课时1 正弦函数、余弦函数的性质（1）

由题意，得 $ 2 \sin \dfrac{\mathrm{\pi }}{2}x-1\geqslant 0 $ ,

$ \dfrac{\mathrm{\pi }}{2}x\in [\dfrac{\mathrm{\pi }}{6}+2k\mathrm{\pi },\dfrac{5\mathrm{\pi }}{6}+2k\mathrm{\pi }](k\in \boldsymbol{Z}) $ ，

则 $ x\in [\dfrac{1}{3}+4k $ , $ \dfrac{5}{3}+4k ] (k\in \boldsymbol{Z} ) $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

因为函数 $ f(x) $ 的定义域为 $ (2\mathrm{\pi },4\mathrm{\pi }) $ ,所以 $ \begin{cases} \cos x > 0,\\ 2\mathrm{\pi } < 2x < 4\mathrm{\pi },\end{cases} $

即 $ \begin{cases}-\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}+2k\mathrm{\pi } < x < \dfrac{\mathrm{\pi }}{2}+2k\mathrm{\pi },k\in \boldsymbol{Z},\\ \mathrm{\pi } < x < 2\mathrm{\pi },\end{cases} $

解得 $ \dfrac{3\mathrm{\pi }}{2} < x < 2\mathrm{\pi } $ .

函数 $ f(x)= \sin (2x-\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}) $ 的最小正周期 $ T=\dfrac{2\mathrm{\pi }}{2}=\mathrm{\pi } $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

$ f(x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{2})=| \sin 2(x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{2})|=| \sin (2x+\mathrm{\pi })|=| \sin 2x| $ ,即 $ f(x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{2})=f(x) $ ,即函数的最小正周期为 $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{2} $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

$ f(\dfrac{5\mathrm{\pi }}{3})=f(\mathrm{\pi }+\dfrac{2\mathrm{\pi }}{3})=f(\dfrac{2\mathrm{\pi }}{3})=f(\mathrm{\pi }-\dfrac{\mathrm{\pi }}{3})=f(-\dfrac{\mathrm{\pi }}{3})=-f(\dfrac{\mathrm{\pi }}{3})=- \sin \dfrac{\mathrm{\pi }}{3}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2} $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

令 $ f(x)= \cos \omega x-1=0(\omega > 0) $ ，可得 $ \cos \omega x=1 $ ，要使函数 $ f(x) $ 在区间 $ [0,2\mathrm{\pi }] $ 内恰有2 025个零点，即 $ \cos \omega x=1 $ 有2 025个根，因为 $ x\in [0,2\mathrm{\pi }] $ ， $ \omega > 0 $ ，所以 $ \omega x\in [0,2\mathrm{\pi }\omega ] $ ，则 $ 4048\mathrm{\pi }\leqslant 2\mathrm{\pi }\omega < 4050\mathrm{\pi } $ ，可得 $ 2024\leqslant \omega < 2025 $ .

因为函数 $ f(x)=3 \cos (\omega x+\theta ) $ 对任意的 $ x $ 都有 $ f(\dfrac{2\mathrm{\pi }}{5}+x)=f(-x) $ ，

所以函数 $ f(x) $ 的图象关于直线 $ x=\dfrac{\mathrm{\pi }}{5} $ 对称，可得 $ f(\dfrac{\mathrm{\pi }}{5}) $ 是函数的最值，所以 $ f(\dfrac{\mathrm{\pi }}{5})=±3 $ .故选 $ \mathrm{A} $ .

由函数 $ f(x)= \sin (x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}+\varphi ) $ 为 $ \boldsymbol{R} $ 上的奇函数，得 $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{2}+\varphi =k\mathrm{\pi } $ , $ k\in \boldsymbol{Z} $ ，解得 $ \varphi =-\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}+k\mathrm{\pi } $ , $ k\in \boldsymbol{Z} $ ，当 $ k=1 $ 时， $ \varphi =\dfrac{\mathrm{\pi }}{2} $ ，所给其他 $ \varphi $ 均不存在整数 $ k $ 使其成立.故选 $ \mathrm{C} $ .

设 $ f(x)=A \sin (\omega x+\varphi )(A > 0,\omega > 0,0 < \varphi < \mathrm{\pi }) $ 的最小正周期为 $ T $ ,

由题中图象可知 $ \dfrac{7\mathrm{\pi }}{12}-\dfrac{\mathrm{\pi }}{12}=\dfrac{1}{2}T $ ,解得 $ T=\mathrm{\pi } $ ,故 $ \mathrm{A} $ 正确.

因为 $ \omega > 0 $ ,所以 $ \omega =\dfrac{2\mathrm{\pi }}{T} $ ,解得 $ \omega =2 $ .由题图可知 $ A=2 $ ,故 $ f(x)=2 \sin (2x+\varphi ) $ ．

将点 $ (\dfrac{7\mathrm{\pi }}{12},-2) $ 的坐标代入解析式化简得 $ \sin (\dfrac{\mathrm{\pi }}{6}+\varphi )=1 $ ,因为 $ 0 < \varphi < \mathrm{\pi } $ ,所以 $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{6}+\varphi =\dfrac{\mathrm{\pi }}{2} $ ,解得 $ \varphi =\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ ,故 $ f(x)=2 \sin (2x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}) $ ．

当 $ x=\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ 时, $ 2x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}=\mathrm{\pi } $ ,则点 $ (\dfrac{\mathrm{\pi }}{3},0) $ 是函数 $ f(x) $ 图象的对称中心,则直线 $ x=\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ 不是 $ f(x) $ 图象的对称轴,故 $ \mathrm{B} $ 错误.

当 $ x=\dfrac{5\mathrm{\pi }}{6} $ 时, $ 2x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}=2\mathrm{\pi } $ ,则点 $ (\dfrac{5\mathrm{\pi }}{6},0) $ 是函数 $ f(x) $ 图象的对称中心,故 $ \mathrm{C} $ 正确.

当 $ x=-\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ 时, $ 2x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}=-\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ ，则点 $ (-\dfrac{\mathrm{\pi }}{3},0) $ 不是函数 $ f(x) $ 图象的对称中心，故 $ \mathrm{D} $ 错误.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{C} $ ．

由题意,知 $ \sin x\ne 1 $ ,即 $ f(x) $ 的定义域为 $ ｛x|x\ne 2k\mathrm{\pi }+\dfrac{\mathrm{\pi }}{2},k\in \boldsymbol{Z}｝ $ ,不关于原点对称,故 $ f(x) $ 是非奇非偶函数.