1．已知 $ \alpha \in (\dfrac{\mathrm{\pi }}{2},\mathrm{\pi }) $ ，且 $ \sin \alpha =\dfrac{3}{5} $ ，则 $ \tan \alpha = $ （ ）
A． $ \dfrac{3}{4} $
B． $ -\dfrac{3}{4} $
C． $ \dfrac{4}{3} $
D． $ -\dfrac{4}{3} $
$ \alpha \in (\dfrac{\mathrm{\pi }}{2},\mathrm{\pi }) $ ,且 $ \sin \alpha =\dfrac{3}{5} $ , $ \therefore \cos \alpha < 0 $ ,
$ \cos \alpha =-\sqrt{1-{ \sin }^{2}\alpha }=-\sqrt{1-{\left(\dfrac{3}{5}\right) ^ {2}}}=-\dfrac{4}{5} $ , $ \therefore \tan \alpha =\dfrac{ \sin \alpha }{ \cos \alpha }=-\dfrac{3}{4} $ .故选 $ \mathrm{B} $ .
2． $ \sqrt{1-{ \sin }^{2}2}= $ （ ）
A． $ \cos 2 $
B． $ - \cos 2 $
C． $ \sin 2 $
D． $ - \sin 2 $
$ \sqrt{1-{ \sin }^{2}2}=| \cos 2| $ .因为 $ 2\in (\dfrac{\mathrm{\pi }}{2},\mathrm{\pi }) $ ，所以 $ \cos 2 < 0 $ ，所以 $ | \cos 2|=- \cos 2 $ .故选 $ \mathrm{B} $ .
3．（多选）已知 $ \theta \in (0,\mathrm{\pi }) $ ， $ \sin \theta + \cos \theta =\dfrac{1}{5} $ ，则下列结论正确的是（ ）（多选）
A． $ \sin \theta \cos \theta =-\dfrac{12}{25} $
B． $ \theta \in (\dfrac{\mathrm{\pi }}{2},\mathrm{\pi }) $
C． $ \sin \theta - \cos \theta =-\dfrac{7}{5} $
D． $ \tan \theta =-\dfrac{4}{3} $
对于 $ \mathrm{A} $ ，由 $ \sin \theta + \cos \theta =\dfrac{1}{5}\mathrm{①} $ ，
以及 $ { \sin }^{2}\theta +{ \cos }^{2}\theta =1 $ ，
对等式①两边取平方得 $ 1+2 \sin \theta \cos \theta =\dfrac{1}{25} $ ，则 $ \sin \theta \cos \theta =-\dfrac{12}{25}\mathrm{②} $ ，故 $ \mathrm{A} $ 正确；
对于 $ \mathrm{B} $ ， $ \because \theta \in (0,\mathrm{\pi }) $ ， $ \therefore \sin \theta > 0 $ ，结合②知 $ \cos \theta < 0 $ ， $ \therefore \theta \in (\dfrac{\mathrm{\pi }}{2},\mathrm{\pi }) $ ，故 $ \mathrm{B} $ 正确；
对于 $ \mathrm{C} $ ，由上述分析知 $ \sin \theta - \cos \theta =\sqrt{1-2 \sin \theta \cos \theta }=\sqrt{1+\dfrac{24}{25}}=\dfrac{7}{5} $ ，故 $ \mathrm{C} $ 错误；
对于 $ \mathrm{D} $ ，由方程 $ \begin{cases} \sin \theta - \cos \theta =\dfrac{7}{5},\\ \sin \theta + \cos \theta =\dfrac{1}{5},\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} \sin \theta =\dfrac{4}{5},\\ \cos \theta =-\dfrac{3}{5},\end{cases} $ 所以 $ \tan \theta =-\dfrac{4}{3} $ ，故 $ \mathrm{D} $ 正确.
故选 $ \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{D} $ .
4．已知 $ \tan \alpha =\dfrac{ \sin \alpha +6 \cos \alpha }{ \sin \alpha +2 \cos \alpha } $ ，且 $ \alpha $ 为第三象限角，则 $ \tan \alpha = $ （ ）
A．2
B．3
C． $ -2 $ 或3
D．2或 $ -3 $
易知 $ \tan \alpha =\dfrac{ \sin \alpha +6 \cos \alpha }{ \sin \alpha +2 \cos \alpha }=\dfrac{\dfrac{ \sin \alpha +6 \cos \alpha }{ \cos \alpha }}{\dfrac{ \sin \alpha +2 \cos \alpha }{ \cos \alpha }}=\dfrac{ \tan \alpha +6}{ \tan \alpha +2} $ ，
整理可得 $ { \tan }^{2}\alpha + \tan \alpha -6=0 $ ，解得 $ \tan \alpha =2 $ 或 $ \tan \alpha =-3 $ .
又由 $ \alpha $ 为第三象限角，可得 $ \tan \alpha > 0 $ ，即 $ \tan \alpha =2 $ .故选 $ \mathrm{A} $ .
5．已知 $ 2 \sin \theta +\sqrt{3} \tan \theta =0 $ ，则角 $ \theta $ 的值不可能是（ ）
A． $ -{210}^{\circ } $
B． $ -{180}^{\circ } $
C． $ {210}^{\circ } $
D． $ -{240}^{\circ } $
$ \because 2 \sin \theta +\sqrt{3} \tan \theta =2 \sin \theta +\sqrt{3}×\dfrac{ \sin \theta }{ \cos \theta }= \sin \theta (2+\dfrac{\sqrt{3}}{ \cos \theta })=0 $ , $ \therefore \sin \theta =0 $ 或 $ \cos \theta =-\dfrac{\sqrt{3}}{2} $ , $ \therefore \theta =-{210}^{\circ } $ , $ -{180}^{\circ } $ , $ {210}^{\circ } $ 都满足题意,而 $ \theta =-{240}^{\circ } $ 不满足.故选 $ \mathrm{D} $ .
6．若 $ \tan \theta =2 $ ，则 $ \dfrac{{\left( \sin \theta + \cos \theta \right) ^ {2}}( \cos \theta - \sin \theta )}{ \sin \theta }= $ （ ）
A． $ -\dfrac{2}{5} $
B． $ -\dfrac{9}{10} $
C． $ \dfrac{2}{5} $
D． $ \dfrac{9}{10} $
$ \dfrac{{\left( \sin \theta + \cos \theta \right) ^ {2}}( \cos \theta - \sin \theta )}{ \sin \theta }=\dfrac{ \sin \theta + \cos \theta }{ \sin \theta }\cdot \dfrac{{ \cos }^{2}\theta -{ \sin }^{2}\theta }{{ \cos }^{2}\theta +{ \sin }^{2}\theta }=\dfrac{ \tan \theta +1}{ \tan \theta }\cdot \dfrac{1-{ \tan }^{2}\theta }{1+{ \tan }^{2}\theta }=-\dfrac{9}{10} $ .故选 $ \mathrm{B} $ .
7．已知 $ f( \tan \text{ }x)=\dfrac{1}{{ \cos }^{2}x} $ ，则 $ f(-\sqrt{3})= $ .
4
$ f( \tan \text{ }x)=\dfrac{1}{{ \cos }^{2}x}=\dfrac{{ \sin }^{2}x+{ \cos }^{2}x}{{ \cos }^{2}x}={ \tan }^{2}x+1 $ ，当 $ \tan \text{ }x=-\sqrt{3} $ 时， $ f(-\sqrt{3})=3+1=4 $ .
8．已知 $ \alpha $ 为第二象限角，化简 $ \tan \alpha \cdot \sqrt{\dfrac{1}{{ \sin }^{2}\alpha }-1}= $ （ ）
A．1
B．2
C． $ -1 $
D． $ \dfrac{1}{2} $
$ \because \alpha $ 为第二象限角,
$ \therefore \tan \alpha \cdot \sqrt{\dfrac{1}{{ \sin }^{2}\alpha }-1}= \tan \alpha \cdot \sqrt{\dfrac{1-{ \sin }^{2}\alpha }{{ \sin }^{2}\alpha }}= \tan \alpha \cdot \dfrac{- \cos \alpha }{ \sin \alpha }=-1 $ ,故选 $ \mathrm{C} $ .
9．若 $ \mathrm{\pi } < \alpha < \dfrac{3\mathrm{\pi }}{2} $ ，则 $ \sqrt{\dfrac{1- \sin \alpha }{1+ \sin \alpha }}+\sqrt{\dfrac{1+ \sin \alpha }{1- \sin \alpha }} $ 的化简结果是（ ）
A． $ \dfrac{2}{ \tan \alpha } $
B． $ -\dfrac{2}{ \tan \alpha } $
C． $ \dfrac{2}{ \sin \alpha } $
D． $ -\dfrac{2}{ \cos \alpha } $
$ \sqrt{\dfrac{1- \sin \alpha }{1+ \sin \alpha }}+\sqrt{\dfrac{1+ \sin \alpha }{1- \sin \alpha }} $
$ =\sqrt{\dfrac{{\left(1- \sin \alpha \right) ^ {2}}}{(1+ \sin \alpha )(1- \sin \alpha )}}+\sqrt{\dfrac{{\left(1+ \sin \alpha \right) ^ {2}}}{(1- \sin \alpha )(1+ \sin \alpha )}} $
$ =\dfrac{|1- \sin \alpha |}{| \cos \alpha |}+\dfrac{|1+ \sin \alpha |}{| \cos \alpha |} $ ,
由于 $ \mathrm{\pi } < \alpha < \dfrac{3\mathrm{\pi }}{2} $ ,所以 $ \cos \alpha < 0 $ , $ 1+ \sin \alpha > 0 $ , $ 1- \sin \alpha > 0 $ ,故 $ \dfrac{|1- \sin \alpha |}{| \cos \alpha |}+\dfrac{|1+ \sin \alpha |}{| \cos \alpha |}=-\dfrac{1- \sin \alpha }{ \cos \alpha }-\dfrac{1+ \sin \alpha }{ \cos \alpha }=-\dfrac{2}{ \cos \alpha } $ ,故选 $ \mathrm{D} $ .
10．已知 $ {\rm \mathit{α}} $ 为第二象限角,则 $ \dfrac{2 \sin \alpha }{\sqrt{1-\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{2}\alpha }} {\rm +cos} $ $ {\rm \mathit{α}·} \sqrt{1+\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{2}\alpha } $ 的值是 ．
1
∵ $ {\rm \mathit{α}} $ 为第二象限角,∴sin $ {\rm \mathit{α}} $ >0,cos $ {\rm \mathit{α}} $ <0,
∴ $ \dfrac{2 \sin \alpha }{\sqrt{1-\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{2}\alpha }} {\rm +cos} $ $ {\rm \mathit{α}} \sqrt{1+\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{2}\alpha } $
$ {\rm =} \dfrac{2 \sin \alpha }{ \sin \alpha } {\rm +cos} $ $ {\rm \mathit{α}} \sqrt{\dfrac{1}{\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{2}\alpha }} $
$ {\rm =2+cos} $ $ {\rm \mathit{α}} \left|\dfrac{1}{ \cos \alpha }\right| {\rm =2-1=1\mathit{．}} $
11．化简： $ \dfrac{1-{ \cos }^{4}\alpha -{ \sin }^{4}\alpha }{1-{ \cos }^{6}\alpha -{ \sin }^{6}\alpha }= $ .
$ \dfrac{2}{3} $
原式 $ =\dfrac{(1-{ \cos }^{4}\alpha )-{ \sin }^{4}\alpha }{(1-{ \cos }^{6}\alpha )-{ \sin }^{6}\alpha } $
$ =\dfrac{(1-{ \cos }^{2}\alpha )(1+{ \cos }^{2}\alpha )-{ \sin }^{4}\alpha }{(1-{ \cos }^{2}\alpha )(1+{ \cos }^{2}\alpha +{ \cos }^{4}\alpha )-{ \sin }^{6}\alpha } $
$ =\dfrac{{ \sin }^{2}\alpha (1+{ \cos }^{2}\alpha )-{ \sin }^{4}\alpha }{{ \sin }^{2}\alpha (1+{ \cos }^{2}\alpha +{ \cos }^{4}\alpha )-{ \sin }^{6}\alpha } $
$ =\dfrac{1+{ \cos }^{2}\alpha -{ \sin }^{2}\alpha }{1+{ \cos }^{2}\alpha +{ \cos }^{4}\alpha -{ \sin }^{4}\alpha } $
$ =\dfrac{2{ \cos }^{2}\alpha }{1+{ \cos }^{2}\alpha +({ \cos }^{2}\alpha +{ \sin }^{2}\alpha )({ \cos }^{2}\alpha -{ \sin }^{2}\alpha )} $
$ =\dfrac{2{ \cos }^{2}\alpha }{1+{ \cos }^{2}\alpha +{ \cos }^{2}\alpha -{ \sin }^{2}\alpha } $
$ =\dfrac{2{ \cos }^{2}\alpha }{3{ \cos }^{2}\alpha }=\dfrac{2}{3} $ .
12．若 $ \sin x+ \cos x=\dfrac{1}{3} $ ， $ x\in (-\dfrac{\mathrm{\pi }}{2},\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}) $ ，则 $ \sin x- \cos x $ 的值为（ ）
A． $ ±\dfrac{\sqrt{17}}{3} $
B． $ \dfrac{\sqrt{17}}{3} $
C． $ -\dfrac{\sqrt{17}}{3} $
D． $ \dfrac{1}{3} $
已知 $ \sin x+ \cos x=\dfrac{1}{3} $ , $ x\in (-\dfrac{\mathrm{\pi }}{2},\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}) $ ,所以 $ 1+2 \sin x \cos x=\dfrac{1}{9} $ ,即 $ \sin x \cos x=-\dfrac{4}{9} $ ,所以 $ x\in (-\dfrac{\mathrm{\pi }}{2} $ , $ 0) $ ,
所以 $ \sin x- \cos x < 0 $ ,所以 $ \sin x- \cos x=-\sqrt{{\left( \sin x+ \cos x\right) ^ {2}}-4 \sin x \cos x}=-\dfrac{\sqrt{17}}{3} $ .
故选 $ \mathrm{C} $ .
13．若 $ \theta \in (0,\mathrm{\pi }) $ , $ \tan \theta +\dfrac{1}{ \tan \theta }=6 $ ，则 $ \sin \theta + \cos \theta = $ （ ）
A． $ \dfrac{2\sqrt{3}}{3} $
B． $ -\dfrac{2\sqrt{3}}{3} $
C． $ ±\dfrac{2\sqrt{3}}{3} $
D． $ \dfrac{2}{3} $
因为 $ \tan \theta +\dfrac{1}{ \tan \theta }=\dfrac{ \sin \theta }{ \cos \theta }+\dfrac{ \cos \theta }{ \sin \theta }=\dfrac{{ \sin }^{2}\theta +{ \cos }^{2}\theta }{ \sin \theta \cos \theta }=\dfrac{1}{ \sin \theta \cos \theta }=6 $ ，所以 $ \sin \theta \cos \theta =\dfrac{1}{6} $ ，
所以 $ ( \sin \theta + \cos \theta )^{2}=1+2 \sin \theta \cos \theta =\dfrac{4}{3} $ .又 $ \theta \in (0,\mathrm{\pi }) $ ， $ \sin \theta \cos \theta =\dfrac{1}{6} > 0 $ , $ \sin \theta > 0 $ ，则 $ \cos \theta > 0 $ ，
所以 $ \sin \theta + \cos \theta =\dfrac{2\sqrt{3}}{3} $ .故选 $ \mathrm{A} $ .
14．已知 $ \theta $ 是第二象限角， $ \sin \theta $ ， $ \cos \theta $ 是关于 $ x $ 的方程 $ 3{x}^{2}-x+t=0(t\in \boldsymbol{R}) $ 的两根，则 $ \cos \theta - \sin \theta = $ .
$ -\dfrac{\sqrt{17}}{3} $
$ \because \sin \theta $ ， $ \cos \theta $ 是关于 $ x $ 的方程 $ 3{x}^{2}-x+t=0(t\in \boldsymbol{R}) $ 的两根，
$ \therefore \sin \theta + \cos \theta =\dfrac{1}{3} $ .
$ \because ( \sin \theta + \cos \theta )^{2}+{\left( \sin \theta - \cos \theta \right) ^ {2}}=2 $ ，
$ \therefore ( \cos \theta - \sin \theta )^{2}=2-\dfrac{1}{9}=\dfrac{17}{9} $ ，
$ \therefore \cos \theta - \sin \theta =±\dfrac{\sqrt{17}}{3} $ .
$ \because \theta $ 是第二象限角， $ \therefore \sin \theta > 0 $ ， $ \cos \theta < 0 $ ，
$ \therefore \cos \theta - \sin \theta < 0 $ ， $ \therefore \cos \theta - \sin \theta =-\dfrac{\sqrt{17}}{3} $ .
15．若 $ \sin \alpha + \cos \alpha =1 $ ，则 $ { \sin }^{n}\alpha +{ \cos }^{n}\alpha (n\in \boldsymbol{Z} $ ，且 $ n\ne 0) $ 的值为 .
1
$ \because \sin \alpha + \cos \alpha =1 $ ,
$ \therefore ( \sin \alpha + \cos \alpha )^{2}=1 $ .
又 $ \because { \sin }^{2}\alpha +{ \cos }^{2}\alpha =1 $ , $ \therefore \sin \alpha \cos \alpha =0 $ ,
$ \therefore \sin \alpha =0 $ 或 $ \cos \alpha =0 $ .
当 $ \sin \alpha =0 $ 时, $ \cos \alpha =1 $ ,此时有 $ { \sin }^{n}\alpha +{ \cos }^{n}\alpha =1(n\ne 0) $ ；
当 $ \cos \alpha =0 $ 时, $ \sin \alpha =1 $ ,此时也有 $ { \sin }^{n}\alpha +{ \cos }^{n}\alpha =1(n\ne 0) $ .
$ \therefore { \sin }^{n}\alpha +{ \cos }^{n}\alpha =1 $ .
16．已知 $ \alpha \in (\dfrac{\mathrm{\pi }}{4},\dfrac{3\mathrm{\pi }}{4}) $ ，且 $ \dfrac{\sqrt{1+2 \sin \alpha \cos \alpha }+\sqrt{1-2 \sin \alpha \cos \alpha }}{ \cos \alpha }=4 $ ，则 $ \dfrac{ \sin \alpha - \cos \alpha }{2 \sin \alpha + \cos \alpha }= $ .
$ \dfrac{1}{5} $
$ \because 1+2 \sin \alpha \cos \alpha =( \sin \alpha + \cos \alpha )^{2} $ , $ 1-2 \sin \alpha \cos \alpha =( \sin \alpha - \cos \alpha )^{2} $ ,
$ \therefore \sqrt{1+2 \sin \alpha \cos \alpha }=| \sin \alpha + \cos \alpha | $ ,
$ \sqrt{1-2 \sin \alpha \cos \alpha }=| \sin \alpha - \cos \alpha | $ .
又 $ \because \alpha \in (\dfrac{\mathrm{\pi }}{4},\dfrac{3\mathrm{\pi }}{4}) $ , $ \therefore \sin \alpha + \cos \alpha > 0 $ ,
$ \sin \alpha - \cos \alpha > 0 $ ,
$ \therefore \dfrac{ \sin \alpha + \cos \alpha + \sin \alpha - \cos \alpha }{ \cos \alpha }=4 $ ,
$ \therefore \sin \alpha =2 \cos \alpha $ ,
$ \therefore \dfrac{ \sin \alpha - \cos \alpha }{2 \sin \alpha + \cos \alpha }=\dfrac{2 \cos \alpha - \cos \alpha }{4 \cos \alpha + \cos \alpha }=\dfrac{1}{5} $ .
17．已知 $ \sin \theta $ ， $ \cos \theta $ 是关于 $ x $ 的方程 $ {x}^{2}-2\sqrt{2}ax+a=0 $ 的两个实数根.
（1） 求实数 $ a $ 的值；
（2） 若 $ \theta \in (-\dfrac{\mathrm{\pi }}{2},0) $ ，求 $ \sin \theta - \cos \theta $ 的值.
【解】（1） $ \because \sin \theta $ , $ \cos \theta $ 是关于 $ x $ 的方程 $ {x}^{2}-2\sqrt{2}ax+a=0 $ 的两个实数根,
$ \therefore \sin \theta + \cos \theta =2\sqrt{2}a\mathrm{①} $ ,
$ \sin \theta \cos \theta =a\mathrm{②} $ ,
$ \mathrm{\Delta }=8{a}^{2}-4a\geqslant 0 $ ,即 $ a\leqslant 0 $ 或 $ a\geqslant \dfrac{1}{2} $ ,
$ \therefore ( \sin \theta + \cos \theta )^{2}=1+2 \sin \theta \cos \theta =1+2a=8{a}^{2} $ ,即 $ 8{a}^{2}-2a-1=0 $ ,解得 $ a=-\dfrac{1}{4} $ 或 $ a=\dfrac{1}{2} $ .
（2） $ \because \theta \in (-\dfrac{\mathrm{\pi }}{2},0) $ , $ \therefore \sin \theta < 0 $ , $ \cos \theta > 0 $ ,可得 $ \sin \theta \cos \theta =a < 0 $ ,由（1）可得 $ a=-\dfrac{1}{4} $ , $ \therefore \sin \theta \cos \theta =-\dfrac{1}{4} $ ,
$ \therefore \sin \theta - \cos \theta =-\sqrt{1-2 \sin \theta \cos \theta }=-\dfrac{\sqrt{6}}{2} $ .
18．已知 $ \alpha $ 是三角形的一个内角，且 $ \sin \alpha + \cos \alpha =\dfrac{2}{3} $ ，那么这个三角形的形状为（ ）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
由 $ \sin \alpha + \cos \alpha =\dfrac{2}{3} $ ，得 $ ( \sin \alpha + \cos \alpha )^{2}=\dfrac{4}{9} $ ，即 $ 1+2 \sin \alpha \cos \alpha =\dfrac{4}{9} $ ，所以 $ \sin \alpha \cos \alpha =-\dfrac{5}{18} < 0 $ .
由 $ \alpha $ 是三角形的一个内角，得 $ \alpha \in (0,\mathrm{\pi }) $ ，则 $ \sin \alpha > 0 $ ，
所以 $ \cos \alpha < 0 $ ，得 $ \alpha \in (\dfrac{\mathrm{\pi }}{2},\mathrm{\pi }) $ ，即三角形为钝角三角形.故选 $ \mathrm{B} $ .
19．已知角 $ A $ 是 $ △ABC $ 的内角.若 $ \sin A-2 \cos A=-1 $ ,则下列式子正确的是（ ）
A． $ 2 \sin A- \cos A=2 $
B． $ 2 \sin A+ \cos A=-2 $
C． $ \tan A=\dfrac{3}{4} $
D． $ \sin A \cos A=-\dfrac{12}{25} $
由 $ \sin A-2 \cos A=-1 $ ，得 $ \sin A=2 \cos A-1 > 0 $ ,所以 $ \cos A > \dfrac{1}{2} $ ，所以 $ A $ 为锐角.由 $ \begin{cases} \sin A-2 \cos A=-1,\\ { \sin }^{2}A+{ \cos }^{2}A=1\end{cases} $ 解得 $ \sin A=\dfrac{3}{5} $ , $ \cos A=\dfrac{4}{5} $ ，所以 $ 2 \sin A- \cos A=\dfrac{2}{5} $ ， $ 2 \sin A+ \cos A=2 $ ， $ \tan A=\dfrac{ \sin A}{ \cos A}=\dfrac{3}{4} $ ， $ \sin A \cos A=\dfrac{12}{25} $ .故选 $ \mathrm{C} $ .
20．已知 $ A $ 是三角形一内角，且 $ \tan A=-2 $ ，则 $ \cos A= $ .
$ -\dfrac{\sqrt{5}}{5} $
因为 $ \tan A=-2 < 0 $ ,且 $ A $ 为三角形一内角,所以 $ A $ 为钝角,则 $ \cos A < 0 $ ,
又 $ \begin{cases}\dfrac{ \sin A}{ \cos A}=-2,\\ { \sin }^{2}A+{ \cos }^{2}A=1,\end{cases} $ 解得 $ \cos A=-\dfrac{\sqrt{5}}{5} $ （正值舍去）.
21．
（1） $ A $ 为 $ △ABC $ 的内角，已知 $ \cos A=\dfrac{2\sqrt{2}}{3} $ ，求 $ \sin A $ ， $ \tan A $ 的值；
（2） 已知 $ \cos \alpha =\dfrac{1}{3} \sin \alpha $ ，求 $ { \sin }^{2}\alpha +2 \sin \alpha \cos \alpha $ 的值.
【解】（1） $ \because A $ 为 $ △ABC $ 的内角，
$ \therefore A\in (0,\mathrm{\pi }) $ .
又 $ \cos A > 0 $ ， $ \therefore A\in (0,\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}) $ ， $ \therefore \sin A > 0 $ ，
由 $ { \sin }^{2}A=1-{ \cos }^{2}A=\dfrac{1}{9} $ ，得 $ \sin A=\dfrac{1}{3} $ ，
$ \therefore \tan A=\dfrac{ \sin A}{ \cos A}=\dfrac{\sqrt{2}}{4} $ .
（2） 由 $ \cos \alpha =\dfrac{1}{3} \sin \alpha $ ，得 $ \tan \alpha =3 $ ，
又 $ { \sin }^{2}\alpha +{ \cos }^{2}\alpha =1 $ ，
$ \therefore $ 原式 $ =\dfrac{{ \sin }^{2}\alpha +2 \sin \alpha \cos \alpha }{{ \sin }^{2}\alpha +{ \cos }^{2}\alpha } $
$ =\dfrac{{ \tan }^{2}\alpha +2 \tan \alpha }{{ \tan }^{2}\alpha +1}=\dfrac{3}{2} $ .
22．已知 $ \sin \theta =\dfrac{1-a}{1+a} $ ， $ \cos \theta =\dfrac{3a-1}{1+a} $ ，若 $ \theta $ 为第二象限角，则下列结论正确的是（ ）
A． $ a\in (\dfrac{1}{9},1) $
B． $ a=1 $
C． $ a=1 $ 或 $ a=\dfrac{1}{9} $
D． $ a=\dfrac{1}{9} $
$ \because { \sin }^{2}\theta +{ \cos }^{2}\theta =1 $ ,
$ \therefore {\left(\dfrac{1-a}{1+a}\right) ^ {2}}+{\left(\dfrac{3a-1}{1+a}\right) ^ {2}}=1 $ ,解得 $ a=1 $ 或 $ a=\dfrac{1}{9} $ .当 $ a=1 $ 时, $ \sin \theta =0 $ , $ \theta $ 不是第二象限角,舍去；当 $ a=\dfrac{1}{9} $ 时, $ \sin \theta > 0 $ , $ \cos \theta < 0 $ ,符合题意， $ \therefore a=\dfrac{1}{9} $ .故选 $ \mathrm{D} $ .
23．已知- $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{2} $ < $ {\rm \mathit{α}} $ < $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{2} $ ,sin $ {\rm \mathit{α}} $ $ {\rm +cos} $ $ {\rm \mathit{α}} $ = $ \dfrac{1}{5} $ ,则 $ \dfrac{1}{\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{2}\alpha -\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{2}\alpha } $ 的值为 （ ）
A. $ \dfrac{7}{5} $
B.± $ \dfrac{7}{5} $
C. $ \dfrac{25}{7} $
D.± $ \dfrac{25}{7} $
由sin $ {\rm \mathit{α}+cos} $ $ {\rm \mathit{α}=} \dfrac{1}{5} $ ,得(sin $ {\rm \mathit{α}+cos} $ α)2= $ {\left(\dfrac{1}{5}\right) ^ {2}} $ ,
∴2sin $ {\rm \mathit{α}cos} $ $ {\rm \mathit{α}=-} \dfrac{24}{25} $ <0.又∵ $ {\rm -} \dfrac{\mathrm{\pi }}{2} $ < $ {\rm \mathit{α}} $ < $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{2} $ ,∴ $ {\rm -} \dfrac{\mathrm{\pi }}{2} $ < $ {\rm \mathit{α}} $ <0,则sin $ {\rm \mathit{α}} $ <0,cos $ {\rm \mathit{α}} $ >0.∵(cos $ {\rm \mathit{α}-sin} $ α)2=sin2α−2sin $ {\rm \mathit{α}cos} $ $ {\rm \mathit{α}+cos^{2}\mathit{α}=1+} \dfrac{24}{25} {\rm =} $ $ \dfrac{49}{25} $ ,∴cos $ {\rm \mathit{α}-sin} $ $ {\rm \mathit{α}=} \dfrac{7}{5} $ ,∴ $ \dfrac{1}{\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{2}\alpha -\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{2}\alpha } {\rm =} $ $ \dfrac{1}{( \cos \alpha + \sin \alpha )( \cos \alpha - \sin \alpha )} {\rm =} $ $ \dfrac{25}{7} {\rm \mathit{.}} $ 故选C.