模块综合测试

对于 $ \mathrm{A} $ ，由 $ {x}^{2}-x < 0 $ ，解得 $ 0 < x < 1 $ ，因为 $ (0,1)⫋(-1,1) $ ，所以使 $ p $ 成立的一个必要不充分条件可以是 $ -1 < x < 1 $ ，故 $ \mathrm{A} $ 正确；

对于 $ \mathrm{B} $ ，易知 $ p $ 成立的充要条件是 $ 0 < x < 1 $ ，故 $ \mathrm{B} $ 错误；

对于 $ \mathrm{C} $ ，因为 $ (\dfrac{1}{2},1)⫋(0,1) $ ，所以使 $ p $ 成立的一个充分不必要条件可以是 $ \dfrac{1}{2} < x < 1 $ ，故 $ \mathrm{C} $ 错误；

对于 $ \mathrm{D} $ ，由 $ \dfrac{1}{2} < x < 2 $ 推不出 $ 0 < x < 1 $ ，同时由 $ 0 < x < 1 $ 也推不出 $ \dfrac{1}{2} < x < 2 $ ，所以 $ \dfrac{1}{2} < x < 2 $ 不是使 $ p $ 成立的必要不充分条件，故 $ \mathrm{D} $ 错误.故选 $ \mathrm{A} $ .

由已知可得 $ A=｛a\left|-2\leqslant 2-a < 3,a\in \boldsymbol{Z}｝=｛a\right|-1 < a\leqslant 4,a\in \boldsymbol{Z}｝=｛0,1,2,3,4｝ $ ， $ B=｛b|b < -5 $ 或 $ b > 2｝ $ 且 $ U=\boldsymbol{R} $ ，

$ \therefore {\complement }_{U}B=｛b|-5\leqslant b\leqslant 2｝ $ ， $ A\cap {\complement }_{U}B=｛0,1,2｝ $ ， $ \therefore A\cap {\complement }_{U}B $ 的元素个数为3.故选 $ \mathrm{B} $ .

点 $ P $ 到坐标原点的距离为 $ \sqrt{{ \sin }^{2}{40}^{\circ }+{\left(1+ \cos \text{ }{40}^{\circ }\right) ^ {2}}}=\sqrt{2+2 \cos \text{ }{40}^{\circ }}=\sqrt{2+2×(2{ \cos }^{2}{20}^{\circ }-1)}=2 \cos \text{ }{20}^{\circ } $   ，

由三角函数的定义可知 $ \cos \text{ }\alpha =\dfrac{ \sin \text{ }{40}^{\circ }}{2 \cos \text{ }{20}^{\circ }}=\dfrac{2 \sin \text{ }{20}^{\circ } \cos \text{ }{20}^{\circ }}{2 \cos \text{ }{20}^{\circ }}= \sin \text{ }{20}^{\circ } $   .

$ \because \alpha $   为锐角， $ \therefore \alpha ={70}^{\circ } $   .故选 $ \mathrm{B} $ .

由 $ x > 1 $ 可得 $ x-1 > 0 $ ，所以 $ 2-3x-\dfrac{4}{x-1}=-1-[3(x-1)+\dfrac{4}{x-1}]\leqslant -1-2\sqrt{3(x-1)\cdot \dfrac{4}{x-1}}=-1-4\sqrt{3} $ ，

当且仅当 $ 3(x-1)=\dfrac{4}{x-1} $ ，即 $ x=1+\dfrac{2\sqrt{3}}{3} $ 或 $ x=1-\dfrac{2\sqrt{3}}{3} $ （舍去）时，等号成立.

所以 $ 2-3x-\dfrac{4}{x-1} $ 的最大值是 $ -4\sqrt{3}-1 $ ，故选 $ \mathrm{B} $ .

设直角三角形中较短的直角边的长为 $ x(x > 0) $ ，

$ \therefore {x}^{2}+(x+2)^{2}={10}^{2} $ ，解得 $ x=6 $ .

$ \therefore \sin \theta =\dfrac{3}{5} $ ， $ \cos \theta =\dfrac{4}{5} $ ，

$ \therefore \sin (\theta -\dfrac{\mathrm{\pi }}{2})- \cos (\theta +\dfrac{\mathrm{\pi }}{6})=- \cos \theta -( \cos \theta \cos \dfrac{\mathrm{\pi }}{6}- \sin \theta \sin \dfrac{\mathrm{\pi }}{6})=\dfrac{1}{2} \sin \theta -(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+1) \cos \theta =\dfrac{-4\sqrt{3}-5}{10} $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

因为 $ 1={ \log }_{3}3 < { \log }_{3}4 < { \log }_{3}9=2 $ ,

所以 $ 1 < a < 2 $ .

因为 $ {4}^{b}=5 $ ，所以 $ b={ \log }_{4}5 $ ，

又 $ 1={ \log }_{4}4 < { \log }_{4}5 < { \log }_{4}16=2 $ ，

所以 $ 1 < b < 2 $ .

因为 $ \lg 3 > 0 $ , $ \lg 5 > 0 $ ,所以 $ \lg 3\cdot \lg 5 < {\left(\dfrac{ \lg 3+ \lg 5}{2} \right) ^ {2}}={\left(\dfrac{ \lg 15}{2} \right) ^ {2}}={\left( \lg \sqrt{15} \right) ^ {2}} < ( \lg \sqrt{16})^{2}={\left( \lg 4 \right) ^ {2}} $ ，

所以 $ \dfrac{{\left( \lg 4\right) ^ {2}}}{ \lg 3\cdot \lg 5} > 1 $ ，

所以 $ \dfrac{{ \log }_{3}4}{{ \log }_{4}5}=\dfrac{ \lg 4}{ \lg 3}\cdot \dfrac{ \lg 4}{ \lg 5}=\dfrac{{\left( \lg 4\right) ^ {2}}}{ \lg 3\cdot \lg 5} > 1 $ ，

即 $ a > b $ .

又因为 $ c={0.2}^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{5} > 2 $ ，

所以 $ b < a < c $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

因为 $ f(x) $ 是定义在 $ \boldsymbol{R} $ 上的奇函数,所以 $ f(0)=\dfrac{2-m}{2}=0 $ ,得 $ m=2 $ ,则 $ f(x)=\dfrac{{2}^{x+1}-2}{1+{2}^{x}}=2-\dfrac{4}{1+{2}^{x}} $ ,从而由复合函数单调性可知 $ f(x) $ 在 $ \boldsymbol{R} $ 上单调递增,

又 $ f(x) $ 是定义在 $ \boldsymbol{R} $ 上的奇函数,

所以不等式 $ f(\dfrac{{3}^{x}}{{3}^{x}+1})+f(a\cdot {3}^{x}+a)\leqslant 0 $ 等价于 $ f(\dfrac{{3}^{x}}{{3}^{x}+1})\leqslant f(-a\cdot {3}^{x}-a) $ ,

即等价于 $ \dfrac{{3}^{x}}{{3}^{x}+1}\leqslant -a\cdot {3}^{x}-a $ ,

亦即 $ a\leqslant -\dfrac{{3}^{x}}{{\left({3}^{x}+1\right) ^ {2}}}=-\dfrac{1}{{3}^{x}+\dfrac{1}{{3}^{x}}+2} $ ,

该不等式对任意 $ x\in [1,2] $ 恒成立,则 $ a $ 不大于 $ y=-\dfrac{1}{{3}^{x}+\dfrac{1}{{3}^{x}}+2} $ , $ x\in [1,2] $ 的最小值.

易知 $ y=-\dfrac{1}{{3}^{x}+\dfrac{1}{{3}^{x}}+2} $ 在区间 $ [1,2] $ 上单调递增,

所以当 $ x=1 $ 时, $ y=-\dfrac{1}{{3}^{x}+\dfrac{1}{{3}^{x}}+2} $ , $ x\in [1,2] $ 的最小值 $ {y}_{ \min }=-\dfrac{1}{3+\dfrac{1}{3}+2}=-\dfrac{3}{16} $ ,

所以 $ a\leqslant {y}_{ \min }=-\dfrac{3}{16} $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

由 $ f(x+2)=f(x) $ 知 $ f(x) $ 是周期为2的周期函数，

函数 $ g(x)=f(x)-{ \log }_{a}\left|x\right| $ 至少有6个零点等价于函数 $ y=\text{ }f(x) $ 与 $ h(x)={ \log }_{a}\left|x\right| $ 的图象至少有6个交点. ①当 $ a > 1 $ 时,画出函数 $ y=f(x) $ 与 $ h(x)={ \log }_{a}\left|x\right| $ 的部分图象如图所示.

根据图象可得 $ h(5)={ \log }_{a}5 < 1 $ ,即 $ a > 5 $ .

②当 $ 0 < a < 1 $ 时,画出函数 $ y=f(x) $ 与 $ h(x)={ \log }_{a}\left|x\right| $ 的图象如图所示,.

根据图象可得 $ h(-5)={ \log }_{a}5\geqslant -1 $ ,即 $ 0 < a\text{ }\leqslant \dfrac{1}{5} $ .

综上所述,实数 $ a $ 的取值范围是 $ (0,\dfrac{1}{5}]\cup (5,+\mathrm{\infty }) $ .故选 $ \mathrm{A} $ .

若 $ a > 1 $ ，则函数 $ y={a}^{x} $ 是 $ \boldsymbol{R} $ 上的增函数，函数 $ y={x}^{2}+ax+a-3 $ 图象的对称轴方程为 $ x=-\dfrac{a}{2} $ 且 $ -\dfrac{a}{2} < 0 $ ，此时 $ \mathrm{A} $ 符合， $ \mathrm{B} $ 不符合；若 $ 0 < a < 1 $ ，则函数 $ y={a}^{x} $ 是 $ \boldsymbol{R} $ 上的减函数，且当 $ x=0 $ 时， $ {x}^{2}+ax+a-3=a-3 < 0 $ ，所以函数 $ y={x}^{2}+ax+a-3 $ 的图象与 $ y $ 轴的负半轴相交，此时 $ \mathrm{C} $ 符合， $ \mathrm{D} $ 不符合.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{C} $ .

对 $ \mathrm{A} $ 选项： $ a > 0 $ , $ b > 0 $ ,且 $ a+b=4 $ ,故 $ {a}^{2}+{b}^{2}={\left(a+b\right) ^ {2}}-2ab={4}^{2}-2ab\geqslant 16-2{\left(\dfrac{a+b}{2}\right) ^ {2}}=8 $ ,当且仅当 $ a=b=2 $ 时等号成立,即 $ {a}^{2}+{b}^{2}\geqslant 8 $ ,故 $ \mathrm{A} $ 正确；

对 $ \mathrm{B} $ 选项： $ a > 0 $ , $ b > 0 $ ,且 $ a+b=4 $ ,

故 $ { \log }_{2}a+{ \log }_{2}b={ \log }_{2}(ab)\leqslant { \log }_{2}{\left(\dfrac{a+b}{2}\right) ^ {2}}={ \log }_{2}4=2 $ ,当且仅当 $ a=b=2 $ 时等号成立,即 $ { \log }_{2}a+{ \log }_{2}b\leqslant 2 $ ,故 $ \mathrm{B} $ 错误；

对 $ \mathrm{C} $ 选项： $ a > 0 $ , $ b > 0 $ ,且 $ a+b=4 $ ,

故 $ {2}^{a}+{2}^{b}\geqslant 2\sqrt{{2}^{a}\cdot {2}^{b}}=2\sqrt{{2}^{a+b}}=2\sqrt{{2}^{4}}=8 $ ,当且仅当 $ a=b=2 $ 时等号成立,即 $ {2}^{a}+{2}^{b}\geqslant 8 $ ,故 $ \mathrm{C} $ 正确；

对 $ \mathrm{D} $ 选项： $ a > 0 $ , $ b > 0 $ ,且 $ a+b=4 $ ,

故 $ (\sqrt{a+1}+\sqrt{b+3})^{2}=a+1+b+3+2\sqrt{ (a+1 ) (b+3 )}\leqslant a+b+4+2×\dfrac{a+1+b+3}{2}=4+4+2×\dfrac{4+4}{2}=16 $ ,当且仅当 $ a+1=b+3 $ ,且 $ a+b=4 $ ,即 $ a=3 $ , $ b=1 $ 时等号成立,即 $ \sqrt{a+1}+\sqrt{b+3}\leqslant 4 $ ,故 $ \mathrm{D} $ 正确.

故选 $ \mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{D} $ .

将 $ y={f}_{0}(x) $ 图象上的所有的点向左平移 $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{4} $ 个单位长度，得到 $ y= \sin (x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{4}) $ 的图象，

再将 $ y= \sin (x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{4}) $ 图象上的所有点的横坐标变成原来的 $ \dfrac{1}{\omega }(\omega > 0) $ 倍（纵坐标不变），得到 $ y= \sin (\omega x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{4}) $ 的图象，

再将 $ y= \sin (\omega x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{4}) $ 的图象上的所有点的纵坐标变成原来的2倍（横坐标不变），得到 $ y=2 \sin (\omega x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{4}) $ 的图象.

综上可得， $ f(x)=2 \sin (\omega x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{4}) $ .

对于 $ \mathrm{A} $ ，当 $ \omega =\dfrac{1}{2} $ 时， $ f(x) $ 的最小正周期为 $ \dfrac{2\mathrm{\pi }}{\dfrac{1}{2}}=4\mathrm{\pi } $ ， $ \mathrm{A} $ 正确；

对于 $ \mathrm{B} $ ，当 $ \omega =\dfrac{\mathrm{\pi }}{2} $ 时，函数 $ f(x+\varphi )=2 \sin (\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}\varphi +\dfrac{\mathrm{\pi }}{4})(\varphi > 0) $ 是偶函数，

则 $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{2}\varphi +\dfrac{\mathrm{\pi }}{4}=\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}+k\mathrm{\pi } $ ， $ k\in \boldsymbol{Z} $ ，可得 $ \varphi =\dfrac{1}{2}+2k $ ， $ k\in \boldsymbol{Z} $ ,故 $ \varphi $ 的最小值为 $ \dfrac{1}{2} $ ， $ \mathrm{B} $ 错误；

对于 $ \mathrm{C} $ ，当 $ \omega =\mathrm{\pi } $ 时， $ f(x)=2 \sin (\mathrm{\pi }x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{4}) $ 的周期为2，且 $ f(1)+f(2)=0 $ ，

所以 $ f(1)+f(2)+f(3)+\cdots +f(2025)=f(2025)=f(1)=-\sqrt{2} $ ， $ \mathrm{C} $ 正确；

对于 $ \mathrm{D} $ ，由 $ x\in [0,2\mathrm{\pi }] $ ，则 $ \omega x+\dfrac{\mathrm{\pi }}{4}\in [\dfrac{\mathrm{\pi }}{4},2\mathrm{\pi }\omega +\dfrac{\mathrm{\pi }}{4}] $ ，又 $ f(x) $ 在 $ [0,2\mathrm{\pi }] $ 上有且仅有5个零点，所以 $ 5\mathrm{\pi }\leqslant 2\mathrm{\pi }\omega +\dfrac{\mathrm{\pi }}{4} < 6\mathrm{\pi } $ ，则 $ \dfrac{19}{8}\leqslant \omega < \dfrac{23}{8} $ ， $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{D} $ .

由幂函数 $ f(x)=({m}^{2}-2m-7){x}^{m} $ 为偶函数，则 $ {m}^{2}-2m-7=1 $ 且 $ m $ 为偶数，解得 $ m=4 $ 或 $ m=-2 $ .

又因为函数 $ f(x) $ 在 $ (0,+\mathrm{\infty }) $ 上单调递减，所以 $ m < 0 $ ，所以 $ m=-2 $ .

故 $ \dfrac{m \sin {64}^{\circ }+ \cos {34}^{\circ }}{ \sin {34}^{\circ }} $

$ =\dfrac{-2 \sin {64}^{\circ }+ \cos {34}^{\circ }}{ \sin {34}^{\circ }} $

$ =\dfrac{-2 \sin ({30}^{\circ }+{34}^{\circ })+ \cos {34}^{\circ }}{ \sin {34}^{\circ }} $

$ =\dfrac{-2( \sin {30}^{\circ } \cos {34}^{\circ }+ \cos {30}^{\circ } \sin {34}^{\circ })+ \cos {34}^{\circ }}{ \sin {34}^{\circ }} $

$ =\dfrac{-2(\dfrac{1}{2} \cos {34}^{\circ }+\dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin {34}^{\circ })+ \cos {34}^{\circ }}{ \sin {34}^{\circ }} $

$ =\dfrac{-\sqrt{3} \sin {34}^{\circ }}{ \sin {34}^{\circ }}=-\sqrt{3} $ .

根据题意,温度每增加10开,反应速率常数 $ k $ 变为原来的2倍,

则当温度从300开上升到400开时,反应速率常数 $ k $ 变为300开时的 $ {2}^{10} $ 倍.

由 $ k=A{\mathrm{e}}^{-\frac{{E}_{a}}{RT}} $ ,

可得当 $ T=300 $ 开时, $ {k}_{1}=A{\mathrm{e}}^{-\frac{{E}_{a}}{300R}} $ ,

当 $ T=400 $ 开时, $ {k}_{2}=A{\mathrm{e}}^{-\frac{{E}_{a}}{400R}} $ ,

所以 $ \dfrac{{k}_{2}}{{k}_{1}}=\dfrac{A{\mathrm{e}}^{-\frac{{E}_{a}}{400R}}}{A{\mathrm{e}}^{-\frac{{E}_{a}}{300R}}}={2}^{10} $ ,

$ {\mathrm{e}}^{\frac{{E}_{a}}{300R}-\frac{{E}_{a}}{400R}}={2}^{10} $ , $ {\mathrm{e}}^{\frac{{E}_{a}}{R}(\frac{1}{300}-\frac{1}{400})}={2}^{10} $ ,

$ {\mathrm{e}}^{\frac{{E}_{a}}{1200R}}={2}^{10} $ , $ \dfrac{{E}_{a}}{1200R}=10 \ln 2 $ ,

则 $ \dfrac{{E}_{a}}{R}=12000 \ln 2\approx 12000×0.7=8400 $ .

当 $ x\leqslant 0 $ 时, $ f(x) $ 的图象是开口向上、对称轴为直线 $ x=-2 $ 的抛物线 $ y={x}^{2}+4x+3 $ 在 $ y $ 轴及 $ y $ 轴左侧的部分;

当 $ x > 0 $ 时, $ f(x) $ 的图象是对数函数 $ y={ \log }_{3}x $ 的图象向上平移1个单位长度得到的.

综上可得 $ f(x) $ 的大致图象如图所示.

对于①,观察图象知,当 $ t > 3 $ 时,方程 $ f(x)=t $ 只有2个实数根,①错误；

对于②,当 $ {x}_{0} > 0 $ 时,要使得 $ f(-{x}_{0})=f({x}_{0}) $ 成立,只需使 $ y={x}^{2}-4x+3 $ 与 $ y=1+{ \log }_{3}x $ 的图象在 $ (0,+\mathrm{\infty }) $ 上有交点,

$ y={x}^{2}-4x+3(x > 0) $ 的图象与 $ y={x}^{2}+4x+3(x < 0) $ 的图象关于 $ y $ 轴对称,

显然 $ y={x}^{2}-4x+3(x > 0) $ 的图象与函数 $ y=1+{ \log }_{3}x $ 的图象有公共点,②正确；

对于③,不妨设互不相等的实数 $ {x}_{1} $ , $ {x}_{2} $ , $ {x}_{3} $ 的大小关系为 $ {x}_{1} < {x}_{2} < {x}_{3} $ ,当满足 $ f({x}_{1})=f({x}_{2})=f({x}_{3}) $ 时,由图象可知 $ \dfrac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=-2 $ ,即 $ {x}_{1}+{x}_{2}=-4 $ ,当 $ x > 0 $ 时,令 $ f(x)=-1 $ ,即 $ 1+{ \log }_{3}x=-1 $ ,解得 $ x=\dfrac{1}{9} $ ,

当 $ x > 0 $ 时,令 $ f(x)=3 $ ,即 $ 1+{ \log }_{3}x=3 $ ,解得 $ x=9 $ ,因此 $ \dfrac{1}{9} < {x}_{3}\leqslant 9 $ ,所以 $ -\dfrac{35}{9} < {x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}\leqslant 5 $ ,③正确.

综上，所有正确结论的序号是②③.