第5.4节综合训练

由函数 $ f(x)=\sqrt{1-2 \cos x}+ \ln ( \sin x-\dfrac{\sqrt{2}}{2}) $ ,可知 $ \begin{cases}1-2 \cos x\geqslant 0,\\ \sin x-\dfrac{\sqrt{2}}{2} > 0,\end{cases} $ 其中 $ x\in [0,2\mathrm{\pi }] $ ,即 $ \begin{cases} \cos x\leqslant \dfrac{1}{2},\\ \sin x > \dfrac{\sqrt{2}}{2},\end{cases} $ 其中 $ x\in [0,2\mathrm{\pi }] $ ,解得 $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{3}\leqslant x < \dfrac{3\mathrm{\pi }}{4} $ ,即函数 $ f(x) $ 的定义域为 $ [\dfrac{\mathrm{\pi }}{3},\dfrac{3\mathrm{\pi }}{4}) $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

由题设 $ t=\omega x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}\in [\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ , $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{6}\omega +\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} ] $ ，则 $ y= \sin t $ 在 $ [\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ , $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{6}\omega +\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} ] $ 上单调递增，所以 $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{6}\omega +\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}\leqslant \dfrac{\mathrm{\pi }}{2} $ ，解得 $ \omega \leqslant 1 $ ，又 $ \omega > 0 $ ，所以 $ 0 < \omega \leqslant 1 $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

$ a= \cos \dfrac{9\mathrm{\pi }}{5}= \cos (\dfrac{9\mathrm{\pi }}{5}-2\mathrm{\pi })= \cos (-\dfrac{\mathrm{\pi }}{5})= \cos \dfrac{\mathrm{\pi }}{5}= \sin \dfrac{3\mathrm{\pi }}{10} $ ,

$ b= \sin \dfrac{20\mathrm{\pi }}{7}= \sin (2\mathrm{\pi }+\dfrac{6\mathrm{\pi }}{7})= \sin \dfrac{6\mathrm{\pi }}{7}= \sin \dfrac{\mathrm{\pi }}{7} $ ,因为 $ y= \sin x $ 在 $ (0,\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}) $ 上单调递

增,所以 $ \sin \dfrac{\mathrm{\pi }}{7} < \sin \dfrac{3\mathrm{\pi }}{10} $ ,又 $ c= \tan \dfrac{19\mathrm{\pi }}{3}= \tan (6\mathrm{\pi }+\dfrac{\mathrm{\pi }}{3})= \tan \dfrac{\mathrm{\pi }}{3}=\sqrt{3} $ ,所以 $ b < a < 1 < c $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

函数 $ f(x)=\dfrac{ \sin x}{{\mathrm{e}}^{x}+{\mathrm{e}}^{-x}} \cos x $ 的定义域为 $ \boldsymbol{R} $ ，由 $ f(-x)=\dfrac{ \sin (-x) \cos (-x)}{{\mathrm{e}}^{-x}+{\mathrm{e}}^{x}}=\dfrac{- \sin x \cos x}{{\mathrm{e}}^{x}+{\mathrm{e}}^{-x}}=-f(x) $ ，可得函数 $ f(x) $ 是 $ \boldsymbol{R} $ 上的奇函数，图象关于原点对称，排除 $ \mathrm{A} $ ， $ \mathrm{C} $ ；

当 $ x\in [0,\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}] $ 时， $ f(x)\geqslant 0 $ ，且当 $ x=0 $ 或 $ x=\dfrac{\mathrm{\pi }}{2} $ 时取等号，排除 $ \mathrm{B} $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

因为 $ \omega > 0 $ ，所以 $ \omega =\dfrac{2\mathrm{\pi }}{T}=\dfrac{2\mathrm{\pi }}{\mathrm{\pi }}=2 $ ，故 $ \cos (2×\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}+\varphi )=-1 $ ，所以 $ \dfrac{2\mathrm{\pi }}{3}+\varphi =\mathrm{\pi }+2k\mathrm{\pi } $   , $ k\in \boldsymbol{Z} $ ，解得 $ \varphi =\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}+2k\mathrm{\pi } $   , $ k\in \boldsymbol{Z} $ .

因为 $ \left|\varphi \right| < \dfrac{\mathrm{\pi }}{2} $ ，所以只有当 $ k=0 $ 时， $ \varphi =\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ 满足要求，故 $ f(x)= \cos (2x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}) $ .

因为 $ x\in [a,0] $ ，所以 $ 2x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}\in [2a+\dfrac{\mathrm{\pi }}{3},\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}] $ ，故 $ 2a+\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}\in [0,\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}) $ ，解得 $ a\in [-\dfrac{\mathrm{\pi }}{6},0) $ ，故 $ a $ 的最小值为 $ -\dfrac{\mathrm{\pi }}{6} $ .故选 $ \mathrm{A} $ .

当 $ x\in (\dfrac{\mathrm{\pi }}{6},\mathrm{\pi }) $ 时， $ f(x)= \sin x $ 的图象如图所示，

则 $ f(x)= \sin x\in (0,1] $ ，令 $ f(x)=t $ ，则方程为 $ t-4{t}^{2}=a $ ， $ t\in (0,1] $ .

又 $ f(\dfrac{\mathrm{\pi }}{6})= \sin \dfrac{\mathrm{\pi }}{6}=\dfrac{1}{2} $ ，当 $ t\in (\dfrac{1}{2},1) $ 时，若方程 $ f(x)-4[f(x)]^{2}=a $ 在 $ (\dfrac{\mathrm{\pi }}{6},\mathrm{\pi }) $ 内有两个不同的解，

只需 $ t-4{t}^{2}=a $ 只有一解，即直线 $ y=a $ 与函数 $ y=-4{t}^{2}+t $ ， $ t\in (\dfrac{1}{2},1) $ 的图象只有一个交点，

又函数 $ y=-4{t}^{2}+t $ 在 $ (\dfrac{1}{2},1) $ 上单调递减，所以 $ -4×{1}^{2}+1 < a < -4×{\left(\dfrac{1}{2}\right) ^ {2}}+\dfrac{1}{2} $ ，即 $ a\in (-3,-\dfrac{1}{2}) $ ；

当 $ t=1 $ 时， $ a=-4+1=-3 $ ，方程 $ 4[f(x)]^{2}-f(x)-3=0 $ 的解为 $ f(x)=1 $ 和 $ f(x)=-\dfrac{3}{4} $ ，

当 $ f(x)=1 $ 时， $ x=\dfrac{\mathrm{\pi }}{2} $ ，当 $ f(x)=-\dfrac{3}{4} $ 时，无解，即方程 $ f(x)-4[f(x)]^{2}=a $ 在 $ (\dfrac{\mathrm{\pi }}{6},\mathrm{\pi }) $ 内只有一解，不合题意；

当 $ t=\dfrac{1}{2} $ 时， $ a=-1+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{2} $ ，方程 $ 4[f(x)]^{2}-f(x)-\dfrac{1}{2}=0 $ 的解为 $ f(x)=\dfrac{1}{2} $ 和 $ f(x)=-\dfrac{1}{4} $ ，

当 $ f(x)=\dfrac{1}{2} $ 时， $ x=\dfrac{5\mathrm{\pi }}{6} $ ，当 $ f(x)=-\dfrac{1}{4} $ 时，无解，即方程 $ f(x)-4[f(x)]^{2}=a $ 在 $ (\dfrac{\mathrm{\pi }}{6},\mathrm{\pi }) $ 内只有一解，不合题意；

当 $ t\in (0,\dfrac{1}{2}) $ 时，若方程 $ 4[f(x)]^{2}-f(x)+a=0 $ 在 $ (\dfrac{\mathrm{\pi }}{6},\mathrm{\pi }) $ 内有两个不同的解，

只需 $ 4{t}^{2}-t+a=0 $ 有两个不同的解，

即直线 $ y=a $ 与函数 $ y=-4{t}^{2}+t $ ， $ t\in (0,\dfrac{1}{2}) $ 的图象有两个交点，

又函数 $ y=-4{t}^{2}+t $ 在 $ (0,\dfrac{1}{8}) $ 上单调递增，在 $ (\dfrac{1}{8},\dfrac{1}{2}) $ 上单调递减，

所以 $ -4×{0}^{2}+0 < a < -4×{\left(\dfrac{1}{8}\right) ^ {2}}+\dfrac{1}{8} $ ，所以 $ a\in (0,\dfrac{1}{16}) $ .

综上所述，实数 $ a $ 的取值范围为 $ (-3,-\dfrac{1}{2})\cup (0,\dfrac{1}{16}) $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

自变量 $ x $ 的取值应满足 $ -x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}\ne k\mathrm{\pi }+\dfrac{\mathrm{\pi }}{2} $ , $ k\in \boldsymbol{Z} $ ，解得 $ x\ne -k\mathrm{\pi }-\dfrac{\mathrm{\pi }}{6} $ , $ k\in \boldsymbol{Z} $ ，所以 $ f(x) $ 的定义域是 $ ｛x|x\ne k\mathrm{\pi }-\dfrac{\mathrm{\pi }}{6} $ ， $ k\in \boldsymbol{Z}｝ $ ，故 $ \mathrm{A} $ 正确；

$ f(x) $ 的最小正周期为 $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{|-1|}=\mathrm{\pi } $ ，故 $ \mathrm{B} $ 错误；

由 $ k\mathrm{\pi }-\dfrac{\mathrm{\pi }}{2} < -x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} < k\mathrm{\pi }+\dfrac{\mathrm{\pi }}{2} $ , $ k\in \boldsymbol{Z} $ ,解得 $ -k\mathrm{\pi }-\dfrac{\mathrm{\pi }}{6} < x < -k\mathrm{\pi }+\dfrac{5\mathrm{\pi }}{6} $ , $ k\in \boldsymbol{Z} $ ，

所以 $ f(x) $ 在区间 $ (k\mathrm{\pi }-\dfrac{\mathrm{\pi }}{6},k\mathrm{\pi }+\dfrac{5\mathrm{\pi }}{6})(k\in \boldsymbol{Z}) $ 上单调递减，故 $ \mathrm{C} $ 正确；

由 $ -x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}=\dfrac{k\mathrm{\pi }}{2} $ , $ k\in \boldsymbol{Z} $ ，解得 $ x=-\dfrac{k\mathrm{\pi }}{2}+\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ , $ k\in \boldsymbol{Z} $ ，所以 $ f(x) $ 图象的对称中心为 $ (\dfrac{k\mathrm{\pi }}{2}+\dfrac{\mathrm{\pi }}{3},0)(k\in \boldsymbol{Z}) $ ，故 $ \mathrm{D} $ 错误.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{C} $ .

对于 $ \mathrm{A} $ ,若 $ f(x) $ 的最小正周期为 $ \mathrm{\pi } $ ,则 $ \dfrac{2\mathrm{\pi }}{\omega }=\mathrm{\pi } $ ,解得 $ \omega =2 $ ,故 $ \mathrm{A} $ 正确；

对于 $ \mathrm{B} $ ,若 $ \omega =1 $ ,则 $ f(x)= \sin (x-\dfrac{\mathrm{\pi }}{6}) $ ,

当 $ x=\dfrac{2\mathrm{\pi }}{3} $ 时, $ f(x)= \sin (\dfrac{2\mathrm{\pi }}{3}-\dfrac{\mathrm{\pi }}{6})=1 $ ,故 $ \mathrm{B} $ 错误；

对于 $ \mathrm{C} $ ,当 $ x\in [0 $ , $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{2} ] $ 时, $ \omega x-\dfrac{\mathrm{\pi }}{6}\in [-\dfrac{\mathrm{\pi }}{6} $ , $ \dfrac{\mathrm{\pi }\omega }{2}-\dfrac{\mathrm{\pi }}{6} ] $ ,

因为 $ f(x) $ 在 $ [0 $ , $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{2} ] $ 上单调递增,所以 $ -\dfrac{\mathrm{\pi }}{6} < \dfrac{\mathrm{\pi }\omega }{2}-\dfrac{\mathrm{\pi }}{6}\leqslant \dfrac{\mathrm{\pi }}{2} $ ,解得 $ 0 < \omega \leqslant \dfrac{4}{3} $ ,故 $ \mathrm{C} $ 错误；

对于 $ \mathrm{D} $ ,当 $ x\in [0,2\mathrm{\pi }] $ 时, $ \omega x-\dfrac{\mathrm{\pi }}{6}\in [-\dfrac{\mathrm{\pi }}{6} $ , $ 2\mathrm{\pi }\omega -\dfrac{\mathrm{\pi }}{6} ] $ ,

若 $ f(x) $ 在 $ [0,2\mathrm{\pi }] $ 上恰有2个零点,

则 $ \mathrm{\pi }\leqslant 2\mathrm{\pi }\omega -\dfrac{\mathrm{\pi }}{6} < 2\mathrm{\pi } $ ,解得 $ \dfrac{7}{12}\leqslant \omega < \dfrac{13}{12} $ ,故 $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{D} $ .

因为 $ y= \sin x $ 和 $ y=\dfrac{\sqrt{2}}{2} $ 图象的相邻交点间的距离是 $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{2} $ 或 $ \dfrac{3\mathrm{\pi }}{2} $ ，

且 $ A({x}_{1},\dfrac{\sqrt{2}}{2}) $ , $ B({x}_{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}) $ 为相邻两交点，

所以 $ |(\omega {x}_{1}+\varphi )-(\omega {x}_{2}+\varphi )|=\dfrac{\mathrm{\pi }}{2} $ 或 $ \dfrac{3\mathrm{\pi }}{2} $ ，

所以 $ \omega |{x}_{1}-{x}_{2}|=\dfrac{\mathrm{\pi }}{2} $ 或 $ \dfrac{3\mathrm{\pi }}{2} $ ，又 $ |{x}_{1}-{x}_{2}|=\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ ，

所以 $ \omega =\dfrac{3}{2} $ 或 $ \omega =\dfrac{9}{2} $ ，又 $ 0 < \omega < 3 $ ，所以 $ \omega =\dfrac{3}{2} $ ， $ \mathrm{A} $ 错误；

因为 $ y=f(x-\dfrac{\mathrm{\pi }}{6})= \sin [\dfrac{3}{2}(x-\dfrac{\mathrm{\pi }}{6})+\varphi ]= \sin (\dfrac{3}{2}x-\dfrac{\mathrm{\pi }}{4}+\varphi ) $ 为奇函数，

所以 $ -\dfrac{\mathrm{\pi }}{4}+\varphi =k\mathrm{\pi } $ ， $ k\in \boldsymbol{Z} $ ，即 $ \varphi =k\mathrm{\pi }+\dfrac{\mathrm{\pi }}{4} $ , $ k\in \boldsymbol{Z} $ ，又 $ |\varphi | < \dfrac{\mathrm{\pi }}{2} $ ，所以 $ \varphi =\dfrac{\mathrm{\pi }}{4} $ ， $ \mathrm{B} $ 正确；

由上可知 $ f(x)= \sin (\dfrac{3}{2}x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{4}) $ ，则 $ f(x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{6})= \sin [\dfrac{3}{2}(x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{6})+\dfrac{\mathrm{\pi }}{4}]= \sin (\dfrac{3}{2}x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{2})= \cos \dfrac{3}{2}x $ 为偶函数， $ \mathrm{C} $ 正确；

令 $ -\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}+2k\mathrm{\pi } < \dfrac{3}{2}x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{4} < \dfrac{\mathrm{\pi }}{2}+2k\mathrm{\pi } $ ， $ k\in \boldsymbol{Z} $ ,可得 $ -\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}+\dfrac{4}{3}k\mathrm{\pi } < x < \dfrac{\mathrm{\pi }}{6}+\dfrac{4}{3}k\mathrm{\pi } $ ， $ k\in \boldsymbol{Z} $ ,

取 $ k=0 $ ，可知函数 $ f(x) $ 在区间 $ (-\dfrac{\mathrm{\pi }}{2},\dfrac{\mathrm{\pi }}{6}) $ 上单调递增， $ \mathrm{D} $ 错误.

故选 $ \mathrm{B}\mathrm{C} $ .

设 $ f(x)= \sin x+\dfrac{1}{2} \sin 2x+\dfrac{1}{3} \sin 3x $ ,

对于 $ \mathrm{A} $ , $ f(x+\mathrm{\pi })= \sin (x+\mathrm{\pi })+\dfrac{1}{2} \sin [2(x+\mathrm{\pi })]+\dfrac{1}{3} \sin [3(x+\mathrm{\pi })]=- \sin x+\dfrac{1}{2} \sin 2x-\dfrac{1}{3} \sin 3x\ne f(x) $ ,故 $ \mathrm{A} $ 不可能；

对于 $ \mathrm{B} $ , $ f(x+2\mathrm{\pi })= \sin (x+2\mathrm{\pi })+\dfrac{1}{2} \sin [2(x+2\mathrm{\pi })]+\dfrac{1}{3} \sin [3(x+2\mathrm{\pi })]= \sin x+\dfrac{1}{2} \sin 2x+\dfrac{1}{3} \sin 3x=f(x) $ ,故 $ \mathrm{B} $ 可能；

对于 $ \mathrm{C} $ , $ f(x+\dfrac{2\mathrm{\pi }}{3})= \sin (x+\dfrac{2\mathrm{\pi }}{3})+\dfrac{1}{2} \sin [2(x+\dfrac{2\mathrm{\pi }}{3})]+\dfrac{1}{3} \sin [3(x+\dfrac{2\mathrm{\pi }}{3})]\ne f(x) $ ,故 $ \mathrm{C} $ 不可能；

对于 $ \mathrm{D} $ , $ f(x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{2})= \sin (x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{2})+\dfrac{1}{2} \sin [2(x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{2})]+\dfrac{1}{3} \sin [3(x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{2})]= \cos x-\dfrac{1}{2} \sin 2x-\dfrac{1}{3} \cos 3x\ne f(x) $ ,故 $ \mathrm{D} $ 不可能.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{D} $ .

$ \because f(x) $ 的周期是 $ 2\mathrm{\pi } $   ，且区间 $ (\dfrac{\mathrm{\pi }}{3},\dfrac{4\mathrm{\pi }}{3}) $ 的长度是 $ \mathrm{\pi } $   ， $ \therefore (\dfrac{\mathrm{\pi }}{3},\dfrac{4\mathrm{\pi }}{3}) $ 是一个周期内完整的一个单调递增区间或单调递减区间.

当 $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{3} < x < \dfrac{4\mathrm{\pi }}{3} $ 时， $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{3}+\varphi < x+\varphi < \dfrac{4\mathrm{\pi }}{3}+\varphi $   ， $ \text{ }\therefore \begin{cases}\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}+\varphi =-\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}+2{k}_{1}\mathrm{\pi },\\ \dfrac{4\mathrm{\pi }}{3}+\varphi =\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}+2{k}_{1}\mathrm{\pi },\end{cases}{k}_{1}\in \boldsymbol{Z} $ ，

解得 $ \varphi =-\dfrac{5\mathrm{\pi }}{6}+2{k}_{1}\mathrm{\pi } $   , $ {k}_{1}\in \boldsymbol{Z} $ ，

或 $ \begin{cases}\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}+\varphi =\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}+2{k}_{2}\mathrm{\pi },\\ \dfrac{4\mathrm{\pi }}{3}+\varphi =\dfrac{3\mathrm{\pi }}{2}+2{k}_{2}\mathrm{\pi },\end{cases}{k}_{2}\in \boldsymbol{Z} $ ，

解得 $ \varphi =\dfrac{\mathrm{\pi }}{6}+2{k}_{2}\mathrm{\pi } $   ， $ {k}_{2}\in \boldsymbol{Z} $ .

故 $ \varphi $   可取 $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{6} $ （集合 $ ｛\varphi \mid \varphi =-\dfrac{5\mathrm{\pi }}{6}+2{k}_{1}\mathrm{\pi }\text{或}\varphi =\dfrac{\mathrm{\pi }}{6}+2{k}_{2}\mathrm{\pi },{k}_{1},{k}_{2}\in \boldsymbol{Z}｝ $ 中的任何一个值都行）

当 $ x\in [\dfrac{5\mathrm{\pi }}{2},3\mathrm{\pi }] $ 时， $ 3\mathrm{\pi }-x\in [0,\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}].\text{ }\because $   当 $ x\in [0,\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}] $ 时， $ f(x)=1- \sin \text{ }x $ ， $ \text{ }\therefore f(3\mathrm{\pi }-x)=1- \sin (3\mathrm{\pi }-x)=1- \sin \text{ }x $ .

又 $ \because f(x) $ 是以 $ \mathrm{\pi } $   为周期的偶函数，

$ \therefore f(3\mathrm{\pi }-x)=f(-x)=f(x) $ ， $ \text{ }\therefore $   当 $ x\in [\dfrac{5\mathrm{\pi }}{2},3\mathrm{\pi }] $ 时， $ f(x)=1- \sin \text{ }x $ .

（1） $ \because f{(x)}_{ \min }=-A=-2 $ ， $ \therefore A=2 $ .

$ \because x=\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ 为 $ f(x) $ 的一个零点， $ \therefore \dfrac{2\mathrm{\pi }}{3}+\varphi =k\mathrm{\pi }(k\in \boldsymbol{Z}) $ ，解得 $ \varphi =k\mathrm{\pi }-\dfrac{2\mathrm{\pi }}{3}(k\in \boldsymbol{Z}) $ ，

又 $ 0 < \varphi < \dfrac{\mathrm{\pi }}{2} $ ， $ \therefore \varphi =\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ ， $ \therefore f(x)=2 \sin (2x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}) $ .

令 $ -\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}+2k\mathrm{\pi }\leqslant 2x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}\leqslant \dfrac{\mathrm{\pi }}{2}+2k\mathrm{\pi }(k\in \boldsymbol{Z}) $ ，解得 $ -\dfrac{5\mathrm{\pi }}{12}+k\mathrm{\pi }\leqslant x\leqslant \dfrac{\mathrm{\pi }}{12}+k\mathrm{\pi }(k\in \boldsymbol{Z}) $ ，

故 $ f(x) $ 的单调递增区间为 $ [-\dfrac{5\mathrm{\pi }}{12}+k\mathrm{\pi },\dfrac{\mathrm{\pi }}{12}+k\mathrm{\pi }](k\in \boldsymbol{Z}) $ .

（2）当 $ x\in [0,\dfrac{\mathrm{\pi }}{4}] $ 时， $ 2x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}\in [\dfrac{\mathrm{\pi }}{3},\dfrac{5\mathrm{\pi }}{6}] $ ， $ \therefore \sin (2x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{3})\in [\dfrac{1}{2},1] $ ， $ \therefore f(x)\in [1,2] $ .

$ \because $   对任意的 $ x\in [0,\dfrac{\mathrm{\pi }}{4}] $ ， $ f(x) > m-3 $ 恒成立， $ \therefore m-3 < f{(x)}_{ \min }=1 $ ，

解得 $ m < 4 $ ，即实数 $ m $ 的取值范围为 $ (-\mathrm{\infty },4) $ .