1．下列是指数函数的是（ ）
A． $ y=-{3}^{x} $
B． $ y=2{x}^{2}-1 $
C． $ y={a}^{x+1} $
D． $ y={\mathrm{\pi }}^{x} $
根据指数函数的特征：系数为1，底数满足 $ a > 0 $ 且 $ a\ne 1 $ ，自变量在指数位置可知， $ \mathrm{A} $ ， $ \mathrm{B} $ ， $ \mathrm{C} $ 不是指数函数， $ \mathrm{D} $ 是指数函数.故选 $ \mathrm{D} $ .
2．“ $ m=1 $ ”是“ $ f(x)={6}^{mx} $ 为指数函数”的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
当 $ m=1 $ 时， $ f(x)={6}^{x} $ 是指数函数；
若 $ f(x)={\left({6}^{m}\right) ^ {x}} $ 是底数为 $ {6}^{m} $ 的指数函数，则 $ {6}^{m} > 0 $ ，且 $ {6}^{m}\ne 1 $ ，解得 $ m\ne 0 $ ，
故“ $ m=1 $ ”是“ $ f(x)={6}^{mx} $ 为指数函数”的充分不必要条件.故选 $ \mathrm{C} $ .
3．函数 $ y=({a}^{2}-5a+7){a}^{x}+6-2a $ 是指数函数，则有（ ）
A． $ a=2 $ 或 $ a=3 $
B． $ a=3 $
C． $ a=2 $
D． $ a > 2 $ 且 $ a\ne 3 $
由指数函数的概念,得 $ {a}^{2}-5a+7=1 $ 且 $ 6-2a=0 $ ,解得 $ a=3 $ .故选 $ \mathrm{B} $ .
4．已知函数 $ f(x)=\begin{cases}{2}^{x}+1,x < 2,\\ \mid x-5\mid ,x\geqslant 2,\end{cases} $ 则 $ f(f(0))= $ （ ）
A．2
B．3
C．5
D．33
函数 $ f(x)=\begin{cases}{2}^{x}+1,x < 2,\\ \mid x-5\mid ,x\geqslant 2,\end{cases} $ 则 $ f(0)={2}^{0}+1=2 $ ，所以 $ f(f(0))=f(2)=|2-5|=3 $ .故选 $ \mathrm{B} $ .
5．已知关于 $ x $ 的不等式 $ mx-n > 0 $ 的解集为 $ ｛x|x < -2｝ $ ，函数 $ f (x )= ({b}^{2}+1 ){a}^{x} (a > 0 $ 且 $ a\ne 1) $ 为指数函数，则 $ f(n)\cdot [f(m)]^{2}= $ （ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
$ \because $ 不等式 $ mx-n > 0 $ 的解集为 $ ｛x|x < -2｝ $ , $ \therefore -2m-n=0 $ ,即 $ n+2m=0 $ .
又 $ f(x) $ 为指数函数, $ \therefore {b}^{2}+1=1 $ ,
$ \therefore f(x)={a}^{x} $ , $ a > 0 $ 且 $ a\ne 1 $ ,
$ \therefore f (n )\cdot [f (m ){ ]}^{2}={a}^{n}\cdot ({a}^{m})^{2}={a}^{n+2m}={a}^{0}=1 $ .故选 $ \mathrm{A} $ .
6．已知指数函数 $ f(x) $ 的图象经过点 $ (-2,\dfrac{1}{16}) $ ，则 $ f(-\dfrac{1}{2})= $ .
$ \dfrac{1}{2} $
设 $ f (x )={a}^{x} (a > 0 $ ,且 $ a\ne 1) $ ,由于其图象经过点 $ (-2,\dfrac{1}{16}) $ ,所以 $ {a}^{-2}=\dfrac{1}{16} $ ,
解得 $ a=4 $ 或 $ a=-4 $ （舍去）,因此 $ f(x)={4}^{x} $ ,故 $ f(-\dfrac{1}{2})={4}^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{2} $ .
7．已知函数 $ f(x)={a}^{x} $ ， $ g(x)={\left(\dfrac{1}{a}\right) ^ {x}}(a > 0,a\ne 1) $ ， $ f(-1)=\dfrac{1}{2} $ .
（1）求 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 的函数解析式；
（2）设 $ h(x)=f(x)+g(x) $ ，判断 $ h(x) $ 的奇偶性，并加以证明.
见解析
（1）由于 $ f(-1)={a}^{-1}=\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{2} $ ，所以 $ a=2 $ ，所以 $ f(x)={2}^{x} $ , $ g(x)={2}^{-x} $ .
（2） $ h(x)=f(x)+g(x)={2}^{x}+{2}^{-x} $ ， $ h(x) $ 是偶函数，证明如下：
$ h(x) $ 的定义域为 $ \boldsymbol{R} $ ， $ h(-x)={2}^{-x}+{2}^{x}=h(x) $ ，所以 $ h(x) $ 是偶函数.
8．衣柜里的樟脑丸随着时间会挥发，使得体积缩小，刚放进的新丸体积为 $ a $ ，经过 $ t $ 天后，体积 $ V $ 与天数 $ t $ 的关系式为 $ V=a\cdot {\mathrm{e}}^{-kt} $ （ $ \mathrm{e} {\rm =2.718} $ 28…）.已知新丸经过25天后，体积变为 $ \dfrac{2}{3}a $ ，则新丸经过75天后，体积变为（ ）
A． $ \dfrac{4}{9}a $
B． $ \dfrac{1}{3}a $
C． $ \dfrac{8}{27}a $
D． $ \dfrac{5}{9}a $
设 $ t=25 $ 和 $ t=75 $ 时的体积分别为 $ {V}_{1} $ , $ {V}_{2} $ ，则 $ {V}_{1}=a\cdot {\mathrm{e}}^{-25k}=\dfrac{2}{3}a $ ，即 $ {\mathrm{e}}^{-25k}=\dfrac{2}{3} $ .
当 $ t=75 $ 时， $ {V}_{2}=a\cdot {\mathrm{e}}^{-75k}=a\cdot {\left({\mathrm{e}}^{-25k}\right) ^ {3}}=\dfrac{8}{27}a $ .故选 $ \mathrm{C} $ .
9．一种专门占据内存的计算机病毒，能在短时间内感染大量文件，使每个文件所占内存都不同程度地加大，造成磁盘空间的严重浪费.这种病毒开机时占据内存 $ 2\text{ }\mathrm{K}\mathrm{B} $ ，每3分钟后病毒所占内存是原来的2倍.记 $ x $ 分钟后病毒所占内存为 $ y\text{ }\mathrm{K}\mathrm{B} $ .
（1）求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式；
（2）如果病毒占据内存不超过 $ 1\text{ }\mathrm{G}\mathrm{B}(1\text{ }\mathrm{G}\mathrm{B}={2}^{10}\text{ }\mathrm{M}\mathrm{B},1\text{ }\mathrm{M}\mathrm{B}={2}^{10}\text{ }\mathrm{K}\mathrm{B}) $ ，计算机能够正常使用，求本次开机计算机能正常使用的时长.
见解析
（1）因为这种病毒开机时占据内存 $ 2\text{ }\mathrm{K}\mathrm{B} $ ，每3分钟后病毒所占内存是原来的2倍,所以 $ x $ 分钟后病毒所占内存为 $ y={2}^{\frac{x}{3}+1}(x\in {\boldsymbol{R}}_{+}) $ .
（2）因为病毒占据内存不超过 $ 1\text{ }\mathrm{G}\mathrm{B} $ 时，计算机能够正常使用，所以有 $ {2}^{\frac{x}{3}+1}\leqslant {2}^{20} $ ，解得 $ x\leqslant 57 $ .
所以本次开机计算机能正常使用的时长为57分钟.