrac{3}{2})=f(-\dfrac{1}{2})=0 $ .所以 $ {x}^{3} $ 与 $ f(x) $ 在 $ [-\dfrac{3}{2},1] $ 上的单调性与正负情况如下.

结合表格可知，不等式 $ {x}^{3}f(x) > 0 $ 的解集为 $ (-\dfrac{1}{2},0)\cup (\dfrac{1}{2},1] $ .

因为 $ \forall x $ , $ y\in \boldsymbol{R} $ ，有 $ f(x+y)=f(x)+f(y)-1 $ ，

令 $ x=y=0 $ ，则 $ f(0)=f(0)+f(0)-1 $ ，则 $ f(0)=1 $ .

$ \mathrm{A} $ 项，令 $ y=-x $ ，则 $ f(0)=f(x)+f(-x)-1 $ ，即 $ f(x)+f(-x)=2 $ ，故 $ f(x) $ 的图象关于点 $ (0,1) $ 中心对称，故 $ \mathrm{A} $ 正确.

设 $ \forall {x}_{1} $ , $ {x}_{2}\in \boldsymbol{R} $ 且 $ {x}_{1} < {x}_{2} $ ，则 $ {x}_{2}-{x}_{1} > 0 $ ，由 $ f(x+y)=f(x)+f(y)-1 $ ，

令 $ x={x}_{2} $ ， $ y=-{x}_{1} $ ，由 $ \mathrm{A} $ 项分析中 $ f(x)+f(-x)=2 $ ，得 $ f({x}_{2}-{x}_{1})=f({x}_{2})+f(-{x}_{1})-1=f({x}_{2})+2-f({x}_{1})-1 $ ，即 $ f({x}_{2}-{x}_{1})-1=f({x}_{2})-f({x}_{1}) $ ，

当 $ x > 0 $ 时， $ f(x) < 1 $ ，则 $ f({x}_{2}-{x}_{1}) < 1 $ ，所以 $ f({x}_{2})-f({x}_{1})=f({x}_{2}-{x}_{1})-1 < 0 $ ，所以 $ f({x}_{2}) < f({x}_{1}) $ ，故 $ f(x) $ 在 $ \boldsymbol{R} $ 上单调递减.

$ \mathrm{B} $ 项，令 $ y=x $ ，则 $ f(2x)=f(x)+f(x)-1=2f(x)-1 $ ，

以 $ 2x $ 替换 $ x $ 和 $ y $ ，则 $ f(2x+2x)=2f(2x)-1 $ ，

即 $ f(4x)=2f(2x)-1=2[2f(x)-1]-1 $ ，

则 $ f(4x)=4f(x)-3 $ ，故 $ \mathrm{B} $ 错误.

$ \mathrm{C} $ 项，因为 $ f(1)=-2 $ ，所以 $ f(2)=2f(1)-1=-5 $ ， $ f(3)=f(2)+f(1)-1=-8 $ ，

又 $ f(3)+f(-3)=2 $ ，所以 $ f(-3)=2-f(3)=10 $ ，由 $ f(x) $ 在 $ \boldsymbol{R} $ 上单调递减，

可知当 $ x=-3 $ 时， $ f(x) $ 在 $ [-3,3] $ 上取到最大值，最大值为10，故 $ \mathrm{C} $ 正确.

$ \mathrm{D} $ 项，由 $ x\in \boldsymbol{R} $ , $ f(3{x}^{2})-2f(x) > f(3x)+4⇔.f(3{x}^{2}) > f(x)+f(x)+f(3x)+4⇔f(3{x}^{2}) > f(2x+3x)+2+4⇔f(3{x}^{2}) > f(5x)+7-1 $ ，

又因为 $ f(2)+f(-2)=2 $ ， $ f(2)=-5 $ ，所以 $ f(-2)=7 $ ，

所以 $ f(3{x}^{2}) > f(5x)+f(-2)-1 $ ，即 $ f(3{x}^{2}) > f(5x-2) $ ，

由 $ f(x) $ 在 $ \boldsymbol{R} $ 上单调递减，可得 $ 3{x}^{2} < 5x-2 $ ，解得 $ \dfrac{2}{3} < x < 1 $ ，所以原不等式的解集为 $ ｛x|\dfrac{2}{3} < x < 1｝ $ ，故 $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{D} $ .