1．设 $ \alpha \in [\dfrac{\mathrm{\pi }}{4},\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}] $ , $ \beta \in [\dfrac{\mathrm{\pi }}{4},\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}] $ ，且 $ \sin \alpha + \cos \alpha =\sqrt{2} \cos \beta $ ，则（ ）
A． $ \alpha +\beta =\dfrac{\mathrm{\pi }}{4} $
B． $ \alpha -\beta =\dfrac{\mathrm{\pi }}{4} $
C． $ \alpha +\beta =\dfrac{\mathrm{\pi }}{2} $
D． $ \alpha -\beta =-\dfrac{\mathrm{\pi }}{4} $
因为 $ \sin \alpha + \cos \alpha =\sqrt{2} \sin (\alpha +\dfrac{\mathrm{\pi }}{4})=\sqrt{2} \cos \beta $ ,所以 $ \sin (\alpha +\dfrac{\mathrm{\pi }}{4})= \cos \beta = \sin (\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}-\beta ) $ .
因为 $ \alpha \in [\dfrac{\mathrm{\pi }}{4},\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}] $ , $ \beta \in [\dfrac{\mathrm{\pi }}{4},\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}] $ ,所以 $ \alpha +\dfrac{\mathrm{\pi }}{4}\in [\dfrac{\mathrm{\pi }}{2},\dfrac{3\mathrm{\pi }}{4}] $ , $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{2}-\beta \in [0,\dfrac{\mathrm{\pi }}{4}] $ ,
所以 $ \alpha +\dfrac{\mathrm{\pi }}{4}+\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}-\beta =\mathrm{\pi } $ ,则 $ \alpha -\beta =\dfrac{\mathrm{\pi }}{4} $ .故选 $ \mathrm{B} $ .
2．（多选）下列四个等式中正确的有（ ）（多选）
A． $ \cos {28}^{\circ } \cos {32}^{\circ }- \cos {62}^{\circ } \sin {32}^{\circ }=\dfrac{1}{2} $
B． $ \sin {105}^{\circ } \cos {75}^{\circ }=\dfrac{\sqrt{3}}{4} $
C． $ \dfrac{1+ \tan {15}^{\circ }}{1- \tan {15}^{\circ }}=\sqrt{3} $
D． $ \sin {50}^{\circ }(1+\sqrt{3} \tan {10}^{\circ })=1 $
对于 $ \mathrm{A} $ ， $ \cos {28}^{\circ } \cos {32}^{\circ }- \cos {62}^{\circ } \sin {32}^{\circ }= \cos {28}^{\circ } \cos {32}^{\circ }- \sin {28}^{\circ } \sin {32}^{\circ }= \cos {60}^{\circ }=\dfrac{1}{2} $ ，故 $ \mathrm{A} $ 正确；
对于 $ \mathrm{B} $ ， $ \sin {105}^{\circ } \cos {75}^{\circ }= \sin {75}^{\circ } \cos {75}^{\circ }=\dfrac{1}{2} \sin {150}^{\circ }=\dfrac{1}{4} $ ，故 $ \mathrm{B} $ 错误；
对于 $ \mathrm{C} $ ， $ \dfrac{1+ \tan {15}^{\circ }}{1- \tan {15}^{\circ }}=\dfrac{ \tan {45}^{\circ }+ \tan {15}^{\circ }}{1- \tan {45}^{\circ } \tan {15}^{\circ }}= \tan {60}^{\circ }=\sqrt{3} $ ，故 $ \mathrm{C} $ 正确；
对于 $ \mathrm{D} $ ， $ \sin {50}^{\circ }(1+\sqrt{3} \tan {10}^{\circ }) $
$ = \sin {50}^{\circ }(1+\dfrac{\sqrt{3} \sin {10}^{\circ }}{ \cos {10}^{\circ }}) $
$ =\dfrac{ \sin {50}^{\circ }(\sqrt{3} \sin {10}^{\circ }+ \cos {10}^{\circ })}{ \cos {10}^{\circ }} $
$ =\dfrac{2 \sin {50}^{\circ }(\dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin {10}^{\circ }+\dfrac{1}{2} \cos {10}^{\circ })}{ \cos {10}^{\circ }} $
$ =\dfrac{2 \cos {40}^{\circ } \sin {40}^{\circ }}{ \cos {10}^{\circ }}=\dfrac{ \sin {80}^{\circ }}{ \sin {80}^{\circ }}=1 $ ，故 $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{D} $ .
3．若 $ 0 < \alpha < \dfrac{\mathrm{\pi }}{2} $ , $ 0 < \beta < \dfrac{\mathrm{\pi }}{2} $ , $ \cos (\dfrac{\mathrm{\pi }}{6}+\alpha )=-\dfrac{\sqrt{10}}{10} $ , $ \sin (\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}-\beta )=\dfrac{\sqrt{5}}{5} $ ，则 $ \alpha -\beta = $ .
$ \dfrac{\mathrm{\pi }}{4} $
$ \because 0 < \alpha < \dfrac{\mathrm{\pi }}{2} $ , $ \therefore \dfrac{\mathrm{\pi }}{6} < \dfrac{\mathrm{\pi }}{6}+\alpha < \dfrac{2\mathrm{\pi }}{3} $ ，
故由 $ \cos (\dfrac{\mathrm{\pi }}{6}+\alpha )=-\dfrac{\sqrt{10}}{10} $ ，
得 $ \sin (\dfrac{\mathrm{\pi }}{6}+\alpha )=\dfrac{3\sqrt{10}}{10} $ .
$ \because 0 < \beta < \dfrac{\mathrm{\pi }}{2} $ , $ \therefore -\dfrac{\mathrm{\pi }}{2} < -\beta < 0 $ , $ \therefore -\dfrac{\mathrm{\pi }}{6} < \dfrac{\mathrm{\pi }}{3}-\beta < \dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ .
又 $ \because \sin (\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}-\beta )=\dfrac{\sqrt{5}}{5} $ ,
$ \therefore \cos (\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}-\beta )=\dfrac{2\sqrt{5}}{5} $ .
则 $ \sin (\alpha -\beta )=- \cos [(\dfrac{\mathrm{\pi }}{6}+\alpha )+(\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}-\beta )] $
$ =- \cos (\dfrac{\mathrm{\pi }}{6}+\alpha ) \cos (\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}-\beta )+ \sin (\dfrac{\mathrm{\pi }}{6}+\alpha ) \sin (\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}-\beta ) $
$ =\dfrac{\sqrt{10}}{10}×\dfrac{2\sqrt{5}}{5}+\dfrac{3\sqrt{10}}{10}×\dfrac{\sqrt{5}}{5}=\dfrac{5\sqrt{50}}{50}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} $ .
又 $ -\dfrac{\mathrm{\pi }}{2} < \alpha -\beta < \dfrac{\mathrm{\pi }}{2} $ ，所以 $ \alpha -\beta =\dfrac{\mathrm{\pi }}{4} $ .
4．已知 $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{4} < \alpha < \dfrac{3\mathrm{\pi }}{4} $ ， $ 0 < \beta < \dfrac{\mathrm{\pi }}{4} $ ， $ \sin (\alpha -\dfrac{\mathrm{\pi }}{4})=\dfrac{2\sqrt{2}}{3} $ ， $ \cos (\alpha +\beta )=-\dfrac{3}{5} $ ，求 $ \sin (\alpha +\dfrac{5\mathrm{\pi }}{4}) $ 和 $ \cos (\beta +\dfrac{\mathrm{\pi }}{4}) $ 的值.
【解】 $ \because \dfrac{\mathrm{\pi }}{4} < \alpha < \dfrac{3\mathrm{\pi }}{4} $ ,
$ \therefore \alpha -\dfrac{\mathrm{\pi }}{4}\in (0,\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}) $ .
又 $ { \cos }^{2}(\alpha -\dfrac{\mathrm{\pi }}{4})+{ \sin }^{2}(\alpha -\dfrac{\mathrm{\pi }}{4})=1 $ ,
$ \sin (\alpha -\dfrac{\mathrm{\pi }}{4})=\dfrac{2\sqrt{2}}{3} $ ,
$ \therefore \cos (\alpha -\dfrac{\mathrm{\pi }}{4})=\dfrac{1}{3} $ ,
$ \therefore \sin (\alpha +\dfrac{5\mathrm{\pi }}{4})= \sin [\mathrm{\pi }+(\alpha +\dfrac{\mathrm{\pi }}{4})]=- \sin (\alpha +\dfrac{\mathrm{\pi }}{4})=- \sin [(\alpha -\dfrac{\mathrm{\pi }}{4})+\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}]=- \cos (\alpha -\dfrac{\mathrm{\pi }}{4})=-\dfrac{1}{3} $ .
$ \because \dfrac{\mathrm{\pi }}{4} < \alpha < \dfrac{3\mathrm{\pi }}{4} $ , $ 0 < \beta < \dfrac{\mathrm{\pi }}{4} $ ,
$ \therefore \alpha +\beta \in (\dfrac{\mathrm{\pi }}{4},\mathrm{\pi }) $ .又 $ { \sin }^{2}(\alpha +\beta )+{ \cos }^{2}(\alpha +\beta )=1 $ , $ \cos (\alpha +\beta )=-\dfrac{3}{5} $ ,
$ \therefore \sin (\alpha +\beta )=\dfrac{4}{5} $ ,
$ \therefore \cos (\beta +\dfrac{\mathrm{\pi }}{4})= \cos [(\alpha +\beta )-(\alpha -\dfrac{\mathrm{\pi }}{4})]= $
$ \cos (\alpha +\beta ) \cos (\alpha -\dfrac{\mathrm{\pi }}{4})+ \sin (\alpha +\beta )\cdot \sin (\alpha -\dfrac{\mathrm{\pi }}{4})=-\dfrac{3}{5}×\dfrac{1}{3}+\dfrac{4}{5}×\dfrac{2\sqrt{2}}{3}=\dfrac{8\sqrt{2}-3}{15} $ .
5．已知 $ \sin (\alpha +\beta )=\dfrac{1}{2} $ ， $ \tan \alpha =5 \tan \beta $ ，则 $ \cos (2\alpha -2\beta )= $ （ ）
A． $ \dfrac{1}{3} $
B． $ \dfrac{3}{10} $
C． $ \dfrac{7}{9} $
D． $ \dfrac{41}{50} $
由题意得， $ \sin (\alpha +\beta )= \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta =\dfrac{1}{2}\mathrm{①} $ .
由 $ \tan \alpha =5 \tan \beta $ ,得 $ \dfrac{ \sin \alpha }{ \cos \alpha }=5\cdot \dfrac{ \sin \beta }{ \cos \beta } $ ，
则 $ \sin \alpha \cos \beta =5 \cos \alpha \sin \beta \mathrm{②} $ .
联立①②，得 $ \cos \alpha \sin \beta =\dfrac{1}{12} $ ，
所以 $ \sin (\alpha -\beta )= \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta =4 \cos \alpha \sin \beta =\dfrac{1}{3} $ ，
所以 $ \cos (2\alpha -2\beta )=1-2{ \sin }^{2}(\alpha -\beta )=1-2×\dfrac{1}{9}=\dfrac{7}{9} $ .故选 $ \mathrm{C} $ .
6．若 $ \cos (\mathrm{x}-{20}^{\circ })=2\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{10}^{\circ } $ ，则 $ \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{x}= $ .
$ -\sqrt{3} $
由题可得 $ \cos x \cos {20}^{\circ }+ \sin x \sin {20}^{\circ }=2 \cos x \sin {10}^{\circ } $ ,易知 $ \cos x\ne 0 $ ,
将等式两边同时除以 $ \cos x $ 可得 $ \cos {20}^{\circ }+ \tan x \sin {20}^{\circ }=2 \sin {10}^{\circ } $ ,
所以 $ \tan x=\dfrac{2 \sin {10}^{\circ }- \cos {20}^{\circ }}{ \sin {20}^{\circ }} $
$ =\dfrac{2 \sin ({30}^{\circ }-{20}^{\circ })- \cos {20}^{\circ }}{ \sin {20}^{\circ }} $
$ =\dfrac{2 \sin {30}^{\circ } \cos {20}^{\circ }-2 \cos {30}^{\circ } \sin {20}^{\circ }- \cos {20}^{\circ }}{ \sin {20}^{\circ }} $
$ =-2 \cos {30}^{\circ }=-\sqrt{3} $ .
7．若 $ \cos 2\alpha =\dfrac{3}{5} $ ，则 $ { \sin }^{4}\alpha +{ \cos }^{4}\alpha = $ （ ）
A． $ -\dfrac{17}{25} $
B． $ \dfrac{17}{25} $
C． $ -\dfrac{8}{25} $
D． $ \dfrac{8}{25} $
因为 $ \cos 2\alpha =\dfrac{3}{5} $ ，所以 $ { \cos }^{2}\alpha =\dfrac{1+ \cos 2\alpha }{2}=\dfrac{1}{2}(1+\dfrac{3}{5})=\dfrac{4}{5} $ ，
$ { \sin }^{2}\alpha =\dfrac{1- \cos 2\alpha }{2}=\dfrac{1}{2}(1-\dfrac{3}{5})=\dfrac{1}{5} $ ，
所以 $ { \sin }^{4}\alpha +{ \cos }^{4}\alpha ={\left(\dfrac{1}{5}\right) ^ {2}}+{\left(\dfrac{4}{5}\right) ^ {2}}=\dfrac{17}{25} $ .故选 $ \mathrm{B} $ .
8．已知 $ \sin \alpha =-\dfrac{12}{13} $ ， $ \alpha \in (\mathrm{\pi },\dfrac{3\mathrm{\pi }}{2}) $ ,则 $ \tan \dfrac{\alpha }{2}= $ .
$ -\dfrac{3}{2} $
因为 $ \sin \alpha =-\dfrac{12}{13} $ , $ \alpha \in (\mathrm{\pi },\dfrac{3\mathrm{\pi }}{2}) $ ,
所以 $ \cos \alpha =-\dfrac{5}{13} $ .
因为 $ \alpha \in (\mathrm{\pi },\dfrac{3\mathrm{\pi }}{2}) $ ,
所以 $ \dfrac{\alpha }{2}\in (\dfrac{\mathrm{\pi }}{2},\dfrac{3\mathrm{\pi }}{4}) $ ,
所以 $ \tan \dfrac{\alpha }{2} < 0 $ ,
所以 $ \tan \dfrac{\alpha }{2}=-\sqrt{\dfrac{1- \cos \alpha }{1+ \cos \alpha }}=-\dfrac{3}{2} $ .
9．已知 $ f(x)={ \sin }^{4}x $ .
（1） 记 $ g(x)=f(x)+f(\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}-x) $ ，求 $ g(x) $ 在 $ [\dfrac{\mathrm{\pi }}{6},\dfrac{3\mathrm{\pi }}{8}] $ 上的最大值和最小值；
（2） 求 $ f(\dfrac{\mathrm{\pi }}{180})+f(\dfrac{2\mathrm{\pi }}{180})+f(\dfrac{3\mathrm{\pi }}{180})+\cdots +f(\dfrac{88\mathrm{\pi }}{180})+f(\dfrac{89\mathrm{\pi }}{180}) $ 的值.
（1） 【解】由题知 $ g(x)={ \sin }^{4}x+{ \cos }^{4}x={\left({ \sin }^{2}x+{ \cos }^{2}x\right) ^ {2}}-2{ \sin }^{2}x{ \cos }^{2}x=1-\dfrac{1}{2}{ \sin }^{2}2x $ .
因为 $ x\in [\dfrac{\mathrm{\pi }}{6},\dfrac{3\mathrm{\pi }}{8}] $ ，所以 $ 2x\in [\dfrac{\mathrm{\pi }}{3},\dfrac{3\mathrm{\pi }}{4}] $ ，故 $ \sin 2x\in [\dfrac{\sqrt{2}}{2} $ , $ 1 ] $ ，
从而 $ \dfrac{1}{2}\leqslant 1-\dfrac{1}{2}{ \sin }^{2}2x\leqslant \dfrac{3}{4} $ ，
即 $ g(x)\in [\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{4}] $ ，
所以 $ g(x) $ 在 $ [\dfrac{\mathrm{\pi }}{6},\dfrac{3\mathrm{\pi }}{8}] $ 上的最大值为 $ \dfrac{3}{4} $ ，最小值为 $ \dfrac{1}{2} $ .
（2） 【解】 $ f(\dfrac{\mathrm{\pi }}{180})+f(\dfrac{2\mathrm{\pi }}{180})+f(\dfrac{3\mathrm{\pi }}{180})+\cdots +f(\dfrac{88\mathrm{\pi }}{180})+f(\dfrac{89\mathrm{\pi }}{180}) $
$ =g(\dfrac{\mathrm{\pi }}{180})+g(\dfrac{2\mathrm{\pi }}{180})+g(\dfrac{3\mathrm{\pi }}{180})+\cdots +g(\dfrac{44\mathrm{\pi }}{180})+{ \sin }^{4}\frac{45\mathrm{\pi }}{180} $
$ =44-\dfrac{1}{2}({ \sin }^{2}\frac{2\mathrm{\pi }}{180}+{ \sin }^{2}\frac{4\mathrm{\pi }}{180}+{ \sin }^{2}\frac{6\mathrm{\pi }}{180}+\cdots +{ \sin }^{2}\frac{88\mathrm{\pi }}{180})+{\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) ^ {4}} $
$ =44-\dfrac{1}{2}×22+\dfrac{1}{4} $
$ =\dfrac{133}{4} $ .