1．（多选）下列说法正确的是（ ）（多选）
A． $ {240}^{\circ }=\dfrac{4\mathrm{\pi }}{3} $
B．1弧度的角比 $ {1}^{\circ } $ 的角大
C．用弧度制量角时，角的大小与圆的半径有关
D．扇形的周长为 $ 6\mathrm{c}\mathrm{m} $ ，面积为 $ 2{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{2} $ ，则扇形的圆心角的弧度数为4
对于 $ \mathrm{A} $ ， $ {240}^{\circ }=\dfrac{240}{180}\mathrm{\pi }=\dfrac{4\mathrm{\pi }}{3} $ ，故 $ \mathrm{A} $ 正确；
对于 $ \mathrm{B} $ ， $ 1\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}={(\dfrac{180}{\mathrm{\pi }})}^{\circ } > {1}^{\circ } $ ，故 $ \mathrm{B} $ 正确；
对于 $ \mathrm{C} $ ，用弧度制量角时，角的大小与圆的半径无关，故 $ \mathrm{C} $ 错误；
对于 $ \mathrm{D} $ ，设扇形的圆心角为 $ \alpha $ ，半径为 $ R $ ，
因为扇形的周长为 $ 6\mathrm{c}\mathrm{m} $ ，面积为 $ 2{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{2} $ ，
所以 $ \begin{cases}\alpha R+2R=6,\\ \dfrac{1}{2}\alpha {R}^{2}=2,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}R=2,\\ \alpha =1\end{cases} $ 或 $ \begin{cases}R=1,\\ \alpha =4,\end{cases} $ 即扇形的圆心角的弧度数为4或1，故 $ \mathrm{D} $ 错误.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{B} $ .
2．现行的二十四节气是根据地球在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上的位置变化而制定的，每个节气对应地球在黄道上运动 $ {15}^{\circ } $ 所到达的一个位置.根据描述，从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为（ ）
A． $ -\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $
B． $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $
C． $ \dfrac{5\mathrm{\pi }}{12} $
D． $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{2} $
根据题意，从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的度数为 $ 6×{15}^{\circ }={90}^{\circ } $ ，即弧度数为 $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{2} $ .故选 $ \mathrm{D} $ .
3．若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为（ ）
A． $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{6} $
B． $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $
C．3
D． $ \sqrt{3} $
如图，等边三角形 $ ABC $ 是半径为 $ r $ 的圆 $ O $ 的内接三角形，
则线段 $ AB $ 所对的圆心角 $ \mathrm{\angle }AOB=\dfrac{2\mathrm{\pi }}{3} $ ，
作 $ OM\perp AB $ ,垂足为 $ M $ ，
在 $ \mathrm{R}\mathrm{t}△AOM $ 中， $ AO=r $ , $ \mathrm{\angle }AOM=\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ ,
所以 $ AM=\dfrac{\sqrt{3}}{2}r $ , $ AB=\sqrt{3}r $ .
故圆弧长度 $ l=\sqrt{3}r $ ，
所以长度等于圆内接正三角形的边长的圆弧所对圆心角的弧度数为 $ \alpha =\dfrac{l}{r}=\sqrt{3} $ ，故选 $ \mathrm{D} $ .
4．体操中有“前空翻转体540度”这样的动作名称，则 $ {540}^{\circ } $ 化成弧度是（ ）
A． $ \dfrac{3\mathrm{\pi }}{2} $
B． $ 3\mathrm{\pi } $
C． $ \dfrac{5\mathrm{\pi }}{2} $
D． $ \dfrac{13\mathrm{\pi }}{6} $
$ {540}^{\circ }=540×\dfrac{\mathrm{\pi }}{180}=3\mathrm{\pi } $ .故选 $ \mathrm{B} $ .
5．（多选）将下列角度与弧度进行互化，正确的有（ ）（多选）
A． $ \dfrac{511}{6}\mathrm{\pi }=1{530}^{\circ } $
B． $ -\dfrac{7\mathrm{\pi }}{12}=-{105}^{\circ } $
C． $ {10}^{\circ }=\dfrac{\mathrm{\pi }}{18} $
D． $ -{855}^{\circ }=-\dfrac{19\mathrm{\pi }}{4} $
对于 $ \mathrm{A} $ ， $ \dfrac{511}{6}\mathrm{\pi }=\dfrac{511}{6}×{180}^{\circ }=15{330}^{\circ } $ ，故 $ \mathrm{A} $ 错误；
对于 $ \mathrm{B} $ ， $ -\dfrac{7\mathrm{\pi }}{12}=-\dfrac{7}{12}×{180}^{\circ }=-{105}^{\circ } $ ，故 $ \mathrm{B} $ 正确；
对于 $ \mathrm{C} $ ， $ {10}^{\circ }=10×\dfrac{\mathrm{\pi }}{180}=\dfrac{\mathrm{\pi }}{18} $ ，故 $ \mathrm{C} $ 正确；
对于 $ \mathrm{D} $ ， $ -{855}^{\circ }=-855×\dfrac{\mathrm{\pi }}{180}=-\dfrac{19\mathrm{\pi }}{4} $ ，故 $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D} $ .
6．已知 $ \alpha ={15}^{\circ } $ ， $ \beta =\dfrac{\mathrm{\pi }}{10} $ ， $ \gamma =1 $ ， $ \theta ={105}^{\circ } $ ， $ \varphi =\dfrac{7\mathrm{\pi }}{12} $ ，则 $ \alpha $ ， $ \beta $ ， $ \gamma $ ， $ \theta $ ， $ \varphi $ 的大小关系为 .
$ \alpha < \beta < \gamma < \theta =\varphi $
（化为弧度） $ \text{：}\alpha ={15}^{\circ }=15×\dfrac{\mathrm{\pi }}{180}=\dfrac{\mathrm{\pi }}{12} $ ， $ \theta ={105}^{\circ }=105×\dfrac{\mathrm{\pi }}{180}=\dfrac{7\mathrm{\pi }}{12} $ .
显然 $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{12} < \dfrac{\mathrm{\pi }}{10} < 1 < \dfrac{7\mathrm{\pi }}{12} $ ，故 $ \alpha < \beta < \gamma < \theta =\varphi $ .
7．（多选）下列各组角终边相同的一组是（ ）（多选）
A． $ -{30}^{\circ } $ ， $ {330}^{\circ } $
B． $ -{120}^{\circ } $ ， $ {960}^{\circ } $
C． $ \dfrac{11}{6}\mathrm{\pi } $ ， $ -\dfrac{7}{6}\mathrm{\pi } $
D． $ \dfrac{9}{17}\mathrm{\pi } $ ， $ -\dfrac{25}{17}\mathrm{\pi } $
对于A,因为 $ -{30}^{\circ }=-{360}^{\circ }+{330}^{\circ } $ ,所以 $ -{30}^{\circ } $ 与 $ {330}^{\circ } $ 角的终边相同,故A正确；
对于B, $ -{120}^{\circ }=-{360}^{\circ }+{240}^{\circ } $ , $ {960}^{\circ }=2×{360}^{\circ }+{240}^{\circ } $ ,
所以 $ -{120}^{\circ } $ 与 $ {960}^{\circ } $ 角的终边相同,故B正确；
对于C, $ -\dfrac{7}{6}\mathrm{\pi }=-2\mathrm{\pi }+\dfrac{5}{6}\mathrm{\pi } $ ,即 $ -\dfrac{7}{6}\mathrm{\pi } $ 角的终边与 $ \dfrac{5}{6}\mathrm{\pi } $ 角的终边相同,
$ \dfrac{11}{6}\mathrm{\pi }\in [0,2\mathrm{\pi }) $ , $ \dfrac{5}{6}\mathrm{\pi }\in [0,2\mathrm{\pi }) $ ,所以 $ \dfrac{11}{6}\mathrm{\pi } $ 角与 $ \dfrac{5}{6}\mathrm{\pi } $ 角的终边不相同,
即 $ \dfrac{11}{6}\mathrm{\pi } $ 与 $ -\dfrac{7}{6}\mathrm{\pi } $ 角的终边不相同,故C错误；
对于D, $ -\dfrac{25}{17}\mathrm{\pi }=-2\mathrm{\pi }+\dfrac{9}{17}\mathrm{\pi } $ ,所以 $ \dfrac{9}{17}\mathrm{\pi } $ 与 $ -\dfrac{25}{17}\mathrm{\pi } $ 角的终边相同,故D正确.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{D} $ .
8．如果角 $ \alpha $ 与角 $ \gamma +\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ 的终边相同，角 $ \beta $ 与角 $ \gamma -\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ 的终边相同，那么 $ \alpha -\beta $ 的可能值为（ ）（多选）
A． $ \dfrac{2\mathrm{\pi }}{3} $
B． $ 2\mathrm{\pi } $
C． $ \dfrac{20\mathrm{\pi }}{3} $
D． $ 20\mathrm{\pi } $
角 $ \alpha $ 与角 $ \gamma +\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ 的终边相同,则 $ \alpha =m\cdot 2\mathrm{\pi }+\gamma +\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ , $ m\in \boldsymbol{Z} $ ,
角 $ \beta $ 与角 $ \gamma -\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ 的终边相同,则 $ \beta =n\cdot 2\mathrm{\pi }+\gamma -\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ , $ n\in \boldsymbol{Z} $ ,
$ \therefore \alpha -\beta =m\cdot 2\mathrm{\pi }+\gamma +\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}-(n\cdot 2\mathrm{\pi }+\gamma -\dfrac{\mathrm{\pi }}{3})=(m-n)\cdot 2\mathrm{\pi }+\dfrac{2\mathrm{\pi }}{3} $ , $ m $ , $ n\in \boldsymbol{Z} $ ,
即角 $ \alpha -\beta $ 与角 $ \dfrac{2\mathrm{\pi }}{3} $ 的终边相同,选项 $ \mathrm{A} $ , $ \mathrm{C} $ 符合题意.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{C} $ .
9．下列说法正确的是（ ）
A．终边在 $ x $ 轴上的角的集合是 $ ｛\alpha |\alpha =\dfrac{k\mathrm{\pi }}{2},k\in \boldsymbol{Z}｝ $
B．若角 $ \alpha $ 的终边在第二象限，则角 $ \alpha $ 是钝角
C．若角 $ \alpha $ 是钝角，则角 $ \alpha $ 的终边在第二象限
D．终边在直线 $ y=-x $ 上的角的集合是 $ ｛\alpha |\alpha =\dfrac{\mathrm{\pi }}{4}+k\mathrm{\pi },k\in \boldsymbol{Z}｝ $
对于 $ \mathrm{A} $ ,终边在 $ x $ 轴上的角的集合是 $ ｛\alpha |\alpha =k\mathrm{\pi } $ , $ k\in \boldsymbol{Z} $ },故 $ \mathrm{A} $ 错误；
对于 $ \mathrm{B} $ ,终边在第二象限的角未必都是钝角,例如 $ \alpha =2\mathrm{\pi }+\dfrac{3\mathrm{\pi }}{4} $ ,故 $ \mathrm{B} $ 错误；
对于 $ \mathrm{C} $ ,因为钝角是大于 $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{2} $ 且小于 $ \mathrm{\pi } $ 的角,所以钝角必在第二象限,故 $ \mathrm{C} $ 正确；
对于 $ \mathrm{D} $ ,终边在直线 $ y=-x $ 上的角的集合是 $ ｛\alpha |\alpha =\dfrac{3\mathrm{\pi }}{4}+k\mathrm{\pi } $ , $ k\in \boldsymbol{Z}｝ $ ,故 $ \mathrm{D} $ 错误.故选 $ \mathrm{C} $ .
10．终边在直线 $ y=x $ 上的角 $ \alpha $ 构成的集合可以表示为 .（用弧度制表示）
$ ｛\alpha |\alpha =k\mathrm{\pi }+\dfrac{\mathrm{\pi }}{4},k\in \boldsymbol{Z}｝ $
$ \because $ 角 $ \alpha $ 的终边在直线 $ y=x $ 上， $ \therefore $ 角 $ \alpha $ 的终边在第一、三象限的角平分线上.
$ \because $ 终边在第一象限的角平分线上的一个角为 $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{4} $ ，
$ \therefore $ 终边在直线 $ y=x $ 上的角 $ \alpha $ 构成的集合可以表示为 $ ｛\alpha |\alpha =k\mathrm{\pi }+\dfrac{\mathrm{\pi }}{4},k\in \boldsymbol{Z}｝ $ .
11．已知半径为3的圆弧所对的圆心角为 $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{6} $ ，则该圆弧所在的扇形面积为（ ）
A． $ \sqrt{3}\mathrm{\pi } $
B． $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $
C． $ \dfrac{2\mathrm{\pi }}{3} $
D． $ \dfrac{3\mathrm{\pi }}{4} $
由题意，扇形面积为 $ S=\dfrac{1}{2}\alpha {r}^{2}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{\mathrm{\pi }}{6}×{3}^{2}=\dfrac{3\mathrm{\pi }}{4} $ .故选 $ \mathrm{D} $ .
12．（多选）小夏同学在学习了任意角和弧度制的知识后，对家里的扇形瓷器盘产生了浓厚的兴趣，并临摹出该瓷器盘的大致形状，如图所示.在扇形 $ OAB $ 中， $ \mathrm{\angle }AOB=\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ ， $ OB=OA=2 $ ，则（ ）
（多选）
A． $ \mathrm{\angle }AOB={30}^{\circ } $
B． $ \stackrel{⌢}{AB} $ 的长为 $ \dfrac{2\mathrm{\pi }}{3} $
C．扇形 $ OAB $ 的周长为 $ \dfrac{2\mathrm{\pi }}{3}+4 $
D．扇形 $ OAB $ 的面积为 $ \dfrac{4\mathrm{\pi }}{3} $
因为 $ \mathrm{\angle }AOB=\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}={60}^{\circ } $ ,所以 $ \mathrm{A} $ 错误；
$ \stackrel{⌢}{AB} $ 的长 $ l=\alpha r=\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}×2=\dfrac{2\mathrm{\pi }}{3} $ ,所以 $ \mathrm{B} $ 正确；
扇形 $ OAB $ 的周长为 $ \dfrac{2\mathrm{\pi }}{3}+4 $ ,所以 $ \mathrm{C} $ 正确；
扇形 $ OAB $ 的面积为 $ S=\dfrac{1}{2}lr=\dfrac{1}{2}×\dfrac{2\mathrm{\pi }}{3}×2=\dfrac{2\mathrm{\pi }}{3}(l $ 为弧 $ AB $ 的长度 $ ) $ ,所以 $ \mathrm{D} $ 错误.故选 $ \mathrm{B}\mathrm{C} $ .
13．已知扇形的圆心角是 $ \alpha $ ，半径是 $ r $ ，弧长为 $ l $ .
（1） 若 $ \alpha ={100}^{\circ } $ , $ r=2 $ ，求扇形的面积；
（2） 若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数.
（1） 【解】因为 $ \alpha ={100}^{\circ }=100×\dfrac{\mathrm{\pi }}{180}=\dfrac{5\mathrm{\pi }}{9} $ ,
所以扇形的面积 $ S=\dfrac{1}{2}lr=\dfrac{1}{2}\alpha {r}^{2}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{5\mathrm{\pi }}{9}×4=\dfrac{10\mathrm{\pi }}{9} $ .
（2） 【解】由题意可知 $ l+2r=20 $ ,即 $ l=20-2r $ ,
所以扇形的面积 $ S=\dfrac{1}{2}lr=\dfrac{1}{2}(20-2r)\cdot $ $ r=-{\left(r-5\right) ^ {2}}+25 $ ,
易知当 $ r=5 $ 时,扇形的面积最大,最大值为25,
此时 $ l=20-2×5=10 $ , $ \alpha =\dfrac{l}{r}=\dfrac{10}{5}=2 $ .
14．（多选）下列与 $ \dfrac{9\mathrm{\pi }}{4} $ 的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）（多选）
A． $ {45}^{\circ }+2k\mathrm{\pi }(k\in \boldsymbol{Z}) $
B． $ \dfrac{9\mathrm{\pi }}{4}+k\cdot {360}^{\circ }(k\in \boldsymbol{Z}) $
C． $ -{315}^{\circ }+k\cdot {360}^{\circ }(k\in \boldsymbol{Z}) $
D． $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{4}+2k\mathrm{\pi }(k\in \boldsymbol{Z}) $
对于 $ \mathrm{A} $ , $ \mathrm{B} $ ，在同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用，所以 $ \mathrm{A} $ ， $ \mathrm{B} $ 错误.
对于 $ \mathrm{C} $ ， $ \dfrac{9\mathrm{\pi }}{4}=4\mathrm{\pi }-\dfrac{7\mathrm{\pi }}{4} $ ，则角 $ \dfrac{9\mathrm{\pi }}{4} $ 与 $ -\dfrac{7\mathrm{\pi }}{4} $ 的终边相同，且 $ -\dfrac{7\mathrm{\pi }}{4} $ 化角度制为 $ -{315}^{\circ } $ ，则角 $ -{315}^{\circ } $ 与 $ \dfrac{9\mathrm{\pi }}{4} $ 的终边相同，故 $ -{315}^{\circ }+k\cdot {360}^{\circ }(k\in \boldsymbol{Z}) $ 是与 $ \dfrac{9\mathrm{\pi }}{4} $ 的终边相同的角的表达式，故 $ \mathrm{C} $ 正确；
对于 $ \mathrm{D} $ ，由 $ \dfrac{9\mathrm{\pi }}{4}=2\mathrm{\pi }+\dfrac{\mathrm{\pi }}{4} $ ,得 $ \dfrac{9\mathrm{\pi }}{4} $ 与 $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{4} $ 的终边相同，则与 $ \dfrac{9\mathrm{\pi }}{4} $ 终边相同的角可以写成 $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{4}+2k\mathrm{\pi }(k\in \boldsymbol{Z}) $ 的形式，故 $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{C}\mathrm{D} $ .
15．扇子最早称“翣”，其功能并不是纳凉，而是礼仪用具，后用于纳凉、娱乐、欣赏等.扇文化是中国传统文化的重要门类，扇子的美学也随之融入到建筑等艺术审美之中.图①为一古代扇形窗子，此窗子所在扇形的半径（图②） $ AO=80\mathrm{c}\mathrm{m} $ ，圆心角为 $ {45}^{\circ } $ ，且 $ C $ 为 $ AO $ 的中点，则该扇形窗子的面积为（ ）
图① 图②
A． $ 10\text{ }800{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{2} $
B． $ 10\text{ }800\mathrm{\pi }\text{ }{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{2} $
C． $ 600\mathrm{\pi }\text{ }{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{2} $
D． $ 600\text{ }{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{2} $
由题意得 $ {45}^{\circ } $ 化为弧度为 $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{4} $ ，又 $ AO=80\text{ }\mathrm{c}\mathrm{m} $ ， $ C $ 为 $ AO $ 的中点，则该扇形窗子的面积为 $ \dfrac{1}{2}×\dfrac{\mathrm{\pi }}{4}(O{A}^{2}-O{C}^{2})=\dfrac{1}{2}×\dfrac{\mathrm{\pi }}{4}({80}^{2}-{40}^{2})=600\mathrm{\pi }({\mathrm{c}\mathrm{m}}^{2}) $ ，故选 $ \mathrm{C} $ .
16．圆心角为 $ {36}^{\circ } $ 的扇形的弧长为 $ \dfrac{4\mathrm{\pi }}{5} $ ，则该扇形面积为 .
$ \dfrac{8\mathrm{\pi }}{5} $
设扇形的半径为 $ R $ ，
因为 $ {36}^{\circ }=\dfrac{\mathrm{\pi }}{5}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d} $ ，圆心角为 $ {36}^{\circ } $ 的扇形的弧长为 $ \dfrac{4\mathrm{\pi }}{5} $ ，所以 $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{5}R=\dfrac{4\mathrm{\pi }}{5} $ ，解得 $ R=4 $ ，
故扇形的面积 $ S=\dfrac{1}{2}×\dfrac{4\mathrm{\pi }}{5}×4=\dfrac{8\mathrm{\pi }}{5} $ .
17．已知集合 $ M=｛x|x=\dfrac{k\mathrm{\pi }}{2}+\dfrac{\mathrm{\pi }}{4},k\in \boldsymbol{Z}｝ $ ， $ N=｛x|x=\dfrac{k\mathrm{\pi }}{4}+\dfrac{\mathrm{\pi }}{2} $ ， $ k\in \boldsymbol{Z}｝ $ ，则有（ ）
A． $ M=N $
B． $ M⫋N $
C． $ M⫋N $
D． $ M\cap N=\mathrm{⌀} $
因为集合 $ M $ 表示终边在第一、三象限或第二、四象限的角平分线上的角的集合,集合 $ \mathbf{N} $ 表示终边在坐标轴（四个位置）上和在第一、三象限或第二、四象限的角平分线上的角的集合,故 $ M⫋N $ .
18．已知扇形的周长为 $ 10\text{ }\mathrm{c}\mathrm{m} $ ，面积为 $ 4\text{ }{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{2} $ ，则扇形的圆心角 $ \alpha $ 的弧度数为 .
$ \dfrac{1}{2} $
设扇形的半径为 $ r\text{ }\mathrm{c}\mathrm{m} $ ,圆心角 $ \alpha $ 所对的弧长为 $ l\text{ }\mathrm{c}\mathrm{m} $ .由题意得 $ \begin{cases}l+2r=10,\\ \dfrac{1}{2}lr=4,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}l=8,\\ r=1\end{cases} $ 或 $ \begin{cases}l=2,\\ r=4,\end{cases}\therefore \alpha =8 $ 或 $ \alpha =\dfrac{1}{2} $ .又 $ \because 0 < \alpha < 2\mathrm{\pi } $ ， $ \therefore \alpha =\dfrac{1}{2} $ .