1.1.1 空间向量及其线性运算

选项 $ \mathrm{A} $ :由空间向量的定义知,空间向量具有大小和方向,所以任意两个空间向量都不能比较大小,故 $ \mathrm{A} $ 为真命题；选项 $ \mathrm{B} $ :两个向量的模相等,其方向不一定相同,充分性不成立,两个相等向量的模一定相等,必要性成立,故 $ \mathrm{B} $ 为真命题；选项 $ \mathrm{C} $ :长度为0的向量叫做零向量,只有零向量的模等于0,故 $ \mathrm{C} $ 为真命题；选项 $ \mathrm{D} $ :共线的单位向量是相等向量或相反向量,故 $ \mathrm{D} $ 为假命题.故选 $ \mathrm{D} $ .

对于①，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，它们的终点构成一个球面，故①为假命题；

对于②，根据正方体的性质，上、下底面的对角线长必定相等，结合向量的方向，有 $ \overrightarrow {AC}=\overrightarrow {{A}_{1}{C}_{1}} $ ，故②为真命题；

对于③，根据向量相等的定义，明显成立，

故③为真命题；

对于④，当 $ \boldsymbol{a}=0 $ , $ \boldsymbol{b}\ne 0 $ 时， $ \boldsymbol{a}//\boldsymbol{b} $ ，但不能说 $ \boldsymbol{a} $ 与 $ \boldsymbol{b} $ 的方向相同或相反，故④为假命题.故选 $ \mathrm{B} $ .

依题意, $ \overrightarrow {DA}+\overrightarrow {CD}-\overrightarrow {CB}=\overrightarrow {DA}+\overrightarrow {BD}=\overrightarrow {BA} $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

在平行六面体 $ ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1} $ 中,由 $ \overrightarrow {AB}=\boldsymbol{a} $ , $ \overrightarrow {AD}=\boldsymbol{b} $ , $ \overrightarrow {A{A}_{1}}=\boldsymbol{c} $ ,根据空间向量的线性运算法则,可得 $ \overrightarrow {{D}_{1}B}=\overrightarrow {AB}-\overrightarrow {A{D}_{1}}=\overrightarrow {AB}-(\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {A{A}_{1}})=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c} $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

$ \because \overrightarrow {AO}+\overrightarrow {OB}=\overrightarrow {DO}+\overrightarrow {OC} $ , $ \therefore \overrightarrow {AB}=\overrightarrow {DC} $ , $ \therefore AB//DC $ 且 $ \left|\overrightarrow {AB}\right|=\left|\overrightarrow {DC}\right| $ , $ \therefore $ 四边形 $ ABCD $ 为平行四边形.故选 $ \mathrm{A} $ .

$ \left|\overrightarrow {AB}-\overrightarrow {CB}+\overrightarrow {C{B}_{1}}\right|=\left|\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {C{B}_{1}}\right|=\left|\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {C{B}_{1}}\right|=\left|\overrightarrow {A{B}_{1}}\right|=\sqrt{2} $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

因为四边形 $ ABCD $ 为平行四边形,所以 $ M $ 为 $ AC $ 和 $ BD $ 的中点,所以 $ 2\overrightarrow {OA}-\overrightarrow {OB}+2\overrightarrow {OC}-\overrightarrow {OD}=2(\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OC})-(\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OD})=2×2\overrightarrow {OM}-2\overrightarrow {OM}=2\overrightarrow {OM} $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

如图, $ \overrightarrow {AE}=\overrightarrow {AO}+\overrightarrow {OE}=\overrightarrow {AO}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow {OD}=\overrightarrow {AO}+\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}(\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC})=-\boldsymbol{a}+\dfrac{1}{4}\boldsymbol{b}+\dfrac{1}{4}\boldsymbol{c} $ .故选 $ \mathrm{A} $ .

由题意可得 $ \overrightarrow {GF}=\overrightarrow {GE}+\overrightarrow {EF}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow {AE}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow {B{C}_{1}}=\dfrac{1}{3}×\dfrac{1}{2}(\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AC})+\dfrac{1}{2}(\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {B{B}_{1}})=\dfrac{1}{6}\overrightarrow {AB}+\dfrac{1}{6}\overrightarrow {AC}+\dfrac{1}{2}(\overrightarrow {AC}-\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {B{B}_{1}})=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow {AC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow {B{B}_{1}}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow {AC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow {A{A}_{1}} $ .故选 $ \mathrm{A} $ .

对于①，若向量 $ \boldsymbol{a} $ , $ \boldsymbol{b} $ 共线，则向量 $ \boldsymbol{a} $ , $ \boldsymbol{b} $ 所在的直线可能平行，也可能重合，故①错误；

对于②，由于向量可以平移，故两个向量一定共面，故②错误；

对于③，在正方体 $ ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1} $ 中， $ \overrightarrow {AB} $ , $ \overrightarrow {AD} $ , $ \overrightarrow {A{A}_{1}} $ 两两共面，但显然三个向量不共面，故③错误；

对于④，若空间向量 $ \overrightarrow {AB} $ , $ \overrightarrow {CD} $ 共线，则 $ A $ ， $ B $ ， $ C $ ， $ D $ 四点不一定共线，但一定共面，故④错误.所以四个选项都是错误的.故选 $ \mathrm{A} $ .

$ \because \overrightarrow {BD}=\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {CD}=2\boldsymbol{a}+4\boldsymbol{b}=2\overrightarrow {AB} $ ,且 $ \overrightarrow {AB} $ , $ \overrightarrow {BD} $ 有公共点 $ B $ ， $ \therefore A $ , $ B $ , $ D $ 三点共线.

由共面向量定理和四点共面结论判断 $ .\mathrm{A} $ 选项：系数和 $ 3+(-2)+(-1)=0 $ ,所以 $ A $ , $ B $ , $ C $ , $ M $ 四点不一定共面,故 $ \mathrm{A} $ 错误； $ \mathrm{B} $ 选项：由 $ \overrightarrow {AM}=\overrightarrow {OM}-\overrightarrow {OA} $ ,得 $ \overrightarrow {OM}=4\overrightarrow {OA}-2\overrightarrow {OB}-\overrightarrow {OC} $ ,则系数和为1,所以 $ A $ , $ B $ , $ C $ , $ M $ 四点共面,故 $ \mathrm{B} $ 正确； $ \mathrm{C} $ 选项：整理得 $ \overrightarrow {OM}=-\overrightarrow {OA}-\overrightarrow {OB}-\overrightarrow {OC} $ ,系数和为 $ -3 $ ,所以 $ A $ , $ B $ , $ C $ , $ M $ 四点不一定共面,故 $ \mathrm{C} $ 错误； $ \mathrm{D} $ 选项： $ \overrightarrow {MC}=\overrightarrow {MA}+2\overrightarrow {MB} $ ,则 $ \overrightarrow {MC} $ , $ \overrightarrow {MA} $ , $ \overrightarrow {MB} $ 三个向量共面,所以 $ A $ , $ B $ , $ C $ , $ M $ 四点共面,故 $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{B}\mathrm{D} $ .

由 $ \overrightarrow {AC}=\overrightarrow {OC}-\overrightarrow {OA} $ ,得 $ \overrightarrow {OA}=2m\overrightarrow {OB}+n\overrightarrow {OD}+k\overrightarrow {OC}-k\overrightarrow {OA} $ ,则 $ (k+1)\cdot \overrightarrow {OA}=2m\overrightarrow {OB}+n\overrightarrow {OD}+k\overrightarrow {OC} $ ,显然 $ k\ne -1 $ ,否则 $ \overrightarrow {OC}=2m\overrightarrow {OB}+n\overrightarrow {OD} $ ,即点 $ O $ , $ B $ , $ C $ , $ D $ 共面,矛盾,因此 $ \overrightarrow {OA}=\dfrac{2m}{k+1}\overrightarrow {OB}+\dfrac{n}{k+1}\overrightarrow {OD}+\dfrac{k}{k+1}\overrightarrow {OC} $ .由共面向量定理的推论,得 $ \dfrac{2m}{k+1}+\dfrac{n}{k+1}+\dfrac{k}{k+1}=1 $ ,所以 $ 2m+n=1 $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

$ \mathrm{A}\mathrm{C} $ 为真命题 $ .\mathrm{B} $ 中需满足 $ \boldsymbol{a} $ , $ \boldsymbol{b} $ 不共线, $ \mathrm{D} $ 中需满足 $ M $ , $ A $ , $ B $ 三点不共线.

当 $ x=2 $ , $ y=-3 $ , $ z=2 $ 时, $ \overrightarrow {OP}=2\overrightarrow {OA}-3\overrightarrow {OB}+2\overrightarrow {OC} $ ,则 $ \overrightarrow {AP}-\overrightarrow {AO}=2\overrightarrow {OA}-3(\overrightarrow {AB}-\overrightarrow {AO})+2(\overrightarrow {AC}-\overrightarrow {AO}) $ ,即 $ \overrightarrow {AP}=-3\overrightarrow {AB}+2\overrightarrow {AC} $ ,根据共面向量定理知, $ P $ , $ A $ , $ B $ , $ C $ 四点共面.反之,当 $ P $ , $ A $ , $ B $ , $ C $ 四点共面时,根据共面向量定理,

设 $ \overrightarrow {AP}=m\overrightarrow {AB}+n\overrightarrow {AC}(m,n\in \boldsymbol{R}) $ ,即 $ \overrightarrow {OP}-\overrightarrow {OA}=m(\overrightarrow {OB}-\overrightarrow {OA})+n(\overrightarrow {OC}-\overrightarrow {OA}) $ ,即 $ \overrightarrow {OP}=(1-m-n)\overrightarrow {OA}+m\overrightarrow {OB}+n\overrightarrow {OC} $ ,即 $ x=1-m-n $ , $ y=m $ , $ z=n $ ,这组数显然不止 $ {\rm 2,} -3 {\rm ,2} $ .故“ $ x=2 $ , $ y=-3 $ , $ z=2 $ ”是“ $ P $ , $ A $ , $ B $ , $ C $ 四点共面”的充分不必要条件.故选 $ \mathrm{B} $ .