4.4.3 不同函数增长的差异
一、刷基础
1．当 $ x $ 越来越大时，下列函数增长速度变化最快的是（ ）
A． $ y=100x $
B． $ y={\left(\dfrac{\mathrm{e}}{2}\right) ^ {x}} $
C． $ y={ \log }_{2}x $
D． $ y={x}^{100} $
答案：B
解析：因为指数函数 $ y={\left(\dfrac{\mathrm{e}}{2}\right) ^ {x}} $ 是几何级数增长，所以当 $ x $ 越来越大时，增长速度变化最快.故选 $ \mathrm{B} $ .
2．（多选）函数 $ f(x)={2}^{x} $ , $ g(x)={ \log }_{\frac{1}{2}}x $ , $ ℎ(x)={x}^{-1} $ 在区间 $ (0,+\mathrm{\infty }) $ 上（ ）（多选）
A． $ f(x) $ 的递增速度越来越快
B． $ g(x) $ 的递减速度越来越慢
C． $ ℎ(x) $ 的递减速度越来越慢
D． $ g(x) $ 的递减速度慢于 $ ℎ(x) $ 的递减速度
答案：ABC
解析：作出三个函数在区间 $ (0,+\mathrm{\infty }) $ 上的图象，如图所示，
根据指数函数、对数函数及幂函数的图象和性质可知在区间 $ (0,+\mathrm{\infty }) $ 上，
$ f(x) $ 的递增速度越来越快，故 $ \mathrm{A} $ 正确；
$ g(x) $ 的递减速度越来越慢，故 $ \mathrm{B} $ 正确；
$ ℎ(x) $ 的递减速度越来越慢，故 $ \mathrm{C} $ 正确；
$ g(x) $ 的递减速度快于 $ ℎ(x) $ 的递减速度，故 $ \mathrm{D} $ 错误.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C} $ .
3．以下四种说法中，正确的是（ ）
A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B．已知 $ a > 1 $ ，则对任意的 $ x > 0 $ ， $ {a}^{x} > { \log }_{a}x $
C．对任意的 $ x > 0 $ ， $ {x}^{a} > { \log }_{a}x $
D．不一定存在 $ {x}_{0} $ ，当 $ x > {x}_{0} $ 时，总有 $ {a}^{x} > {x}^{a} > { \log }_{a}x $
答案：D
解析：对于选项 $ \mathrm{A} $ ，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较大小，故 $ \mathrm{A} $ 错误；
对于选项 $ \mathrm{B} $ ，取 $ a=1.1 $ , $ x=2 $ ，此时 $ {a}^{x}={1.1}^{2} < 2 < { \log }_{1.1}2={ \log }_{a}x $ ，故 $ \mathrm{B} $ 错误；
对于选项 $ \mathrm{C} $ ，当 $ 0 < a < 1 $ 时，结合幂函数与对数函数的图象易知 $ {x}^{a} > { \log }_{a}x $ 不恒成立，故 $ \mathrm{C} $ 错误；
对于选项 $ \mathrm{D} $ ，当 $ a > 1 $ 时，结合指数函数、幂函数和对数函数的图象易知，一定存在 $ {x}_{0} $ ，使得当 $ x > {x}_{0} $ 时，总有 $ {a}^{x} > {x}^{a} > { \log }_{a}x $ ，但若去掉限制条件“ $ a > 1 $ ”，则结论不成立，故 $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{D} $ .
4．从甲地到乙地的距离约为 $ 240\mathrm{k}\mathrm{m} $ ，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量 $ Q( $ 单位： $ \mathrm{L}) $ 与速度 $ v( $ 单位： $ \mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h} ) (0\leqslant v\leqslant 120 ) $ 的下列数据：
$ v $ | 0 | 40 | 60 | 80 | 120 |
$ Q $ | 0.000 | 6.667 | 8.125 | 10.000 | 20.000 |
为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，下列四个模型中你认为最符合实际的函数模型是（ ）
A． $ Q=\dfrac{1}{v+1}+b $
B． $ Q=a{v}^{3}+b{v}^{2}+cv $
C． $ Q={0.5}^{v}+a $
D． $ Q=k{ \log }_{a}v+b $
答案：B
解析：由图表中数据可知函数模型满足①定义域为 $ [0,120] $ ；②在定义域内单调递增；③函数图象过原点.
函数 $ \mathbf{Q}=\dfrac{1}{v+1}+b $ 和 $ \mathbf{Q}={0.5}^{v}+a $ 在定义域内单调递减，不满足条件②，故 $ \mathrm{A}\mathrm{C} $ 错误；
函数 $ \mathbf{Q}=k{ \log }_{a}v+b $ 中，0不在函数的定义域内，不满足条件①,故 $ \mathrm{D} $ 错误；
$ \mathrm{B} $ 选项：当 $ a > 0 $ , $ b > 0 $ , $ c > 0 $ 时， $ Q=a{v}^{3}+b{v}^{2}+cv $ 满足条件①②③，故 $ \mathrm{B} $ 正确.故选 $ \mathrm{B} $ .
5．某工程需要向一个容器内源源不断地注入某种液体，有三种方案可以选择，这三种方案的注入量随时间变化如图所示：
横轴为时间（单位：小时），纵轴为注入量，根据以上信息，若使注入量最多，下列说法中错误的是（ ）
A．注入时间在3小时以内（含3小时），采用方案一
B．注入时间恰为4小时，不采用方案三
C．注入时间恰为6小时，采用方案二
D．注入时间恰为10小时，采用方案二
答案：D
解析：对 $ \mathrm{A} $ ，由题图可知，注入时间在3小时以内（含3小时）时，方案一的注入量大于其他两种方案，故 $ \mathrm{A} $ 正确；
对 $ \mathrm{B} $ ，当注入时间恰为4小时时，由题图可知，方案三的注入量小于其他两个方案，故 $ \mathrm{B} $ 正确；
对 $ \mathrm{C} $ ，当注入时间恰为6小时时，方案二的注入量大于其他两个方案，故 $ \mathrm{C} $ 正确；
对 $ \mathrm{D} $ ，当注入时间恰为10小时时，由题图可知方案三的注入量最大，故应选择方案三， $ \mathrm{D} $ 错误.故选 $ \mathrm{D} $ .
6．已知 $ a={2.1}^{1.3} $ ， $ b={0.3}^{1.3} $ ， $ c={ \log }_{2}0.8 $ ， $ d={2.1}^{1.9} $ ，则 $ a $ ， $ b $ ， $ c $ ， $ d $ 的大小关系为（ ）
A． $ d > a > b > c $
B． $ a > d > c > b $
C． $ b > c > a > d $
D． $ c > a > d > b $
答案：A
解析： $ y={2.1}^{x} $ 是 $ \boldsymbol{R} $ 上的增函数,故 $ {2.1}^{1.9} > {2.1}^{1.3} > {2.1}^{0}=1 $ ,即 $ d > a > 1 $ .
由 $ y={0.3}^{x} $ 是 $ \boldsymbol{R} $ 上的减函数,得 $ 1={0.3}^{0} > {0.3}^{1.3} > 0 $ ,即 $ 0 < b < 1 $ .
由 $ y={ \log }_{2}x $ 是 $ (0,+\mathrm{\infty }) $ 上的增函数,得 $ { \log }_{2}0.8 < { \log }_{2}1=0 $ ,即 $ c < 0 $ .
综上所述, $ d > a > b > c $ .故选 $ \mathrm{A} $ .
7．（多选）在同一坐标系中，对于函数 $ f(x)={x}^{2} $ 与 $ g(x)={2}^{x} $ 的图象，下列说法错误的是（ ）（多选）
A． $ f(x) $ 与 $ g(x) $ 的图象有两个交点
B． $ f(x) $ 与 $ g(x) $ 的图象有三个交点
C． $ \exists {x}_{0} > 0 $ ，当 $ x > {x}_{0} $ 时， $ f(x) $ 的图象恒在 $ g(x) $ 的图象的上方
D． $ \exists {x}_{0} > 0 $ ，当 $ x > {x}_{0} $ 时， $ g(x) $ 的图象恒在 $ f(x) $ 的图象的上方
答案：AC
解析： $ f(1)=1 $ , $ g(1)=2 $ , $ f(2)=g(2)=4 $ , $ f(3)=9 $ , $ g(3)=8 $ , $ f(4)=g(4)=16 $ , $ f(5)=25 $ , $ g(5)=32 $ ,
则可在同一坐标系中作出两函数图象如图所示.
显然两函数的图象有三个交点 $ A $ , $ B $ , $ C $ ,故 $ \mathrm{A} $ 错误, $ \mathrm{B} $ 正确；
由于指数函数的增长速度大于幂函数的增长速度,
所以当 $ x > 4 $ 时, $ g(x) $ 的图象恒在 $ f(x) $ 的图象的上方,故 $ \mathrm{C} $ 错误, $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{C} $ .
8．当 $ 2 < x < 4 $ 时， $ {2}^{x} $ ， $ {x}^{2} $ ， $ { \log }_{2}x $ 的大小关系是（ ）
A． $ {2}^{x} > {x}^{2} > { \log }_{2}x $
B． $ {x}^{2} > {2}^{x} > { \log }_{2}x $
C． $ {2}^{x} > { \log }_{2}x > {x}^{2} $
D． $ {x}^{2} > { \log }_{2}x > {2}^{x} $
答案：B
解析：在同一坐标系中画出函数 $ y={ \log }_{2}x $ , $ y={x}^{2} $ , $ y={2}^{x} $ 的图象如图所示,在区间 $ (2,4) $ 内从上往下依次是 $ y={x}^{2} $ , $ y={2}^{x} $ , $ y={ \log }_{2}x $ 的图象, $ \therefore {x}^{2} > {2}^{x} > { \log }_{2}x $ .故选 $ \mathrm{B} $ .
