第5.2节综合训练

由三角函数的定义可得 $ \cos \alpha =\dfrac{2a}{\sqrt{{\left(2a\right) ^ {2}}+{\left(a-2\right) ^ {2}}}}=\dfrac{2a}{\sqrt{5{a}^{2}-4a+4}}=\dfrac{4}{5} $ ，则 $ a > 0 $ ，整理可得 $ 5{a}^{2}+16a-16=0 $ ，而 $ a > 0 $ ，解得 $ a=\dfrac{4}{5} $ ，故选 $ \mathrm{B} $ .

因为 $ \sin {780}^{\circ }= \sin (2×{360}^{\circ }+{60}^{\circ })= \sin {60}^{\circ }=\dfrac{\sqrt{3}}{2} $ , $ \cos (-{330}^{\circ })= \cos (-{360}^{\circ }+{30}^{\circ })= \cos {30}^{\circ }=\dfrac{\sqrt{3}}{2} $ ,

所以 $ P(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2}) $ ,所以 $ \sin \alpha =\dfrac{\sqrt{2}}{2} $ .

由 $ 3 \sin \theta +4 \cos \theta =5 $ 得 $ 3 \sin \theta =5-4 \cos \theta $ ，

两边平方得 $ 9{ \sin }^{2}\theta ={\left(5-4 \cos \theta \right) ^ {2}} $ .

又 $ { \sin }^{2}\theta +{ \cos }^{2}\theta =1 $ ，

所以可得 $ 25{ \cos }^{2}\theta -40 \cos \theta +16=0 $ ，即 $ (5 \cos \theta -4)^{2}=0 $ ，

解得 $ \cos \theta =\dfrac{4}{5} $ ，所以 $ \sin \theta =\dfrac{3}{5} $ ，

因此 $ \tan \theta =\dfrac{ \sin \theta }{ \cos \theta }=\dfrac{3}{4} $ .故选 $ \mathrm{A} $ .

因为 $ \theta \in (0,\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}) $ ，所以 $ { \sin }^{2}\theta \in (0,1) $ , $ { \cos }^{2}\theta \in (0,1) $ .由 $ k{ \sin }^{2}\theta { \cos }^{2}\theta =9{ \sin }^{2}\theta +{ \cos }^{2}\theta $ ，得 $ k=\dfrac{1}{{ \sin }^{2}\theta }+\dfrac{9}{{ \cos }^{2}\theta } $ .

所以 $ k=\dfrac{1}{{ \sin }^{2}\theta }+\dfrac{9}{{ \cos }^{2}\theta }=(\dfrac{1}{{ \sin }^{2}\theta }+\dfrac{9}{{ \cos }^{2}\theta })({ \sin }^{2}\theta +{ \cos }^{2}\theta )=10+\dfrac{{ \cos }^{2}\theta }{{ \sin }^{2}\theta }+\dfrac{9{ \sin }^{2}\theta }{{ \cos }^{2}\theta }\geqslant 10+2\sqrt{\dfrac{{ \cos }^{2}\theta }{{ \sin }^{2}\theta }\cdot \dfrac{9{ \sin }^{2}\theta }{{ \cos }^{2}\theta }}=16 $ ，

当且仅当 $ \dfrac{{ \cos }^{2}\theta }{{ \sin }^{2}\theta }=\dfrac{9{ \sin }^{2}\theta }{{ \cos }^{2}\theta } $ ，即 $ \theta =\dfrac{\mathrm{\pi }}{6} $ 时等号成立，所以实数 $ k $ 的最小值为16.故选 $ \mathrm{D} $ .

由题意可得 $ \dfrac{ \sin \alpha (1-2 \sin \alpha \cos \alpha )}{ \sin \alpha - \cos \alpha } $

$ =\dfrac{ \sin \alpha ({ \sin }^{2}\alpha +{ \cos }^{2}\alpha -2 \sin \alpha \cos \alpha )}{ \sin \alpha - \cos \alpha } $

$ =\dfrac{ \sin \alpha ( \sin \alpha - \cos \alpha )^{2}}{ \sin \alpha - \cos \alpha } $

$ = \sin \alpha ( \sin \alpha - \cos \alpha ) $

$ =\dfrac{{ \sin }^{2}\alpha - \sin \alpha \cos \alpha }{{ \sin }^{2}\alpha +{ \cos }^{2}\alpha } $

$ =\dfrac{{ \tan }^{2}\alpha - \tan \alpha }{{ \tan }^{2}\alpha +1}=\dfrac{2}{5} $ ,

解得 $ \tan \alpha =2 $ 或 $ \tan \alpha =-\dfrac{1}{3} $ （舍去）.

因为 $ \alpha $ 是直角三角形中较大的锐角,所以 $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{4} < \alpha < \dfrac{\mathrm{\pi }}{2} $ ,

所以 $ \cos \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{1+{ \tan }^{2}\alpha }}=\dfrac{\sqrt{5}}{5} $ , $ \sin \alpha = \tan \alpha \cdot \cos \alpha =\dfrac{2\sqrt{5}}{5} $ .

易知直角三角形的两条直角边分别为 $ a \sin \alpha $ , $ a \cos \alpha $ ,则 $ b=a \sin \alpha -a \cos \alpha $ ,

所以 $ \dfrac{b}{a}= \sin \alpha - \cos \alpha =\dfrac{2\sqrt{5}}{5}-\dfrac{\sqrt{5}}{5}=\dfrac{\sqrt{5}}{5} $ .故选 $ \mathrm{A} $ .

对于 $ \mathrm{A} $ , $ \because | \sin \theta |=- \sin \theta $ , $ \sin \theta \cos \theta =\dfrac{3}{10} $ , $ \therefore \sin \theta < 0 $ , $ \cos \theta < 0 $ , $ \therefore \theta $ 为第三象限角, $ \therefore \mathrm{\pi }+2k\mathrm{\pi } < \theta < \dfrac{3\mathrm{\pi }}{2}+2k\mathrm{\pi }(k\in \boldsymbol{Z}) $ .

$ \therefore \dfrac{\mathrm{\pi }}{2}+k\mathrm{\pi } < \dfrac{\theta }{2} < \dfrac{3\mathrm{\pi }}{4}+k\mathrm{\pi }(k\in \boldsymbol{Z}) $ ,

当 $ k $ 为偶数时, $ \dfrac{\theta }{2} $ 为第二象限角;

当 $ k $ 为奇数时, $ \dfrac{\theta }{2} $ 为第四象限角, $ \therefore \dfrac{\theta }{2} $ 可能为第二或第四象限角,故 $ \mathrm{A} $ 错误.

对于 $ \mathrm{B} $ , $ ( \sin \theta + \cos \theta )^{2}=1+2 \sin \theta \cos \theta =\dfrac{8}{5} $ , $ \because \sin \theta < 0 $ , $ \cos \theta < 0 $ , $ \therefore \sin \theta + \cos \theta < 0 $ , $ \therefore \sin \theta + \cos \theta =-\dfrac{2\sqrt{10}}{5} $ ,故 $ \mathrm{B} $ 正确.

对于 $ \mathrm{C} $ , $ ( \sin \theta - \cos \theta )^{2}=1-2 \sin \theta \cos \theta =\dfrac{2}{5} $ , $ \because \sin \theta < 0 $ , $ \cos \theta < 0 $ , $ \therefore \sin \theta - \cos \theta $ 可能为正,也可能为负, $ \therefore \sin \theta - \cos \theta =±\dfrac{\sqrt{10}}{5} $ ,故 $ \mathrm{C} $ 错误.

对于 $ \mathrm{D} $ ,当 $ \sin \theta - \cos \theta =\dfrac{\sqrt{10}}{5} $ , $ \sin \theta + \cos \theta =-\dfrac{2\sqrt{10}}{5} $ 时, $ \sin \theta =-\dfrac{\sqrt{10}}{10} $ , $ \cos \theta =-\dfrac{3\sqrt{10}}{10} $ ,故 $ \tan \theta =\dfrac{1}{3} $ ;当 $ \sin \theta - \cos \theta =-\dfrac{\sqrt{10}}{5} $ , $ \sin \theta + \cos \theta =-\dfrac{2\sqrt{10}}{5} $ 时, $ \sin \theta =-\dfrac{3\sqrt{10}}{10} $ , $ \cos \theta =-\dfrac{\sqrt{10}}{10} $ ,故 $ \tan \theta =3 $ ,故 $ \tan \theta =\dfrac{1}{3} $ 或3,故 $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{B}\mathrm{D} $ .

$ \because \sin \alpha =\dfrac{2m-5}{m+1} $ , $ \cos \alpha =-\dfrac{m}{m+1} $ , $ \therefore $ 由 $ { \sin }^{2}\alpha +{ \cos }^{2}\alpha =1 $ ,可得 $ {\left(\dfrac{2m-5}{m+1}\right) ^ {2}}+{\left(-\dfrac{m}{m+1}\right) ^ {2}}=1 $ ,解得 $ m=4 $ 或 $ m=\dfrac{3}{2} $ .

又 $ \because \alpha $ 为第三象限角, $ \therefore \sin \alpha < 0 $ , $ \cos \alpha < 0 $ ,

把 $ m $ 的值代入检验得 $ m=\dfrac{3}{2} $ ,

$ \therefore \sin \alpha =-\dfrac{4}{5} $ , $ \cos \alpha =-\dfrac{3}{5} $ ,可得 $ \tan \alpha =\dfrac{ \sin \alpha }{ \cos \alpha }=\dfrac{4}{3} $ .

设 $ {x}^{2}-4 \cos \theta \cdot x+2 < 0 $ 的解集为 $ (m,n) $ , $ a{x}^{2}-4\sqrt{3} \sin \theta \cdot x+1 < 0 $ 的解集为 $ (\dfrac{1}{n},\dfrac{1}{m}) $ ,

则 $ \begin{cases}(4 \cos \theta )^{2}-8 > 0,\\ (4\sqrt{3} \sin \theta )^{2}-4a > 0,\\ m+n=4 \cos \theta ,\\ mn=2,\\ \dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{m}=\dfrac{4\sqrt{3} \sin \theta }{a},\\ \dfrac{1}{nm}=\dfrac{1}{a},\end{cases} $ 所以 $ a=2 $ ,

所以 $ \dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{m}=2\sqrt{3} \sin \theta =\dfrac{4 \cos \theta }{2}=\dfrac{m+n}{mn} $ ,

所以 $ \sqrt{3} \sin \theta = \cos \theta $ ,所以 $ \tan \theta =\dfrac{\sqrt{3}}{3} $ ,所以 $ \theta =k\mathrm{\pi }+\dfrac{\mathrm{\pi }}{6} $ , $ k\in \boldsymbol{Z} $ .