第5.1节综合训练

一、刷能力

1．设集合 $ A=｛\alpha |\alpha =k\mathrm{\pi }+\dfrac{\mathrm{\pi }}{2},k\in \boldsymbol{Z}｝ $ ，集合 $ B=｛\alpha |\alpha =2k\mathrm{\pi }±\dfrac{\mathrm{\pi }}{2} $ , $ k\in \boldsymbol{Z}｝ $ ，则 $ A $ 与 $ B $ 的关系为（      ）

A． $ A=B $

B． $ A⫋B $

C． $ B⫋A $

D． $ A\cap B=\mathrm{⌀} $

答案：A
解析：

因为集合 $ A=｛\alpha |\alpha =k\mathrm{\pi }+\dfrac{\mathrm{\pi }}{2} $ , $ k\in \boldsymbol{Z}｝ $ ，所以集合 $ A $ 表示终边落在 $ y $ 轴上的角的集合；

因为集合 $ B=｛\alpha |\alpha =2k\mathrm{\pi }±\dfrac{\mathrm{\pi }}{2},k\in \boldsymbol{Z}｝ $ ，所以集合 $ B $ 表示终边落在 $ y $ 轴上的角的集合.

所以 $ A=B $ .故选 $ \mathrm{A} $ .

2．已知某扇形的面积为 $ 2.5{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{2} $ ，若该扇形的半径 $ r $ ，弧长 $ l $ 满足 $ 2r+l=7\text{ }\mathrm{c}\mathrm{m} $ ，则该扇形圆心角的弧度数是（      ）

A． $ \dfrac{4}{5} $

B．5

C． $ \dfrac{1}{2} $

D． $ \dfrac{4}{5} $ 或5

答案：D
解析：

根据题意，得 $ \begin{cases}l+2r=7,\\ \dfrac{1}{2}lr=2.5,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}r=\dfrac{5}{2},\\ l=2\end{cases} $ 或 $ \begin{cases}r=1,\\ l=5,\end{cases} $ 所以 $ \dfrac{l}{r}=\dfrac{4}{5} $ 或5.故选 $ \mathrm{D} $ .

3．“ $ \alpha $ 是小于 $ {135}^{\circ } $ 的钝角”是“ $ 2\alpha $ 是第三象限角”的（      ）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案：A
解析：

若 $ \alpha $ 是小于 $ {135}^{\circ } $ 的钝角，则 $ {90}^{\circ } < \alpha < {135}^{\circ } $ ，故 $ {180}^{\circ } < 2\alpha < {270}^{\circ } $ ，

所以 $ 2\alpha $ 是第三象限角.

若 $ 2\alpha $ 是第三象限角，则 $ 2\alpha $ 可以取 $ -{120}^{\circ } $ ，

即 $ \alpha $ 可以取 $ -{60}^{\circ } $ ，但 $ -{60}^{\circ } $ 不是钝角.

故“ $ \alpha $ 是小于 $ {135}^{\circ } $ 的钝角”是“ $ 2\alpha $ 是第三象限角”的充分不必要条件.故选 $ \mathrm{A} $ .

4．扇子发源于我国，我国的扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，历来我国有“制扇王国”之称.现有某工艺厂生产的一款优美的扇子，如图所示，其扇环面是由画有精美图案的油布构成，扇子对应的扇环外环的弧长为 $ 48\mathrm{c}\mathrm{m} $ ，内环的弧长为 $ 16\mathrm{c}\mathrm{m} $ ，油布径长（外环半径与内环半径之差）为 $ 24\mathrm{c}\mathrm{m} $ ，则该扇子的油布面积大约为（油布与扇子骨架皱折部分忽略不计）（      ）

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A． $ 1024{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{2} $

B． $ 768{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{2} $

C． $ 640{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{2} $

D． $ 512{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{2} $

答案：B
解析：

设扇子对应的扇形的圆心角为 $ \alpha (\alpha > 0) $ ，内环的半径为 $ r\mathrm{c}\mathrm{m} $ ，外环的半径为 $ R\mathrm{c}\mathrm{m} $ ，

则 $ R-r=24 $ ，因为扇环外环的弧长为 $ 48\mathrm{c}\mathrm{m} $ ，内环的弧长为 $ 16\mathrm{c}\mathrm{m} $ ，

所以 $ \begin{cases}\alpha R=48,\\ \alpha r=16,\end{cases} $ 则 $ \alpha (R+r)=64 $ ，所以该扇子的油布面积为 $ S=\dfrac{1}{2}\alpha ({R}^{2}-{r}^{2})=\dfrac{1}{2}\alpha \cdot (R+r)(R-r)=\dfrac{1}{2}×64×24=768({\mathrm{c}\mathrm{m}}^{2}) $ .

故选 $ \mathrm{B} $ .

5．（多选）下列选项正确的是（      ）（多选）

A． $ -{150}^{\circ } $ 是第二象限角

B． $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{12}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}={15}^{\circ } $

C．经过4小时，时针转了 $ -{120}^{\circ } $

D．若一扇形的弧长为2，圆心角为 $ {60}^{\circ } $ ，则该扇形的面积为 $ \dfrac{6}{\mathrm{\pi }} $

答案：BCD
解析：

选项 $ \mathrm{A} $ , $ -{150}^{\circ } $ 的终边在第三象限,故 $ \mathrm{A} $ 错误；

选项 $ \mathrm{B} $ , $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{12}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}=\dfrac{\mathrm{\pi }}{12}×\dfrac{{180}^{\circ }}{\mathrm{\pi }}={15}^{\circ } $ ,故 $ \mathrm{B} $ 正确；

选项 $ \mathrm{C} $ ,时针按顺时针方向转,所以转过的角是负角,每经过1小时转 $ -{30}^{\circ } $ ,所以经过4小时,时针转了 $ -{120}^{\circ } $ ,故 $ \mathrm{C} $ 正确；

选项 $ \mathrm{D} $ ,若一扇形的弧长为2,圆心角为 $ {60}^{\circ }=\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ ,则该扇形的半径 $ r=\dfrac{l}{\alpha }=\dfrac{6}{\mathrm{\pi }} $ ,该扇形的面积 $ S=\dfrac{1}{2}lr=\dfrac{1}{2}×2×\dfrac{6}{\mathrm{\pi }}=\dfrac{6}{\mathrm{\pi }} $ ,故 $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D} $ .

6．已知扇形AOB的圆心角为 $ {\rm \mathit{α}} $ ,周长为4.那么当其面积取得最大值时,α=        . 

答案：

2　

解析：

设扇形所在圆的半径为r.

由题意,2r+rα=4,α∈(0,2π),所以 $ {\rm \mathit{r}=} \dfrac{4}{2+\alpha } $ ,

因此扇形面积 $ {\rm \mathit{S}=} \dfrac{1}{2} {\rm \mathit{r}^{2}\mathit{α}=} $ $ \dfrac{8\alpha }{{\left(2+\alpha \right) ^ {2}}} {\rm =} $ $ \dfrac{8}{\alpha +\dfrac{4}{\alpha }+4} {\rm \leqslant } $ $ \dfrac{8}{2\sqrt{\alpha ·\dfrac{4}{\alpha }}+4} {\rm =1} $ ,当且仅当 $ {\rm \mathit{α}=} \dfrac{4}{\alpha } $ ,即 $ {\rm \mathit{α}=2} $ 时,S取得最大值1.

 

7．数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形 $ ABC $ ，再分别以点 $ A $ ， $ B $ ， $ C $ 为圆心，线段 $ AB $ 长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）.若莱洛三角形的周长为 $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{2} $ ，则其面积是        .

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答案：

$ \dfrac{\mathrm{\pi }-\sqrt{3}}{8} $

解析：

莱洛三角形的周长为 $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{2} $ ，可得弧长 $ \stackrel{⌢}{AB}=\stackrel{⌢}{BC}=\stackrel{⌢}{AC}=\dfrac{\mathrm{\pi }}{6} $ ，则等边三角形的边长 $ AB=BC=AC=\dfrac{\dfrac{\mathrm{\pi }}{6}}{\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}}=\dfrac{1}{2} $ .

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故分别以点 $ A $ ， $ B $ ， $ C $ 为圆心，圆弧 $ BC $ , $ AC $ , $ AB $ 所对的扇形面积均为 $ \dfrac{1}{2}×\dfrac{\mathrm{\pi }}{6}×\dfrac{1}{2}=\dfrac{\mathrm{\pi }}{24} $ ，

等边 $ △ABC $ 的面积 $ S=\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}×\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{16} $ ，

所以莱洛三角形的面积是 $ 3×\dfrac{\mathrm{\pi }}{24}-2×\dfrac{\sqrt{3}}{16}=\dfrac{\mathrm{\pi }-\sqrt{3}}{8} $ .

8．（1）将 $ -1\text{ }{120}^{\circ } $   写成 $ 2k\mathrm{\pi }+\alpha (k\in \boldsymbol{Z}) $ 的形式，其中 $ 0\leqslant \alpha < 2\mathrm{\pi } $   ；

（2）写出与（1）中角 $ \alpha $   终边相同的角 $ \beta $   的集合，并写出在 $ [-4\mathrm{\pi },0] $ 的角 $ \beta $   .

答案：

见解析

解析：

（1） $ \because -1\text{ }{120}^{\circ }=-4×{360}^{\circ }+{320}^{\circ } $ ， $ \text{ }\therefore -1\text{ }{120}^{\circ } $ 用弧度数表示为 $ -8\mathrm{\pi }+\dfrac{16\mathrm{\pi }}{9} $ ．

（2）与（1）中角 $ \alpha $   终边相同的角 $ \beta $   的集合为 $ ｛\beta |\beta =2k\mathrm{\pi }+\dfrac{16\mathrm{\pi }}{9},k\in \boldsymbol{Z}｝ $ .

$ \because \beta \in [-4\mathrm{\pi },0] $ ， $ \text{ }\therefore $   当 $ k=-1 $ 时， $ \beta =-2\mathrm{\pi }+\dfrac{16\mathrm{\pi }}{9}=-\dfrac{2\mathrm{\pi }}{9} $ ；

当 $ k=-2 $ 时， $ \beta =-4\mathrm{\pi }+\dfrac{16\mathrm{\pi }}{9}=-\dfrac{20\mathrm{\pi }}{9} $ ．