1．（多选）下列函数图象与 $ x $ 轴均有交点，其中能用二分法求其零点的是（ ）（多选）
A．
B．
C．
D．
由二分法的定义知，若函数 $ f(x) $ 的图象在区间 $ [a,b] $ 上连续，且满足 $ f(a)\cdot f(b) < 0 $ ，则可以利用二分法求函数 $ f(x) $ 的零点的近似值，所以选项 $ \mathrm{B} $ ， $ \mathrm{D} $ 中函数零点两侧函数值不变号，不能用二分法求函数零点，选项 $ \mathrm{A} $ ， $ \mathrm{C} $ 中函数零点两侧函数值变号，能用二分法求函数零点.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{C} $ .
2．下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ）
A． $ f(x)= \ln x-3 $
B． $ f(x)={x}^{2}+2\sqrt{2}x+2 $
C． $ f(x)=x+\dfrac{1}{x}-3 $
D． $ f(x)={2}^{x}-3 $
对于 $ \mathrm{A} $ ， $ f(x)= \ln x-3 $ 有唯一零点 $ {\mathrm{e}}^{3} $ ，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；对于 $ \mathrm{B} $ ，函数 $ f(x)={x}^{2}+2\sqrt{2}x+2={\left(x+\sqrt{2}\right) ^ {2}}\geqslant 0 $ ，故函数有唯一零点 $ -\sqrt{2} $ ，但函数值在零点两侧同号，故不能用二分法求零点；对于 $ \mathrm{C} $ ， $ f(x)=x+\dfrac{1}{x}-3 $ 有两个不同零点 $ \dfrac{3±\sqrt{5}}{2} $ ，且在每个零点左右两侧函数值异号，故可用二分法求零点；对于 $ \mathrm{D} $ ， $ f(x)={2}^{x}-3 $ 有唯一零点 $ { \log }_{2}3 $ ，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点.故选 $ \mathrm{B} $ .
3．新课程互助学习小组在学习二分法后，利用二分法研究方程 $ {\mathrm{e}}^{x}+x-5=0 $ 在 $ (0,4) $ 上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解 $ {x}_{0} $ 所在的区间为（ ）
A． $ (0,1) $
B． $ (1,2) $
C． $ (2,3) $
D． $ (3,4) $
令 $ f(x)={\mathrm{e}}^{x}+x-5 $ ,可知 $ f(0)=-4 < 0 $ , $ f(4)={\mathrm{e}}^{4}-1 > 0 $ .
又 $ \mathrm{e} > 2 $ ,则 $ f(2)={\mathrm{e}}^{2}-3 > 4-3 > 0 $ ,
所以 $ f(0)f(2) < 0 $ ,根据二分法结合零点存在定理可知,近似解 $ {x}_{0} $ 所在的区间为 $ (0,2) $ .
又 $ f(1)=\mathrm{e}-4 < 0 $ ,
所以 $ f(1)f(2) < 0 $ ,根据二分法结合零点存在定理可知,近似解 $ {x}_{0} $ 所在的区间为 $ (1,2) $ .故选 $ \mathrm{B} $ .
4．用二分法求函数 $ f(x)={x}^{3}+{x}^{2}-2x-2 $ 的一个零点的近似值（精确度为 $ 0.1 $ ）时，依次计算得到如下数据： $ f(1)=-2 $ ， $ f(1.5)=0.625 $ ， $ f(1.25)\approx -0.984 $ ， $ f(1.375)\approx -0.260 $ ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 $ f(x) $ 在 $ (1.25,1.5) $ 上不一定有零点
B．已经达到精确度，可以取1.375作为近似值
C．没有达到精确度，应该接着计算 $ f(1.3125) $
D．没有达到精确度，应该接着计算 $ f(1.4375) $
对于 $ \mathrm{A} $ ,因为 $ f(1.25)\cdot f(1.5) < 0 $ ,且 $ f(x) $ 连续,所以根据函数零点存在定理知, $ f(x) $ 在 $ (1.25,1.5) $ 上一定有零点,故 $ \mathrm{A} $ 错误；
对于 $ \mathrm{B} $ , $ \mathrm{C} $ , $ \mathrm{D} $ , $ 1.5-1.375=0.125 > 0.1 $ ,没有达到精确度的要求,应该接着计算 $ f(1.4375) $ ,故 $ \mathrm{B} $ 错误, $ \mathrm{C} $ 错误, $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{D} $ .
5．（多选）某同学求函数 $ f(x)= \ln x+2x-6 $ 的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：
$ f(2)\approx -1.307 $ | $ f(3)\approx 1.099 $ | $ f(2.5)\approx -0.084 $ |
$ f(2.75)\approx 0.512 $ | $ f(2.625)\approx 0.215 $ | $ f(2.5625)\approx 0.066 $ |
则方程 $ \ln x+2x-6=0 $ 的近似解（精确度为 $ 0.1 $ ）可取为（ ）（多选）
A．2.62
B．2.56
C．2.531
D．2.75
因为函数 $ f(x)= \ln x+2x-6 $ 在其定义域内单调递增，
结合题中表格中数据可知方程 $ \ln x+2x-6=0 $ 的近似解所在区间可以是 $ (2,3) $ , $ (2.5,3) $ , $ (2.5,2.75) $ , $ (2.5,2.625) $ , $ (2.5,2.5625) $ ,
所以区间的长度分别为 $ {\rm 1,} 0.5 $ , $ 0.25 $ , $ 0.125 $ , $ 0.0625 $ ，根据精确度为 $ 0.1 $ ，可知方程 $ \ln x+2x-6=0 $ 的近似解在区间 $ (2.5,2.5625) $ 内，根据精确度为0.1的要求，可在区间 $ (2.5,2.5625) $ 内任选一个值作为该方程的近似解,故选 $ \mathrm{B}\mathrm{C} $ .
6．用二分法求函数 $ f(x)= \ln (x+1)+x-1 $ 在区间 $ (0,1) $ 上的零点，要求精确度为0.1时，所需二分区间次数最少为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
开区间 $ (0,1) $ 的长度为1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过 $ n $ 次操作后，区间长度为 $ \dfrac{1}{{2}^{n}} $ .因为用二分法求 $ f(x) $ 在区间 $ (0,1) $ 上的零点，要求精确度为 $ 0.1 $ ，所以 $ \dfrac{1}{{2}^{n}}\leqslant 0.1 $ ，解得 $ n\geqslant 4 $ ，所以所需二分区间次数最少为4.故选 $ \mathrm{B} $ .
7．已知函数 $ y=f(x) $ 的表达式为 $ f(x)=x-4{ \log }_{2}x $ ，用二分法计算此函数在区间 $ [1,3] $ 上零点的近似值，第一次计算 $ f(1) $ ， $ f(3) $ 的值，第二次计算 $ f({x}_{1}) $ 的值，第三次计算 $ f({x}_{2}) $ 的值，则 $ {x}_{2}= $ .
$ \dfrac{3}{2} $
由于 $ f(1)=1 > 0 $ ， $ f(3)=3-4{ \log }_{2}3 < 3-4=-1 < 0 $ ， $ f(2)=2-4{ \log }_{2}2=-2 < 0 $ ，故零点位于 $ (1,2) $ 内，因此 $ {x}_{2}=\dfrac{3}{2} $ .
8．已知函数 $ f(x)=\dfrac{1}{3}{x}^{3}-{x}^{2}+1 $ .
（1）证明方程 $ f(x)=0 $ 在区间 $ (0,2) $ 内有实数解;
（2）使用二分法,取区间的中点三次,指出方程 $ f(x)=0(x\in [0,2]) $ 的实数解 $ {x}_{0} $ 在哪个较小的区间内.
见解析
（1）因为 $ f(0)=1 > 0 $ , $ f(2)=-\dfrac{1}{3} < 0 $ ,所以 $ f(0)\cdot f(2) < 0 $ ,由函数零点存在定理可得方程 $ f(x)=0 $ 在区间 $ (0,2) $ 内有实数解.
（2）取 $ {x}_{1}=\dfrac{1}{2}×(0+2)=1 $ ,得 $ f(1)=\dfrac{1}{3} > 0 $ ,由此可得 $ f(1)\cdot f(2) < 0 $ ,下一个有解区间为 $ (1,2) $ .
再取 $ {x}_{2}=\dfrac{1}{2}×(1+2)=\dfrac{3}{2} $ ,
得 $ f(\dfrac{3}{2})=-\dfrac{1}{8} < 0 $ ,所以 $ f(1)\cdot f(\dfrac{3}{2}) < 0 $ ,下一个有解区间为 $ (1,\dfrac{3}{2}) $ .
再取 $ {x}_{3}=\dfrac{1}{2}×(1+\dfrac{3}{2})=\dfrac{5}{4} $ ,得 $ f(\dfrac{5}{4})=\dfrac{17}{192} > 0 $ ,所以 $ f(\dfrac{5}{4})\cdot f(\dfrac{3}{2}) < 0 $ ,下一个有解区间为 $ (\dfrac{5}{4},\dfrac{3}{2}) $ .
综上所述,所求的实数解 $ {x}_{0} $ 在区间 $ (\dfrac{5}{4},\dfrac{3}{2}) $ 内.