4.2.2 指数函数的图象和性质

由题图可知函数 $ y={a}^{x} $ ， $ y={b}^{x} $ 均单调递增，则 $ a > 1 $ ， $ b > 1 $ .

当 $ x=-1 $ 时， $ {a}^{-1}=\dfrac{1}{a} > {b}^{-1}=\dfrac{1}{b} $ ，得 $ a < b $ ，所以 $ b > a > 1 $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

因为函数 $ f(x)=a{(\dfrac{1}{2})}^{|x|}+b $ 的图象过原点,

所以 $ f(0)=a{\left(\dfrac{1}{2}\right) ^ {0}}+b=a+b=0 $ ,

又因为图象无限接近直线 $ y=-1 $ ,但又不与该直线相交,

所以直线 $ y=-1 $ 是图象的一条渐近线,

所以 $ b=-1 $ ,所以 $ a=1 $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

因为 $ y={\left(\dfrac{1}{2}\right) ^ {2x}}={\left({2}^{-2}\right) ^ {x}}={4}^{-x}={4}^{1-(x+1)} $ ，所以只需将函数 $ y={4}^{1-x} $ 的图象向左平移1个单位长度，即可得到函数 $ y={\left(\dfrac{1}{2}\right) ^ {2x}} $ 的图象.故选 $ \mathrm{A} $ .

对于函数 $ y={a}^{x-2024}-1(a > 0,a\ne 1) $ ，令 $ x-2024=0 $ ，解得 $ x=2024 $ ，此时 $ y={a}^{0}-1=0 $ ，所以函数 $ y={a}^{x-2024}-1(a > 0,a\ne 1) $ 的图象恒过的点为 $ (2024,0) $ .

函数 $ f(x)=\dfrac{\sqrt{{2}^{x}-4}}{x-5} $ 的定义域

满足 $ \begin{cases}{2}^{x}-4\geqslant 0,\\ x-5\ne 0,\end{cases} $ 解得 $ x\geqslant 2 $ 且 $ x\ne 5 $ .

因为指数函数 $ y={3}^{x} $ 在区间 $ [-1,1] $ 上单调递增,所以 $ {3}^{-1}\leqslant {3}^{x}\leqslant {3}^{1} $ ,于是 $ {3}^{-1}-2\leqslant {3}^{x}-2\leqslant {3}^{1}-2 $ ,即 $ -\dfrac{5}{3}\leqslant {3}^{x}-2\leqslant 1 $ ,所以 $ f(x) $ 的取值范围是 $ [-\dfrac{5}{3},1] $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

对于 $ \mathrm{A} $ ，函数 $ y={1.5}^{x} $ 在 $ \boldsymbol{R} $ 上单调递增， $ 2.3 < 3.2 $ ，则 $ {1.5}^{2.3} < {1.5}^{3.2} $ ， $ \mathrm{A} $ 错误；

对于 $ \mathrm{B} $ ，函数 $ y={0.5}^{x} $ 在 $ \boldsymbol{R} $ 上单调递减， $ -1.2 > -1.5 $ ，则 $ {0.5}^{-1.2} < {0.5}^{-1.5} $ ， $ \mathrm{B} $ 错误；

对于 $ \mathrm{C} $ ，函数 $ y={0.8}^{x} $ 在 $ \boldsymbol{R} $ 上单调递减，函数 $ y={x}^{0.8} $ 在 $ (0,+\mathrm{\infty }) $ 上单调递增，则 $ {0.8}^{0.9} < {0.8}^{0.8} < {0.9}^{0.8} $ ， $ \mathrm{C} $ 正确；

对于 $ \mathrm{D} $ ， $ {1.7}^{0.2} > {1.7}^{0}=1={0.9}^{0} > {0.9}^{3.2} $ ， $ \mathrm{D} $ 错误.故选 $ \mathrm{C} $ .

当 $ x\leqslant 0 $ 时， $ f(x)+f(x-\dfrac{4}{3})=3x+1+3(x-\dfrac{4}{3})+1=6x-2\leqslant -2 $ ，

则 $ f(x)+f(x-\dfrac{4}{3}) > 4 $ 在 $ x\leqslant 0 $ 时无解；

当 $ 0 < x\leqslant \dfrac{4}{3} $ 时， $ f(x)+f(x-\dfrac{4}{3})={4}^{x}+3(x-\dfrac{4}{3})+1={4}^{x}+3x-3 $ 在 $ \boldsymbol{R} $ 上单调递增，

当 $ x=1 $ 时， $ {4}^{1}+3×1-3=4 $ ，则 $ f(x)+f(x-\dfrac{4}{3}) > 4 $ 的解集为 $ (1,\dfrac{4}{3}] $ ；

当 $ x > \dfrac{4}{3} $ 时， $ f(x)+f(x-\dfrac{4}{3})={4}^{x}+{4}^{x-\frac{4}{3}} > {4}^{\frac{4}{3}}+{4}^{0} > 4 $ ，

则 $ f(x)+f(x-\dfrac{4}{3}) > 4 $ 在 $ x > \dfrac{4}{3} $ 时恒成立.

综上，不等式 $ f(x)+f(x-\dfrac{4}{3}) > 4 $ 的解集为 $ (1,+\mathrm{\infty }) $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

因为 $ {4}^{x}+{2}^{x+1}+a=0 $ ，所以 $ -a={4}^{x}+{2}^{x+1}={\left({2}^{x}\right) ^ {2}}+2×{2}^{x} $ ，

令 $ t={2}^{x}(t > 0) $ ，则 $ -a={t}^{2}+2t(t > 0) $ ，

要使方程 $ {4}^{x}+{2}^{x+1}+a=0 $ 有实数解只需直线 $ y=-a $ 与 $ f(t)={t}^{2}+2t(t > 0) $ 的图象有交点即可.

设 $ f(t)={t}^{2}+2t={\left(t+1\right) ^ {2}}-1 $ ，当 $ t > 0 $ 时， $ f(t) $ 单调递增，所以 $ f(t) > f(0)=0 $ ，

则 $ -a > 0 $ ，即 $ a < 0 $ ，

故 $ a $ 的取值范围是 $ (-\mathrm{\infty },0) $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

因为不等式 $ {3}^{{x}^{2}-2ax} > {\left(\dfrac{1}{3}\right) ^ {x+1}} $ 对一切实数 $ x $ 恒成立，所以 $ {3}^{{x}^{2}-2ax} > {3}^{-x-1} $ 对一切实数 $ x $ 恒成立.

又因为 $ y={3}^{x} $ 为 $ \boldsymbol{R} $ 上的增函数，所以 $ {x}^{2}-2ax > -x-1 $ 对一切实数 $ x $ 恒成立，所以 $ {x}^{2}+(1-2a)x+1 > 0 $ 对一切实数 $ x $ 恒成立，故 $ \Delta ={\left(1-2a\right) ^ {2}}-4 < 0 $ ，解得 $ -\dfrac{1}{2} < a < \dfrac{3}{2} $ ，故选 $ \mathrm{A} $ .

令 $ t=\left|x-1\right| $ ，则 $ y={2}^{t} $ .因为 $ y={2}^{\left|x-1\right|} $ 在区间 $ (k-1,k+1) $ 内不单调，所以 $ t=\left|x-1\right| $ 在区间 $ (k-1,k+1) $ 内不单调.又因为 $ t=\left|x-1\right| $ 在 $ (-\mathrm{\infty },1) $ 上单调递减,在 $ [1,+\mathrm{\infty }) $ 上单调递增，所以 $ k-1 < 1 < k+1 $ ，解得 $ 0 < k < 2 $ .

令 $ |x|=t $ , $ t\geqslant 0 $ ,则 $ {3}^{t}\geqslant 1 $ , $ y={3}^{t}-2\geqslant -1 $ ,所以 $ y\geqslant -1 $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

$ \because {2}^{x} > 0 $ , $ \therefore 4-{2}^{x} < 4 $ .又 $ \because 4-{2}^{x}\geqslant 0 $ ， $ \therefore 0\leqslant 4-{2}^{x} < 4 $ .令 $ t=4-{2}^{x} $ ，则 $ t\in [0,4) $ ， $ \therefore \sqrt{t}\in [0,2) $ ， $ \therefore y\in [-1,1) $ ，即函数的值域是 $ [-1,1) $ .故选 $ \mathrm{D} $ ．

当 $ 0 < a < 1 $ 时, $ y={a}^{x} $ 在 $ [1,2] $ 上单调递减,所以 $ a-{a}^{2}=\dfrac{a}{2} $ ,解得 $ a=\dfrac{1}{2} $ 或 $ a=0 $ （舍去）；

当 $ a > 1 $ 时, $ y={a}^{x} $ 在 $ [1,2] $ 上单调递增,所以 $ {a}^{2}-a=\dfrac{a}{2} $ ,解得 $ a=\dfrac{3}{2} $ 或 $ a=0 $ （舍去）.

综上所述, $ a=\dfrac{1}{2} $ 或 $ a=\dfrac{3}{2} $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

当 $ a > 1 $ 时， $ f(x) $ 在 $ [-1,1] $ 上单调递增.因为函数 $ f(x) $ 在 $ [-1,1] $ 上恒有 $ f(x) < 2 $ ，所以 $ f(1) < 2 $ ,所以 $ a < 2 $ ,所以 $ 1 < a < 2 $ .

当 $ 0 < a < 1 $ 时， $ f(x) $ 在 $ [-1,1] $ 上单调递减.因为函数 $ f(x) $ 在 $ [-1,1] $ 上恒有 $ f(x) < 2 $ ，所以 $ f(-1) < 2 $ ,所以 $ \dfrac{1}{a} < 2 $ ,即 $ a > \dfrac{1}{2} $ ，所以 $ \dfrac{1}{2} < a < 1 $ .

综上所述，实数 $ a $ 的取值范围是 $ (\dfrac{1}{2},1)\cup (1,2) $ .

设 $ t={2}^{x} $ ,则 $ t > 0 $ ,所以 $ y={t}^{2}+2t+1={\left(t+1\right) ^ {2}} $ 在 $ (0,+\mathrm{\infty }) $ 上单调递增,所以 $ y > 1 $ ,所以函数 $ y={4}^{x}+{2}^{x+1}+1 $ 的值域为 $ (1,+\mathrm{\infty }) $ ,故选 $ \mathrm{B} $ .

因为函数 $ y={3}^{x} $ 在 $ \boldsymbol{R} $ 上单调递增，而函数 $ f(x)={3}^{x(x-a)} $ 在区间 $ (0,\dfrac{3}{2}) $ 上单调递减，则函数 $ y=x(x-a)={\left(x-\dfrac{a}{2}\right) ^ {2}}-\dfrac{{a}^{2}}{4} $ 在区间 $ (0,\dfrac{3}{2}) $ 上单调递减，

因此 $ \dfrac{a}{2}\geqslant \dfrac{3}{2} $ ，解得 $ a\geqslant 3 $ ，所以实数 $ a $ 的取值范围是 $ [3,+\mathrm{\infty }) $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

$ f(x) $ 的定义域为 $ \boldsymbol{R} $ ， $ f(x)=\dfrac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1} $ ，则 $ f(-x)=\dfrac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}=-\dfrac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}=-f(x) $ ，

所以 $ f(x) $ 为奇函数， $ f(x) $ 的图象关于原点对称, $ \mathrm{A} $ 正确， $ \mathrm{B} $ 错误；

$ f(x)=\dfrac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}=1-\dfrac{2}{{2}^{x}+1} $ ，因为 $ {2}^{x}+1 > 1 $ ,所以 $ 0 < \dfrac{1}{{2}^{x}+1} < 1 $ ,所以 $ 0 < \dfrac{2}{{2}^{x}+1} < 2 $ ，所以 $ -1 < 1-\dfrac{2}{{2}^{x}+1} < 1 $ ,故 $ f(x) $ 的值域为 $ (-1,1) $ , $ \mathrm{C} $ 正确；

设 $ {x}_{2} > {x}_{1} $ ,则 $ f({x}_{2})-f({x}_{1})=(1-\dfrac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1})-(1-\dfrac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1})=\dfrac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}-\dfrac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}=\dfrac{2({2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}})}{({2}^{{x}_{1}}+1)({2}^{{x}_{2}}+1)} $ ,因为 $ {x}_{2} > {x}_{1} $ ，所以 $ {2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}} > 0 $ , $ {2}^{{x}_{1}}+1 > 0 $ , $ {2}^{{x}_{2}}+1 > 0 $ ，所以 $ f({x}_{2})-f({x}_{1}) > 0 $ ,即 $ f({x}_{2}) > f({x}_{1}) $ ，所以函数 $ f(x) $ 是增函数，故 $ \mathrm{D} $ 错误.

故选 $ \mathrm{A}\mathrm{C} $ .

（1）由 $ {9}^{x}-4×{3}^{x}+3\leqslant 0 $ ，得 $ {\left({3}^{x}\right) ^ {2}}-4×{3}^{x}+3\leqslant 0 $ ，即 $ ({3}^{x}-1)\cdot ({3}^{x}-3)\leqslant 0 $ ，即 $ 1\leqslant {3}^{x}\leqslant 3 $ ，解得 $ 0\leqslant x\leqslant 1 $ ，故集合 $ A=｛x|0\leqslant x\leqslant 1｝ $ .

（2） $ f(x)={4}^{-x}-3×{2}^{-x-1}+1={\left({2}^{-x}\right) ^ {2}}-\dfrac{3}{2}×{2}^{-x}+1 $ ，令 $ t={2}^{-x} $ ，则 $ f(x) $ 可化为 $ g(t)={t}^{2}-\dfrac{3}{2}t+1 $ .

$ \because x\in [0,1] $ ， $ \therefore t\in [\dfrac{1}{2},1] $ ，而函数 $ g(t)={t}^{2}-\dfrac{3}{2}t+1 $ 的图象的对称轴为直线 $ t=\dfrac{3}{4}\in [\dfrac{1}{2},1] $ ， $ \therefore g(t)={t}^{2}-\dfrac{3}{2}t+1 $ 在区间 $ [\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{4}) $ 上单调递减，在区间 $ (\dfrac{3}{4},1] $ 上单调递增.故 $ g(t) $ 在 $ [\dfrac{1}{2},1] $ 上的最大值为 $ g(\dfrac{1}{2})=g(1)=\dfrac{1}{2} $ ，最小值为 $ g(\dfrac{3}{4})=\dfrac{9}{16}-\dfrac{3}{2}×\dfrac{3}{4}+1=\dfrac{7}{16} $ ，故函数 $ f(x) $ 的值域为 $ [\dfrac{7}{16},\dfrac{1}{2}] $ .

因为 $ 0 < a < 1 $ ，所以指数函数 $ y={a}^{x} $ 在 $ \boldsymbol{R} $ 上单调递减，所以排除 $ \mathrm{A} $ 和 $ \mathrm{D} $ ；

对于 $ y=x+a $ ，当 $ x=0 $ 时， $ y=a $ ，所以 $ y=x+a $ 的图象过点 $ (0,a) $ ，因为 $ 0 < a < 1 $ ，所以 $ \mathrm{B} $ 错误， $ \mathrm{C} $ 正确.故选 $ \mathrm{C} $ .

因为 $ y={\left(\dfrac{5}{3}\right) ^ {x}} $ 是增函数，所以 $ {(\dfrac{5}{3})}^{\frac{1}{2}} > {\left(\dfrac{5}{3}\right) ^ {0}}=1 $ ，因为 $ y={\left(\dfrac{3}{5}\right) ^ {x}} $ 是减函数，所以 $ {(\dfrac{3}{5})}^{\frac{2}{5}} < {\left(\dfrac{3}{5}\right) ^ {0}}=1 $ ，

故 $ c={(\dfrac{5}{3})}^{\frac{1}{2}} > 1 > {(\dfrac{3}{5})}^{\frac{2}{5}}=a $ ，

又函数 $ y={x}^{\frac{2}{5}} $ 在第一象限内为增函数，故 $ a={(\dfrac{3}{5})}^{\frac{2}{5}} > {(\dfrac{2}{5})}^{\frac{2}{5}}=d $ ，

又 $ y={\left(\dfrac{2}{5}\right) ^ {x}} $ 为减函数，故 $ d={(\dfrac{2}{5})}^{\frac{2}{5}} > {\left(\dfrac{2}{5}\right) ^ {2}}=b $ ，

综上可得 $ c > a > d > b $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

将原函数看成复合函数 $ y={\left(\dfrac{1}{3}\right) ^ {u}} $ , $ u=|x-2| $ ,因为 $ y={\left(\dfrac{1}{3}\right) ^ {u}} $ 是关于 $ u $ 的减函数,且 $ u=|x-2| $ 在 $ [2,+\mathrm{\infty }) $ 上单调递增,在 $ (-\mathrm{\infty },2] $ 上单调递减,所以由复合函数的性质知 $ f(x) $ 的单调递减区间是 $ [2,+\mathrm{\infty }) $ .

当 $ 0 < a < 1 $ 时， $ y=\left|{a}^{x}-1\right| $ 的图象如图①所示，由已知得 $ 0 < 3a < 1 $ ， $ \therefore 0 < a < \dfrac{1}{3} $ ；

图①

当 $ a > 1 $ 时， $ y=\left|{a}^{x}-1\right| $ 的图象如图②所示，由已知可得 $ 0 < 3a < 1 $ ， $ \therefore 0 < a < \dfrac{1}{3} $ ，结合 $ a > 1 $ 可得 $ a $ 无解.

图②

综上可知， $ a $ 的取值范围为 $ (0,\dfrac{1}{3}) $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

因为对任意 $ {x}_{1}\ne {x}_{2} $ ，都有 $ \dfrac{f({x}_{1})-f({x}_{2})}{{x}_{1}-{x}_{2}} > 0 $ 成立，

所以 $ f(x) $ 在 $ (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }) $ 上单调递增，

所以 $ \begin{cases}a > 1,\\ a-1 > 0,\\ a+{a}^{0}\geqslant 3+(a-1)×0,\end{cases} $ 解得 $ a\geqslant 2 $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

当 $ a=0 $ 时， $ f(x)={\mathrm{e}}^{-{x}^{2}} $ ，定义域为 $ \boldsymbol{R} $ ，因为 $ f (-x )={\mathrm{e}}^{- (-x)^{2}}={\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}=f (x ) $ ，所以 $ f(x) $ 为偶函数， $ \mathrm{A} $ 正确；

因为 $ y=-{x}^{2}+2ax=-{\left(x-a\right) ^ {2}}+{a}^{2}\leqslant {a}^{2} $ ，所以 $ 0 < f(x)={\mathrm{e}}^{-{x}^{2}+2ax}\leqslant {\mathrm{e}}^{{a}^{2}} $ ，则 $ f(x) $ 有最大值，没有最小值， $ \mathrm{B} $ 错误；

因为 $ y=-{x}^{2}+2ax $ 在 $ (-\mathrm{\infty },a] $ 上单调递增，在 $ (a,+\mathrm{\infty }) $ 上单调递减,

又 $ y={\mathrm{e}}^{x} $ 在 $ \boldsymbol{R} $ 上单调递增，

所以 $ f(x) $ 在 $ (-\mathrm{\infty },a] $ 上单调递增，在 $ (a,+\mathrm{\infty }) $ 上单调递减， $ \mathrm{C} $ 正确；

当 $ x=0 $ 时， $ f(0)={\mathrm{e}}^{0}=1 $ ，所以 $ f(x) $ 的图象恒过定点 $ (0,1) $ ， $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{D} $ .

令 $ g(x)=f(x)-4=\dfrac{1}{{3}^{x}}-{3}^{x}-2x $ ,定义域为 $ \boldsymbol{R} $ ,则 $ g(-x)=\dfrac{1}{{3}^{-x}}-{3}^{-x}+2x={3}^{x}-\dfrac{1}{{3}^{x}}+2x=-g(x) $ ,所以 $ g(x) $ 为奇函数.

不等式 $ f(a-6)+f({a}^{2}) > 8 $ ,

等价于 $ f(a-6)-4 > -(f({a}^{2})-4) $ ,

即 $ g(a-6) > -g({a}^{2}) $ .

因为 $ g(x) $ 为奇函数,所以 $ g(a-6) > g(-{a}^{2}) $ .

因为 $ y=\dfrac{1}{{3}^{x}} $ , $ y=-{3}^{x} $ , $ y=-2x $ 均为减函数,所以 $ g(x) $ 为减函数,

则 $ a-6 < -{a}^{2} $ ,解得 $ -3 < a < 2 $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

设 $ t={a}^{x} $ ,则函数等价于 $ y={t}^{2}+t+1={\left(t+\dfrac{1}{2}\right) ^ {2}}+\dfrac{3}{4} $ ,图象的对称轴为直线 $ t=-\dfrac{1}{2} $ ,该二次函数在 $ [-\dfrac{1}{2} $ , $ +\mathrm{\infty }) $ 上单调递增.

①若 $ a > 1 $ ,由 $ x\in [-1,1] $ ,得 $ t={a}^{x}\in [\dfrac{1}{a},a] $ ,且 $ t > 0 $ ,故当 $ t=a $ ,即 $ x=1 $ 时, $ {y}_{ \max }={a}^{2}+a+1=13 $ ,解得 $ a=3 $ 或 $ a=-4 $ （舍去）.

②若 $ 0 < a < 1 $ ,由 $ x\in [-1,1] $ ,可得 $ t={a}^{x}\in [a,\dfrac{1}{a}] $ ,且 $ t > 0 $ ,故当 $ t=\dfrac{1}{a} $ ,即 $ x=-1 $ 时, $ {y}_{ \max }={\left(\dfrac{1}{a}\right) ^ {2}}+\dfrac{1}{a}+1=13 $ , $ \therefore a=\dfrac{1}{3} $ 或 $ a=-\dfrac{1}{4} $ （舍去）.

综上可得， $ a=3 $ 或 $ \dfrac{1}{3} $ .

因为函数 $ f(x)=\dfrac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}{x}^{2}+x+1 $ 的定义域为 $ \boldsymbol{R} $ ，

所以 $ f(-x)+f(x)=\dfrac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}{x}^{2}-x+1+\dfrac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}{x}^{2}+x+1=\dfrac{1-{2}^{x}}{{2}^{x}+1}{x}^{2}+\dfrac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}{x}^{2}+2=2 $ ，

所以 $ f(-1012)+f(-1011)+\cdots +f(-1)+f(0)+f(1)+\cdots +f(1011)+f(1012)=2×1012+1=2025 $ .