5.3 诱导公式

对于 $ \mathrm{A} $ ， $ \sin 1{000}^{\circ }= \sin (2×{360}^{\circ }+{280}^{\circ })= \sin {280}^{\circ } $ ，因为 $ {270}^{\circ } < {280}^{\circ } < {360}^{\circ } $ ,所以 $ {280}^{\circ } $ 为第四象限角，所以 $ \sin 1{000}^{\circ }= \sin {280}^{\circ } < 0 $ ，故 $ \mathrm{A} $ 错误；

对于 $ \mathrm{B} $ ， $ \tan (-2{100}^{\circ })=- \tan 2{100}^{\circ }=- \tan (11×{180}^{\circ }+{120}^{\circ })=- \tan {120}^{\circ } $ ，因为 $ {90}^{\circ } < {120}^{\circ } < {180}^{\circ } $ ，所以 $ {120}^{\circ } $ 为第二象限角，所以 $ \tan (-2{100}^{\circ })=- \tan {120}^{\circ } > 0 $ ，故 $ \mathrm{B} $ 正确；

对于 $ \mathrm{C} $ ， $ \sin (-7)=- \sin 7 $ ，因为 $ 2\mathrm{\pi } < 7 < \dfrac{5\mathrm{\pi }}{2} $ ，所以7为第一象限角，所以 $ \sin (-7)=- \sin 7 < 0 $ ，故 $ \mathrm{C} $ 错误；

对于 $ \mathrm{D} $ ， $ \dfrac{ \sin \dfrac{7\mathrm{\pi }}{10} \cos \mathrm{\pi }}{ \tan \dfrac{17\mathrm{\pi }}{9}}=\dfrac{- \sin \dfrac{7\mathrm{\pi }}{10}}{ \tan (2\mathrm{\pi }-\dfrac{\mathrm{\pi }}{9})}=\dfrac{- \sin (\mathrm{\pi }-\dfrac{3\mathrm{\pi }}{10})}{- \tan \dfrac{\mathrm{\pi }}{9}}=\dfrac{ \sin \dfrac{3\mathrm{\pi }}{10}}{ \tan \dfrac{\mathrm{\pi }}{9}} $ ，

因为 $ 0 < \dfrac{3\mathrm{\pi }}{10} < \dfrac{\mathrm{\pi }}{2} $ ， $ 0 < \dfrac{\mathrm{\pi }}{9} < \dfrac{\mathrm{\pi }}{2} $ ，所以 $ \dfrac{3\mathrm{\pi }}{10} $ 为第一象限角， $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{9} $ 为第一象限角，所以 $ \sin \dfrac{3\mathrm{\pi }}{10} > 0 $ , $ \tan \dfrac{\mathrm{\pi }}{9} > 0 $ ，

故 $ \dfrac{ \sin \dfrac{7\mathrm{\pi }}{10} \cos \mathrm{\pi }}{ \tan \dfrac{17\mathrm{\pi }}{9}}=\dfrac{ \sin \dfrac{3\mathrm{\pi }}{10}}{ \tan \dfrac{\mathrm{\pi }}{9}} > 0 $ ，故 $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{B}\mathrm{D} $ .

$ \sin (3\mathrm{\pi }-x)= \sin (\mathrm{\pi }-x)= \sin \text{ }x $ ， $ \sin \dfrac{\mathrm{\pi }-x}{2}= \sin (\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}-\dfrac{x}{2})= \cos \dfrac{x}{2} $ ，

$ \cos (\dfrac{5\mathrm{\pi }}{2}+3x)= \cos (\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}+3x)=- \sin \text{ }3x $ ，

$ \text{ } \cos (\dfrac{3\mathrm{\pi }}{2}+2x)= \sin \text{ }2x $ ，故选 $ \mathrm{A}\mathrm{B} $ .

$ \mathrm{A}. \cos (A+B)= \cos (\mathrm{\pi }-C)=- \cos C $ ，故 $ \mathrm{A} $ 错误.

$ \mathrm{B}. \cos \dfrac{A+B}{2}= \cos \dfrac{\mathrm{\pi }-C}{2}= \cos (\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}-\dfrac{C}{2})= \sin \dfrac{C}{2} $ ，故 $ \mathrm{B} $ 错误.

$ \mathrm{C}. \sin (A+B)= \sin (\mathrm{\pi }-C)= \sin C $ ，故 $ \mathrm{C} $ 正确.

$ \mathrm{D}. \sin \dfrac{A+B}{2}= \sin \dfrac{\mathrm{\pi }-C}{2}= \sin (\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}-\dfrac{C}{2})= \cos \dfrac{C}{2} $ ，故 $ \mathrm{D} $ 错误.故选 $ \mathrm{C} $ .

$ \tan {570}^{\circ }+ \sin {300}^{\circ } $

$ = \tan ({360}^{\circ }+{210}^{\circ })+ \sin ({360}^{\circ }-{60}^{\circ }) $

$ = \tan ({180}^{\circ }+{30}^{\circ })- \sin {60}^{\circ } $

$ = \tan {30}^{\circ }- \sin {60}^{\circ }=\dfrac{\sqrt{3}}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=-\dfrac{\sqrt{3}}{6} $ .

故选 $ \mathrm{C} $ .

$ \cos {330}^{\circ }+ \sin (-{30}^{\circ })+ \tan \dfrac{8}{3}\mathrm{\pi }+ \cos {90}^{\circ }= \cos ({360}^{\circ }-{30}^{\circ })- \sin {30}^{\circ }+ \tan (3\mathrm{\pi }-\dfrac{\mathrm{\pi }}{3})+0= \cos {30}^{\circ }-\dfrac{1}{2}- \tan \dfrac{\mathrm{\pi }}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}-\sqrt{3}=-\dfrac{\sqrt{3}+1}{2} $ .

原式 $ = \sin ({90}^{\circ }+{5}^{\circ })+ \cos ({180}^{\circ }+{5}^{\circ })+ \tan ({180}^{\circ }+{60}^{\circ })= \cos {5}^{\circ }+(- \cos {5}^{\circ })+ \tan {60}^{\circ }= \tan {60}^{\circ }=\sqrt{3} $ .

因为角 $ \alpha $ 的终边上有一点 $ P(1,3) $ ,

所以 $ \sin \alpha =\dfrac{3}{\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}}=\dfrac{3}{\sqrt{10}}=\dfrac{3}{10}\sqrt{10} $ , $ \cos \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt{10}}{10} $ ,

所以 $ \cos (\dfrac{3\mathrm{\pi }}{2}-\alpha )+2 \cos (-\mathrm{\pi }+\alpha )=- \sin \alpha -2 \cos \alpha =-\dfrac{3}{10}\sqrt{10}-\dfrac{2}{10}\sqrt{10}=-\dfrac{\sqrt{10}}{2} $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

因为 $ {0}^{\circ } < \alpha < {90}^{\circ } $ ， $ \cos ({37}^{\circ }+\alpha )=\dfrac{1}{3} > 0 $ ，故 $ {37}^{\circ } < {37}^{\circ }+\alpha < {90}^{\circ } $ ，

令 $ {37}^{\circ }+\alpha =m $ ，则 $ m $ 为锐角，

因为 $ \cos m=\dfrac{1}{3} $ ，所以 $ \sin m=\dfrac{2\sqrt{2}}{3} $ ，且 $ \alpha =m-{37}^{\circ } $ ，

所以 $ \tan ({37}^{\circ }+\alpha ){ \sin }^{2}({53}^{\circ }-\alpha )- \cos ({143}^{\circ }-\alpha ) $

$ = \tan m{ \sin }^{2}({90}^{\circ }-m)- \cos ({180}^{\circ }-m) $

$ = \tan m{ \cos }^{2}m+ \cos m= \sin m \cos m+ \cos m $

$ =\dfrac{3+2\sqrt{2}}{9} $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

令 $ t=\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}-\theta $ ,则 $ \theta =\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}-t $ , $ \cos t=\dfrac{4}{5} $ , $ \sin (\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}-\theta )= \sin t=±\sqrt{1-{ \cos }^{2}t}=±\dfrac{3}{5} $ .

$ \therefore \sin (\dfrac{2\mathrm{\pi }}{3}+\theta )= \sin (\dfrac{2\mathrm{\pi }}{3}+\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}-t)= \sin (\mathrm{\pi }-t)= \sin t=±\dfrac{3}{5} $ .

因为 $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{2} < 2 < \dfrac{3\mathrm{\pi }}{4} $ ，所以 $ \sin 2 > 0 $ , $ \cos 2 < 0 $ ，则 $ \sin 2- \cos 2 > 0 $ ，

所以 $ \sqrt{1+2 \sin (\mathrm{\pi }-2) \cos (\mathrm{\pi }+2)} $

$ =\sqrt{1+2 \sin 2\cdot (- \cos 2)} $

$ =\sqrt{{ \sin }^{2}2-2 \sin 2 \cos 2+{ \cos }^{2}2} $

$ =| \sin 2- \cos 2|= \sin 2- \cos 2 $ ，故选 $ \mathrm{B} $ .

对于 $ \mathrm{A} $ , $ \dfrac{ \cos x}{1+ \sin x}=\dfrac{ \cos x(1- \sin x)}{(1+ \sin x)(1- \sin x)}=\dfrac{ \cos x(1- \sin x)}{1-{ \sin }^{2}x}=\dfrac{ \cos x(1- \sin x)}{{ \cos }^{2}x}=\dfrac{1- \sin x}{ \cos x} $ ,故 $ \mathrm{A} $ 正确；

对于 $ \mathrm{B} $ , $ \dfrac{1+{ \sin }^{2}x}{ \sin x \cos x}=\dfrac{({ \sin }^{2}x+{ \cos }^{2}x)+{ \sin }^{2}x}{ \sin x \cos x}=\dfrac{{ \cos }^{2}x+2{ \sin }^{2}x}{ \sin x \cos x}=\dfrac{1+2{ \tan }^{2}x}{ \tan x} $ ,故 $ \mathrm{B} $ 正确；

对于 $ \mathrm{C} $ , $ \sin ({53}^{\circ }-x)= \sin [{90}^{\circ }-({37}^{\circ }+x)]= \cos ({37}^{\circ }+x) $ ,故 $ \mathrm{C} $ 正确；

对于 $ \mathrm{D} $ , $ \cos ({480}^{\circ }+x)= \cos ({120}^{\circ }+x)= \cos [{180}^{\circ }-({60}^{\circ }-x)]=- \cos ({60}^{\circ }-x) $ ,故 $ \mathrm{D} $ 错误.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C} $ .

由题意 $ \dfrac{ \cos (-{585}^{\circ })}{ \tan {585}^{\circ }+ \sin {570}^{\circ }} $

$ =\dfrac{ \cos ({135}^{\circ }-{360}^{\circ }×2)}{ \tan ({45}^{\circ }+{180}^{\circ }×3)+ \sin ({210}^{\circ }+{360}^{\circ })} $

$ =\dfrac{ \cos {135}^{\circ }}{ \tan {45}^{\circ }+ \sin {210}^{\circ }} $

$ =\dfrac{ \cos ({45}^{\circ }+{90}^{\circ })}{ \tan {45}^{\circ }+ \sin ({30}^{\circ }+{180}^{\circ })} $

$ =\dfrac{- \sin {45}^{\circ }}{ \tan {45}^{\circ }- \sin {30}^{\circ }} $

$ =\dfrac{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{1-\dfrac{1}{2}}=-\sqrt{2} $ ，故选 $ \mathrm{D} $ .

角 $ \alpha $ 的终边过点 $ (3,1) $ ，则点 $ (3,1) $ 到原点的距离 $ r=\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{10} $ ，

所以 $ \cos \alpha =\dfrac{3}{r}=\dfrac{3}{\sqrt{10}}=\dfrac{3\sqrt{10}}{10} $ ，

所以 $ \sin (\alpha +\dfrac{\mathrm{\pi }}{2})= \cos \alpha =\dfrac{3\sqrt{10}}{10} $ .故选 $ \mathrm{A} $ .

$ \sin (\alpha +\dfrac{\mathrm{\pi }}{6})= \sin (\alpha -\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}+\dfrac{\mathrm{\pi }}{2})= \cos (\alpha -\dfrac{\mathrm{\pi }}{3})=\dfrac{2}{5}\in (0,\dfrac{1}{2}) $ ，

而 $ \alpha \in (0,\mathrm{\pi }) $ ，则 $ \alpha -\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}\in (-\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ , $ \dfrac{2\mathrm{\pi }}{3}) $ ，

所以 $ \alpha -\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}\in (\dfrac{\mathrm{\pi }}{3},\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}) $ ，

所以 $ \sin (\alpha -\dfrac{\mathrm{\pi }}{3})=\dfrac{\sqrt{21}}{5} $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

因为 $ \sin \dfrac{A+B-C}{2}= \sin \dfrac{A-B+C}{2} $ ,

$ A+B+C=\mathrm{\pi } $ ,

所以 $ \sin \dfrac{\mathrm{\pi }-2C}{2}= \sin \dfrac{\mathrm{\pi }-2B}{2} $ ,

可得 $ \cos C= \cos B $ .

又因为 $ B $ , $ C\in (0,\mathrm{\pi }) $ ,

所以 $ B=C $ ,则 $ AC=AB $ ,所以 $ △ABC $ 一定是等腰三角形.故选 $ \mathrm{C} $ .

因为 $ f(x)=\begin{cases} \sin \mathrm{\pi }x,x < 0,\\ f(x-1)-1,x > 0,\end{cases} $

所以 $ f(-\dfrac{11}{6})= \sin (-\dfrac{11\mathrm{\pi }}{6}) $

$ = \sin (-\dfrac{11\mathrm{\pi }}{6}+2\mathrm{\pi })= \sin \dfrac{\mathrm{\pi }}{6}=\dfrac{1}{2} $ ,

$ f(\dfrac{11}{6})=f(\dfrac{11}{6}-1)-1=f(\dfrac{5}{6})-1 $

$ =f(\dfrac{5}{6}-1)-1-1=f(-\dfrac{1}{6})-2 $

$ = \sin (-\dfrac{\mathrm{\pi }}{6})-2=- \sin \dfrac{\mathrm{\pi }}{6}-2 $

$ =-\dfrac{1}{2}-2 $ ,

故 $ f(-\dfrac{11}{6})+f(\dfrac{11}{6})=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}-2=-2 $ .

故选 $ \mathrm{C} $ .

由于 $ \cos \dfrac{11\mathrm{\pi }}{6}= \cos (2\mathrm{\pi }-\dfrac{\mathrm{\pi }}{6})= \cos \dfrac{\mathrm{\pi }}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} $ ,故 $ a=\dfrac{\sqrt{3}}{2} $ .

而 $ \dfrac{\sqrt{3}}{2} > \dfrac{1}{2}= \sin \dfrac{\mathrm{\pi }}{6}=b $ ,故 $ a > b $ .

又 $ c= \tan \dfrac{100\mathrm{\pi }}{3}= \tan (33\mathrm{\pi }+\dfrac{\mathrm{\pi }}{3})= \tan \dfrac{\mathrm{\pi }}{3}=\sqrt{3} $ ,所以 $ c > a > b $ ,故选 $ \mathrm{B} $ .

易知

$ \dfrac{ \sin (\mathrm{\pi }+\alpha ) \cos (3\mathrm{\pi }+\alpha ) \cos (\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}+\alpha )}{ \sin (\dfrac{5\mathrm{\pi }}{2}-\alpha ) \sin (-\mathrm{\pi }-\alpha )}=\dfrac{- \sin \alpha \cos (2\mathrm{\pi }+\mathrm{\pi }+\alpha ) \cos (\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}+\alpha )}{ \sin (2\mathrm{\pi }+\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}-\alpha ) \sin (2\mathrm{\pi }-\mathrm{\pi }-\alpha )} $

$ =\dfrac{- \sin \alpha \cos (\mathrm{\pi }+\alpha ) \cos (\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}+\alpha )}{ \sin (\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}-\alpha ) \sin (\mathrm{\pi }-\alpha )} $

$ =\dfrac{- \sin \alpha (- \cos \alpha )(- \sin \alpha )}{ \cos \alpha \sin \alpha }=- \sin \alpha $ .

取 $ n=1 {\rm ,2,3,4} $ 可得 $ f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}=0 $ ,

从而可得 $ f(4k+1)+f(4k+2)+f(4k+3)+f(4k+4)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}=0 $ , $ k\in \boldsymbol{N} $ ,

则 $ f(1)+f(2)+f(3)+\cdots +f(2023) $

$ =505×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(2021)+f(2022)+f(2023) $

$ =f(1)+f(2)+f(3)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} $ .

当 $ n=2k(k\in \boldsymbol{Z}) $ 时,原式 $ =\dfrac{ \sin (2k\mathrm{\pi }+\alpha )}{ \cos (2k\mathrm{\pi }+\alpha )}=\dfrac{ \sin \alpha }{ \cos \alpha }= \tan \alpha $ .

当 $ n=2k+1(k\in \boldsymbol{Z}) $ 时,原式 $ =\dfrac{ \sin (2k\mathrm{\pi }+\mathrm{\pi }+\alpha )}{ \cos (2k\mathrm{\pi }+\mathrm{\pi }+\alpha )}=\dfrac{ \sin (\mathrm{\pi }+\alpha )}{ \cos (\mathrm{\pi }+\alpha )}=\dfrac{- \sin \alpha }{- \cos \alpha }= \tan \alpha $ .

综上,原式 $ = \tan \alpha $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

当k为偶数时,设k=2n,n∈Z,

则原式 $ {\rm =} \dfrac{ \sin [(2n+1)\mathrm{\pi }+\theta ] \cos [(2n+1)\mathrm{\pi }-\theta ]}{ \sin (2n\mathrm{\pi }-\theta ) \cos (2n\mathrm{\pi }+\theta )} $

$ {\rm =} \dfrac{ \sin (\mathrm{\pi }+\theta )· \cos (\mathrm{\pi }-\theta )}{- \sin \theta · \cos \theta } $

$ {\rm =} \dfrac{- \sin \theta ·(- \cos \theta )}{- \sin \theta · \cos \theta } $

=−1.

当k为奇数时,设k=2n+1,n∈Z,

则原式 $ {\rm =} \dfrac{ \sin [(2n+2)\mathrm{\pi }+\theta ] \cos [(2n+2)\mathrm{\pi }-\theta ]}{ \sin [(2n+1)\mathrm{\pi }-\theta ] \cos [(2n+1)\mathrm{\pi }+\theta ]} $

$ {\rm =} \dfrac{ \sin [2(n+1)\mathrm{\pi }+\theta ] \cos [2(n+1)\mathrm{\pi }-\theta ]}{ \sin (\mathrm{\pi }-\theta ) \cos (\mathrm{\pi }+\theta )} $

$ {\rm =} \dfrac{ \sin \theta · \cos \theta }{ \sin \theta ·(- \cos \theta )} $

=−1.

综上,原式的值为−1.故选B.

$ \because \cos (\dfrac{5\mathrm{\pi }}{6}+\theta )= \cos [\mathrm{\pi }-(\dfrac{\mathrm{\pi }}{6}-\theta )]=- \cos (\dfrac{\mathrm{\pi }}{6}-\theta )=-a $ ，

$ \sin (\dfrac{2\mathrm{\pi }}{3}-\theta )= \sin [\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}+(\dfrac{\mathrm{\pi }}{6}-\theta )] $

$ = \cos (\dfrac{\mathrm{\pi }}{6}-\theta )=a $ ，

$ \therefore \cos (\dfrac{5\mathrm{\pi }}{6}+\theta )+ \sin (\dfrac{2\mathrm{\pi }}{3}-\theta )=0 $ .

因为 $ {\rm cos(508\mathit{°}-\mathit{α})=cos(360\mathit{°}+148\mathit{°}-\mathit{α})=cos(148\mathit{°}-\mathit{α})=} \dfrac{12}{13} $ ,所以 $ {\rm cos(212\mathit{°}+\mathit{α})=cos(360\mathit{°}+\mathit{α}-148\mathit{°})=cos(\mathit{α}-148\mathit{°})=cos(148\mathit{°}-\mathit{α})=} \dfrac{12}{13} {\rm \mathit{.}} $