5.6.1 匀速圆周运动的数学模型+5.6.2 函数y=Asin(wx+φ）的图象

令 $ {\rm 4\mathit{x}-} \dfrac{\mathrm{\pi }}{6} {\rm =} $ $ \dfrac{3\mathrm{\pi }}{2} $ ,得 $ {\rm \mathit{x}=} \dfrac{5\mathrm{\pi }}{12} $ ,∴第四个关键点的坐标为 $ (\dfrac{5\mathrm{\pi }}{12},0) {\rm \mathit{．}} $ 故选A．

由题意得 $ g(x)= \cos [3\cdot (x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{5})+\dfrac{\mathrm{\pi }}{5}]= \cos (3x+\dfrac{4\mathrm{\pi }}{5})= \cos (3x+\dfrac{3\mathrm{\pi }}{10}+\dfrac{\mathrm{\pi }}{2})=- \sin (3x+\dfrac{3\mathrm{\pi }}{10}) $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

$ f(x)= \sin (2x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}) $ 的图象向左平移 $ \varphi (\varphi > 0) $ 个单位长度后，得到 $ y= \sin (2x+2\varphi +\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}) $ 的图象，

从而 $ 2\varphi +\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}=\dfrac{3\mathrm{\pi }}{4}+2k\mathrm{\pi } $ , $ k\in \boldsymbol{Z} $ ，解得 $ \varphi =\dfrac{5\mathrm{\pi }}{24}+k\mathrm{\pi } $ , $ k\in \boldsymbol{Z} $ ，又 $ \varphi > 0 $ ，故当 $ k=0 $ 时， $ \varphi $ 取得最小值，最小值为 $ \dfrac{5\mathrm{\pi }}{24} $ .

有两种变换方式，方式一：将图象 $ C $ 上所有的点向右平移 $ \dfrac{2\mathrm{\pi }}{5} $ 个单位长度,得到 $ y=3 \sin (x-\dfrac{2\mathrm{\pi }}{5}+\dfrac{\mathrm{\pi }}{5})=3 \sin (x-\dfrac{\mathrm{\pi }}{5}) $ 的图象,

再将 $ y=3 \sin (x-\dfrac{\mathrm{\pi }}{5}) $ 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $ \dfrac{1}{2} $ ,纵坐标不变,得到 $ g(x)=3 \sin (2x-\dfrac{\mathrm{\pi }}{5}) $ 的图象.

方式二：将图象 $ C $ 上所有点的横坐标缩短到原来的 $ \dfrac{1}{2} $ ,纵坐标不变,得到 $ y=3 \sin (2x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{5}) $ 的图象,

再将 $ y=3 \sin (2x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{5}) $ 的图象上所有点向右平移 $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{5} $ 个单位长度,得到 $ g(x)=3 \sin [2(x-\dfrac{\mathrm{\pi }}{5})+\dfrac{\mathrm{\pi }}{5}]=3 \sin (2x-\dfrac{\mathrm{\pi }}{5}) $ 的图象.

所以可能用到的变换方式有 $ \mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D} $ ,没有 $ \mathrm{A} $ .故选 $ \mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D} $ .

将函数 $ f(x)= \cos (2x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}) $ 的图象向右平移 $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{4} $ 个单位长度，

可得函数 $ y= \cos [2(x-\dfrac{\mathrm{\pi }}{4})+\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}]= \cos (2x-\dfrac{\mathrm{\pi }}{6}) $ 的图象，

将函数 $ y= \cos (2x-\dfrac{\mathrm{\pi }}{6}) $ 的图象的每个点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标保持不变，

可得函数 $ y=2 \cos (2x-\dfrac{\mathrm{\pi }}{6}) $ 的图象，

所以 $ g(x)=2 \cos (2x-\dfrac{\mathrm{\pi }}{6}) $ .故选 $ \mathrm{A} $ .

将函数 $ f(x)= \sin 2x $ 的图象先向右平移 $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{8} $ 个单位长度，得到函数 $ y= \sin 2(x-\dfrac{\mathrm{\pi }}{8})= \sin (2x-\dfrac{\mathrm{\pi }}{4}) $ 的图象，

再把所得函数图象的横坐标变为原来的 $ \dfrac{2}{\omega }(\omega > 0) $ 倍，纵坐标不变，得到函数 $ g(x)= \sin (2×\dfrac{\omega }{2}x-\dfrac{\mathrm{\pi }}{4})= \sin (\omega x-\dfrac{\mathrm{\pi }}{4}) $ 的图象.

当 $ x\in (\dfrac{\mathrm{\pi }}{4},\mathrm{\pi }) $ 时， $ \omega x-\dfrac{\mathrm{\pi }}{4}\in (\dfrac{\omega \mathrm{\pi }}{4}-\dfrac{\mathrm{\pi }}{4} $ , $ \omega \mathrm{\pi }-\dfrac{\mathrm{\pi }}{4}) $ .

由 $ g(x) $ 在 $ (\dfrac{\mathrm{\pi }}{4},\mathrm{\pi }) $ 上没有零点，得 $ \begin{cases}\dfrac{\omega \mathrm{\pi }}{4}-\dfrac{\mathrm{\pi }}{4}\geqslant k\mathrm{\pi },\\ \omega \mathrm{\pi }-\dfrac{\mathrm{\pi }}{4}\leqslant (k+1)\mathrm{\pi }\end{cases}(k\in \boldsymbol{Z}) $ ，

解得 $ 4k+1\leqslant \omega \leqslant k+\dfrac{5}{4}(k\in \boldsymbol{Z}) $ ,

又 $ 4k+1\leqslant k+\dfrac{5}{4}(k\in \boldsymbol{Z}) $ ，

且 $ \omega > 0 $ ,解得 $ 0 < \omega \leqslant \dfrac{1}{4} $ 或 $ 1\leqslant \omega \leqslant \dfrac{5}{4} $ .

把点 $ (0,1) $ 与点 $ (\dfrac{\mathrm{\pi }}{2},1.5) $ 的坐标代入 $ f(x)=a \sin x+b $ 中，可得 $ \begin{cases}b=1,\\ a+b=1.5,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}a=0.5,\\ b=1,\end{cases} $ 因此 $ f(x)=\dfrac{1}{2} \sin x+1 $ ， $ x\in [0,2\mathrm{\pi }] $ ,故选 $ \mathrm{A} $ .

由图象可得, $ \dfrac{T}{4}=\dfrac{5\mathrm{\pi }}{12}-\dfrac{\mathrm{\pi }}{6}=\dfrac{\mathrm{\pi }}{4} $ ,故 $ T=\mathrm{\pi } $ ,则 $ |\omega |=\dfrac{2\mathrm{\pi }}{T}=2 $ ,又 $ \omega > 0 $ ,所以 $ \omega =2 $ .

又 $ f(\dfrac{5\mathrm{\pi }}{12})=A \sin (\dfrac{5\mathrm{\pi }}{6}+\varphi )=0 $ ,故 $ \dfrac{5\mathrm{\pi }}{6}+\varphi =k\mathrm{\pi } $ , $ k\in \boldsymbol{Z} $ ,

解得 $ \varphi =k\mathrm{\pi }-\dfrac{5\mathrm{\pi }}{6} $ , $ k\in \boldsymbol{Z} $ ,又 $ 0 < \varphi < \dfrac{\mathrm{\pi }}{2} $ ,所以 $ \varphi =\dfrac{\mathrm{\pi }}{6} $ ,

又 $ f(0)=A \sin \dfrac{\mathrm{\pi }}{6}=\dfrac{1}{2}A=1 $ ,故 $ A=2 $ ,

则 $ f(x)=2 \sin (2x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{6}) $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

依题意可得， $ g(x)= \sin (4x-\dfrac{\mathrm{\pi }}{6}) $ ，

由 $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{2}+2k\mathrm{\pi }\leqslant 4x-\dfrac{\mathrm{\pi }}{6}\leqslant \dfrac{3\mathrm{\pi }}{2}+2k\mathrm{\pi } $ , $ k\in \boldsymbol{Z} $ ，

解得 $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{6}+\dfrac{k}{2}\mathrm{\pi }\leqslant x\leqslant \dfrac{5\mathrm{\pi }}{12}+\dfrac{k}{2}\mathrm{\pi } $ , $ k\in \boldsymbol{Z} $ .

观察选项可知，只需写出在 $ (0,\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}) $ 上单调递减的区间即可.

易知当 $ k=0 $ 时， $ x\in (\dfrac{\mathrm{\pi }}{6},\dfrac{5\mathrm{\pi }}{12}) $ ，由选项可知只有 $ (\dfrac{\mathrm{\pi }}{4},\dfrac{3\mathrm{\pi }}{8} )\subseteq (\dfrac{\mathrm{\pi }}{6} $ , $ \dfrac{5\mathrm{\pi }}{12}) $ ，

可得在 $ (\dfrac{\mathrm{\pi }}{4},\dfrac{3\mathrm{\pi }}{8}) $ 上，函数 $ g(x) $ 单调递减.故选 $ \mathrm{C} $ .

因为直线 $ x=-\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ 是函数 $ f(x)= \cos x-b \sin x $ 图象的一条对称轴，

所以 $ f(0)=f(-\dfrac{2\mathrm{\pi }}{3}) $ ，即 $ 1=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}b $ ，解得 $ b=\sqrt{3} $ ，所以 $ f(x)= \cos x-\sqrt{3} \sin x=2 \cos (x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}) $ ，则其周期为 $ 2\mathrm{\pi } $ ，故 $ \mathrm{A} $ 错误.

当 $ x\in [-\dfrac{\mathrm{\pi }}{2},\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}] $ 时， $ x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}\in [-\dfrac{\mathrm{\pi }}{6},\dfrac{5\mathrm{\pi }}{6}] $ ，则 $ \cos (x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} )\in [-\dfrac{\sqrt{3}}{2} $ , $ 1 ] $ ，

所以 $ 2 \cos (x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{3})\in [-\sqrt{3},2] $ ，

即函数 $ f(x) $ 在 $ [-\dfrac{\mathrm{\pi }}{2},\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}] $ 上的值域为 $ [-\sqrt{3},2] $ ，故 $ \mathrm{B} $ 错误.

由 $ x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}\in (-\mathrm{\pi }+2k\mathrm{\pi },2k\mathrm{\pi })(k\in \boldsymbol{Z}) $ ，得 $ x\in (-\dfrac{4\mathrm{\pi }}{3}+2k\mathrm{\pi } $ , $ -\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}+2k\mathrm{\pi } ) (k\in \boldsymbol{Z} ) $ ，

则函数 $ f(x)=2 \cos (x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}) $ 的单调递增区间为 $ (-\dfrac{4\mathrm{\pi }}{3}+2k\mathrm{\pi } $ , $ -\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}+2k\mathrm{\pi } ) (k\in \boldsymbol{Z} ) $ .

因为 $ (\mathrm{\pi },\dfrac{3\mathrm{\pi }}{2} )\subseteq (-\dfrac{4\mathrm{\pi }}{3}+2k\mathrm{\pi } $ , $ -\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}+2k\mathrm{\pi } ) (k\in \boldsymbol{Z} ) $ ，

所以函数 $ f(x) $ 在 $ (\mathrm{\pi },\dfrac{3\mathrm{\pi }}{2}) $ 上单调递增，故 $ \mathrm{C} $ 正确.

将函数 $ f(x)=2 \cos (x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}) $ 图象上的每一个点的纵坐标变为原来的 $ \dfrac{1}{2} $ ，再将所得到的图象向左平移 $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{6} $ 个单位长度，得到 $ y=\dfrac{1}{2}×2 \cos (x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{6}+\dfrac{\mathrm{\pi }}{3})= \cos (x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{2})=- \sin x $ 的图象，故 $ \mathrm{D} $ 错误.故选 $ \mathrm{C} $ .

将函数 $ y= \sin (2x+\dfrac{4\mathrm{\pi }}{3}) $ 的图象向右平移 $ \varphi (\varphi > 0) $ 个单位长度得到函数 $ y= \sin [2(x-\varphi )+\dfrac{4\mathrm{\pi }}{3}] $ 的图象，

$ \because $   所得函数图象关于 $ y $ 轴对称，

即 $ \dfrac{4\mathrm{\pi }}{3}-2\varphi =\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}+k\mathrm{\pi }(k\in \boldsymbol{Z}) $ ，

$ \therefore \varphi =\dfrac{5\mathrm{\pi }}{12}-\dfrac{k\mathrm{\pi }}{2}(k\in \boldsymbol{Z}) $ .

$ \because \varphi > 0 $ ， $ \therefore $   当 $ k=0 $ 时， $ \varphi $   的最小值为 $ \dfrac{5\mathrm{\pi }}{12} $ .

故选 $ \mathrm{C} $ .

由题意可知， $ f(x) $ 的最大值为 $ {\rm 5，} \because $   函数 $ f(x)=3 \cos (\omega x+\varphi )+2(\omega > 0,\left|\varphi \right| < \dfrac{\mathrm{\pi }}{2}) $ ，其图象与直线 $ y=5 $ 相邻两个交点的距离为 $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{2} $ ， $ \therefore T=\dfrac{\mathrm{\pi }}{2} $ ， $ \omega =\dfrac{2\mathrm{\pi }}{\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}}=4 $ ，即 $ f(x)=3 \cos (4x+\varphi )+2 $ .

$ \because \forall x\in [-\dfrac{\mathrm{\pi }}{12},\dfrac{\mathrm{\pi }}{16}] $ ， $ f(x)\geqslant 2 $ 恒成立，

$ \therefore \cos (4x+\varphi )\geqslant 0 $ .

$ \because x\in [-\dfrac{\mathrm{\pi }}{12},\dfrac{\mathrm{\pi }}{16}] $ ， $ \therefore 4x+\varphi \in [-\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}+\varphi ,\dfrac{\mathrm{\pi }}{4}+\varphi ].\text{ }\because \left|\varphi \right| < \dfrac{\mathrm{\pi }}{2} $ ， $ \therefore -\dfrac{5\mathrm{\pi }}{6} < -\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}+\varphi < \dfrac{\mathrm{\pi }}{6} $ ， $ -\dfrac{\mathrm{\pi }}{4} < \dfrac{\mathrm{\pi }}{4}+\varphi < \dfrac{3\mathrm{\pi }}{4} $ ， $ \therefore \begin{cases}-\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}+\varphi \geqslant -\dfrac{\mathrm{\pi }}{2},\\ \dfrac{\mathrm{\pi }}{4}+\varphi \leqslant \dfrac{\mathrm{\pi }}{2},\end{cases} $

解得 $ -\dfrac{\mathrm{\pi }}{6}\leqslant \varphi \leqslant \dfrac{\mathrm{\pi }}{4} $ ．

故选 $ \mathrm{D} $ ．

由题意， $ f(x)= \cos \omega x-\sqrt{3} \sin \omega x=-2 \sin (\omega x-\dfrac{\mathrm{\pi }}{6}) $ ，

由题图可知， $ \dfrac{3}{4}T=\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}-(-\dfrac{5\mathrm{\pi }}{12})=\dfrac{3\mathrm{\pi }}{4} $ ，则 $ T=\mathrm{\pi }=\dfrac{2\mathrm{\pi }}{\omega } $ ，解得 $ \omega =2 $ ，所以 $ f(x)=-2 \sin (2x-\dfrac{\mathrm{\pi }}{6}) $ .

对于 $ \mathrm{A} $ ， $ f(\dfrac{7\mathrm{\pi }}{12})=-2 \sin (2×\dfrac{7\mathrm{\pi }}{12}-\dfrac{\mathrm{\pi }}{6})=0 $ ，故 $ \mathrm{A} $ 正确；

对于 $ \mathrm{B} $ ，由 $ -\dfrac{3\mathrm{\pi }}{2}+2k\mathrm{\pi }\leqslant 2x-\dfrac{\mathrm{\pi }}{6}\leqslant -\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}+2k\mathrm{\pi }(k\in \boldsymbol{Z}) $ ，解得 $ -\dfrac{2\mathrm{\pi }}{3}+k\mathrm{\pi }\leqslant x\leqslant -\dfrac{\mathrm{\pi }}{6}+k\mathrm{\pi }(k\in \boldsymbol{Z}) $ ，

所以函数 $ f(x)=-2 \sin (2x-\dfrac{\mathrm{\pi }}{6}) $ 的单调递增区间为 $ [k\mathrm{\pi }-\dfrac{2\mathrm{\pi }}{3} $ , $ k\mathrm{\pi }-\dfrac{\mathrm{\pi }}{6} ] (k\in \boldsymbol{Z} ) $ ，故 $ \mathrm{B} $ 正确；

对于 $ \mathrm{C} $ ，函数 $ y=2 \sin 2x $ 的图象向左平移 $ \dfrac{5\mathrm{\pi }}{6} $ 个单位长度得到 $ y=2 \sin [2(x+\dfrac{5\mathrm{\pi }}{6})]=2 \sin (2x+\dfrac{5\mathrm{\pi }}{3}) $ 的图象，

又 $ 2 \sin (2x+\dfrac{5\mathrm{\pi }}{3})=2 \sin (2\mathrm{\pi }+2x-\dfrac{\mathrm{\pi }}{3})=2 \sin (2x-\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}) $ ，故 $ \mathrm{C} $ 错误；

对于 $ \mathrm{D} $ ， $ g(x)=f(2tx)=-2 \sin (4tx-\dfrac{\mathrm{\pi }}{6}) $ ，

当 $ x\in (0,\mathrm{\pi }) $ 时， $ 4tx-\dfrac{\mathrm{\pi }}{6}\in (-\dfrac{\mathrm{\pi }}{6} $ , $ 4t\mathrm{\pi }-\dfrac{\mathrm{\pi }}{6}) $ ，又 $ g(x) $ 有两个零点，作出 $ y=-2 \sin x $ 的图象如图所示，则 $ 4t\mathrm{\pi }-\dfrac{\mathrm{\pi }}{6}\in (\mathrm{\pi },2\mathrm{\pi }] $ ，解得 $ t\in (\dfrac{7}{24},\dfrac{13}{24}] $ ，故 $ \mathrm{D} $ 正确.

故选 $ \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{D} $ .

设 $ A({x}_{1},\dfrac{1}{2}) $ , $ B({x}_{2},\dfrac{1}{2}) $ ,由 $ |AB|=\dfrac{\mathrm{\pi }}{6} $ 可得 $ {x}_{2}-{x}_{1}=\dfrac{\mathrm{\pi }}{6} $ ,

由 $ \sin x=\dfrac{1}{2} $ 可得 $ x=\dfrac{\mathrm{\pi }}{6}+2k\mathrm{\pi } $ 或 $ x=\dfrac{5\mathrm{\pi }}{6}+2k\mathrm{\pi } $ , $ k\in \boldsymbol{Z} $ ,

由图可知, $ \omega {x}_{2}+\varphi -(\omega {x}_{1}+\varphi )=\dfrac{5\mathrm{\pi }}{6}-\dfrac{\mathrm{\pi }}{6}=\dfrac{2\mathrm{\pi }}{3} $ ,即 $ \omega ({x}_{2}-{x}_{1})=\dfrac{2\mathrm{\pi }}{3} $ ,解得 $ \omega =4 $ .

因为 $ f(\dfrac{2\mathrm{\pi }}{3})= \sin (\dfrac{8\mathrm{\pi }}{3}+\varphi )=0 $ ,所以 $ \dfrac{8\mathrm{\pi }}{3}+\varphi =k\mathrm{\pi } $ , $ k\in \boldsymbol{Z} $ ,即 $ \varphi =-\dfrac{8\mathrm{\pi }}{3}+k\mathrm{\pi } $ , $ k\in \boldsymbol{Z} $ ,

所以, $ k\in \boldsymbol{Z} $ ,

所以 $ f(x)= \sin (4x-\dfrac{2\mathrm{\pi }}{3}) $ 或 $ f(x)=- \sin (4x-\dfrac{2\mathrm{\pi }}{3}) $ ,

又因为 $ f(0) < 0 $ ,所以 $ f(x)= \sin (4x-\dfrac{2\mathrm{\pi }}{3}) $ ,所以 $ f(\mathrm{\pi })= \sin (4\mathrm{\pi }-\dfrac{2}{3}\mathrm{\pi })=-\dfrac{\sqrt{3}}{2} $ .

方法一：正向变换

$ y=f(x) $ 的图象 $  {\xrightarrow[ ~\text{纵坐标不变}]{\text{横坐标缩短为原来的}\dfrac{1}{2}}} y=f\left(2x\right) $ 的图象 $  {\xrightarrow[ \dfrac{\mathrm{\pi~}}{6}\text{个单位长度}]{\text{沿}x\text{轴向左平移}}} y=f\left(2\left(x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{6}\right)\right) $ ，即 $ y=f(2x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}) $ 的图象，所以 $ f(2x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{3})= \sin \text{ }2x $ .

令 $ 2x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}=t $ ,则 $ 2x=t-\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ ，

所以 $ f(t)= \sin (t-\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}) $ ，

即 $ f(x)= \sin (x-\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}) $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

方法二：逆向变换

$ y= \sin \text{ }2x $ 的图象 $  {\xrightarrow[ \dfrac{\mathrm{\pi~}}{6}\text{个单位长度}]{\text{沿}x\text{轴向右平移}}} y= \sin \left[2\left(x-\dfrac{\mathrm{\pi }}{6}\right)\right]= \sin \left(2x-\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}\right) $ 的图象 $  {\xrightarrow[ ~\text{纵坐标不变}]{\text{横坐标伸长到原来的}2\text{倍}}} y= \sin \left(x-\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}\right)=f\left(x\right) $ 的图象.故选 $ \mathrm{D} $ .

易知 $ y= \cos 2x= \sin (2x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}) $ ，

又因为 $ \sin (2x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{3})= \sin (2x-\dfrac{\mathrm{\pi }}{6}+\dfrac{\mathrm{\pi }}{2})= \sin [2(x-\dfrac{\mathrm{\pi }}{12})+\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}] $ ，

因此只需将 $ y= \cos 2x= \sin (2x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}) $ 图象上所有的点向右平移 $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{12} $ 个单位长度即可.故选 $ \mathrm{D} $ .

由题图知，函数的最小正周期 $ T=2(\dfrac{5\mathrm{\pi }}{6}-\dfrac{\mathrm{\pi }}{3})=\mathrm{\pi } $   ，所以 $ \omega =\dfrac{2\mathrm{\pi }}{T}=2 $ ，所以 $ y=3 \sin (2x+\varphi ) $ .

又图象过点 $ (\dfrac{\mathrm{\pi }}{3},0) $ ，所以当 $ x=\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ 时， $ y=0 $ ，由“五点法”作图得 $ 2×\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}+\varphi =2k\mathrm{\pi }+\mathrm{\pi }(k\in \mathrm{Z}) $ ，由 $ \varphi \in [0,2\mathrm{\pi }) $ ，解得 $ \varphi =\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ ，故所求函数的表达式为 $ y=3 \sin (2x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}) $ .