1.1.2 空间向量的数量积运算

选项 $ \mathrm{A} $ ,由数量积的定义知 $ \mathrm{A} $ 正确；选项 $ \mathrm{B} $ ,当 $ \boldsymbol{a}=0 $ 时, $ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{c}=0 $ ,但无法得到 $ \boldsymbol{b}=\boldsymbol{c} $ ,所以 $ \mathrm{B} $ 错误；选项 $ \mathrm{C} $ ,由数量积的分配律可知 $ \mathrm{C} $ 正确；选项 $ \mathrm{D} $ ,因为向量 $ \boldsymbol{a} $ , $ \boldsymbol{b} $ 同向共线,所以 $ \cos ⟨\boldsymbol{a} $ , $ \boldsymbol{b}⟩=1 $ ,所以 $ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right| $ ,所以 $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{B} $ .

由数量积的性质和运算律可知 $ \mathrm{A}\mathrm{D} $ 是正确的.

对于 $ \mathrm{B} $ , $ \dfrac{\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}}{{\boldsymbol{a}}^{2}}=\dfrac{\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right| \cos ⟨\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}⟩}{{\left|\boldsymbol{a}\right|}^{2}}=\dfrac{\left|\boldsymbol{b}\right| \cos ⟨\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}⟩}{\left|\boldsymbol{a}\right|} $ ,向量无除法运算,故 $ \mathrm{B} $ 错误；对于 $ \mathrm{C} $ , $ {\left(\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}\right) ^ {2}}={\left(\left|\boldsymbol{a}\right|\cdot \left|\boldsymbol{b}\right|\cdot \cos ⟨\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}⟩\right) ^ {2}}={\boldsymbol{a}}^{2}\cdot {\boldsymbol{b}}^{2}\cdot { \cos }^{2}⟨\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}⟩ $ ,故 $ \mathrm{C} $ 错误.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{D} $ .

对于 $ \mathrm{A} $ ,由图可知, $ \overrightarrow {{A}_{1}{B}_{1}}\cdot \overrightarrow {AC}=\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AC}=\sqrt{2}×1×\dfrac{\sqrt{2}}{2}=1 $ , $ \mathrm{A} $ 正确；

对于 $ \mathrm{B} $ , $ \overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {{A}_{1}C}=\overrightarrow {AB}\cdot (\overrightarrow {{A}_{1}A}+\overrightarrow {AC})=\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {{A}_{1}A}+\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AC}=\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AC}=1 $ , $ \mathrm{B} $ 正确；

对于 $ \mathrm{C} $ , $ \overrightarrow {CD}\cdot \overrightarrow {A{B}_{1}}=\overrightarrow {CD}\cdot (\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {B{B}_{1}})=\overrightarrow {CD}\cdot \overrightarrow {AB}+\overrightarrow {CD}\cdot \overrightarrow {B{B}_{1}}=-1 $ , $ \mathrm{C} $ 错误；

对于 $ \mathrm{D} $ ,因为 $ AB\perp $ 侧面 $ AD{D}_{1}{A}_{1} $ , $ {A}_{1}D\subset $ 平面 $ AD{D}_{1}{A}_{1} $ ,所以 $ AB\perp {A}_{1}D $ ,即 $ \overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {{A}_{1}D}=0 $ , $ \mathrm{D} $ 错误.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{B} $ .

根据题意, $ \overrightarrow {A{B}_{1}}=\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {A{A}_{1}} $ , $ \overrightarrow {B{C}_{1}}=\overrightarrow {BA}+\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {C{C}_{1}}=-\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {A{A}_{1}} $ , $ \mathrm{\angle }BA{A}_{1}=\mathrm{\angle }CA{A}_{1}=\mathrm{\angle }BAC={60}^{\circ } $ ,则 $ \overrightarrow {A{B}_{1}}\cdot \overrightarrow {B{C}_{1}}=(\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {A{A}_{1}})\cdot (-\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {A{A}_{1}})=-{\overrightarrow {AB}}^{2}+\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AC}+\overrightarrow {AC}\cdot \overrightarrow {A{A}_{1}}+{\overrightarrow {A{A}_{1}}}^{2}=-4+2×2× \cos {60}^{\circ }+2×2× \cos {60}^{\circ }+4=4 $ .

因为 $ \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=0 $ ,所以 $ {\left(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}\right) ^ {2}}=0 $ ,则 $ {\boldsymbol{a}}^{2}+{\boldsymbol{b}}^{2}+{\boldsymbol{c}}^{2}+2(\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{c}+\boldsymbol{c}\cdot \boldsymbol{a})=0 $ ,因此 $ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{c}+\boldsymbol{c}\cdot \boldsymbol{a}=-\dfrac{{3}^{2}+{1}^{2}+{4}^{2}}{2}=-13 $ .

在空间四边形 $ ABCD $ 中, $ BD=\sqrt{3}CD $ , $ \mathrm{\angle }ADC=\dfrac{\mathrm{\pi }}{6} $ , $ \mathrm{\angle }ADB=\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ ,则 $ \overrightarrow {DA}\cdot \overrightarrow {BC}=\overrightarrow {DA}\cdot (\overrightarrow {DC}-\overrightarrow {DB})=\overrightarrow {DA}\cdot \overrightarrow {DC}-\overrightarrow {DA}\cdot \overrightarrow {DB}=\left|\overrightarrow {DA}\right|\left|\overrightarrow {DC}\right|\cdot \cos \mathrm{\angle }ADC-\left|\overrightarrow {DA}\right|\left|\overrightarrow {DB}\right| \cos \mathrm{\angle }ADB=\left|\overrightarrow {DA}\right|\left|\overrightarrow {DC}\right|\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}-\left|\overrightarrow {DA}\right|\cdot \sqrt{3}\left|\overrightarrow {DC}\right|\cdot \dfrac{1}{2}=0 $ ,所以 $ \cos ⟨\overrightarrow {DA} $ , $ \overrightarrow {BC}⟩=\dfrac{\overrightarrow {DA}\cdot \overrightarrow {BC}}{\left|\overrightarrow {DA}\right|\left|\overrightarrow {BC}\right|}=0 $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

设 $ \boldsymbol{a} $ 与 $ \boldsymbol{b} $ 的夹角为 $ \theta $ .由 $ \boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}+\sqrt{7}\boldsymbol{c}=0 $ ，得 $ \boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}=-\sqrt{7}\boldsymbol{c} $ ，两边平方得 $ {\boldsymbol{a}}^{2}+4\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}+4{\boldsymbol{b}}^{2}=7{\boldsymbol{c}}^{2} $ ，所以 $ 1+4×1×1× \cos \theta +4=7 $ ，解得 $ \cos \theta =\dfrac{1}{2} $ .又 $ \theta \in [0,\mathrm{\pi }] $ ，所以 $ \theta =\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

因为 $ \overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AC}=0 $ , $ \overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AD}=0 $ , $ \overrightarrow {AC}\cdot \overrightarrow {AD}=0 $ ,

所以 $ \overrightarrow {BC}\cdot \overrightarrow {BD}=(\overrightarrow {AC}-\overrightarrow {AB})\cdot (\overrightarrow {AD}-\overrightarrow {AB})=\overrightarrow {AC}\cdot \overrightarrow {AD}-\overrightarrow {AC}\cdot \overrightarrow {AB}-\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AD}+{\overrightarrow {AB}}^{2}={\overrightarrow {AB}}^{2} > 0 $ ,所以 $ \cos \mathrm{\angle }CBD=\dfrac{\overrightarrow {BC}\cdot \overrightarrow {BD}}{\left|\overrightarrow {BC}\right|\left|\overrightarrow {BD}\right|} > 0 $ ,故 $ \mathrm{\angle }CBD $ 是锐角.同理 $ \overrightarrow {CB}\cdot \overrightarrow {CD} > 0 $ , $ \overrightarrow {DC}\cdot \overrightarrow {DB} > 0 $ ,可得 $ \mathrm{\angle }BCD $ , $ \mathrm{\angle }CDB $ 都是锐角,故 $ △BCD $ 是锐角三角形,故选 $ \mathrm{B} $ .

由于 $ \boldsymbol{i} $ , $ \boldsymbol{j} $ , $ \boldsymbol{k} $ 是两两垂直的单位向量,故 $ \boldsymbol{i}\cdot \boldsymbol{j}=\boldsymbol{j}\cdot \boldsymbol{k}=\boldsymbol{i}\cdot \boldsymbol{k}=0 $ ,且 $ \left|\boldsymbol{i}\right|=\left|\boldsymbol{j}\right|=\left|\boldsymbol{k}\right|=1 $ ,则 $ 5\boldsymbol{a}\cdot 3\boldsymbol{b}=15×(3\boldsymbol{i}+2\boldsymbol{j}-\boldsymbol{k})\cdot (\boldsymbol{i}-\boldsymbol{j}+2\boldsymbol{k})=15×(3-2-2)=-15 $ .故选 $ \mathrm{A} $ .

由于 $ PA=AB $ ，且 $ P-ABCD $ 是正四棱锥，故 $ \overrightarrow {AB}\perp \overrightarrow {AD} $ ，且侧面均为等边三角形，则 $ \overrightarrow {MN}\cdot \overrightarrow {AD}=(\overrightarrow {AN}-\overrightarrow {AM})\cdot \overrightarrow {AD}=(\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BN}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AP})\cdot \overrightarrow {AD}=(\overrightarrow {AB}+\dfrac{1}{\mu }\overrightarrow {BD}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AP})\cdot \overrightarrow {AD}=[\overrightarrow {AB}+\dfrac{1}{\mu }(\overrightarrow {AD}-\overrightarrow {AB})-\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AP}]\cdot \overrightarrow {AD}=\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AD}+\dfrac{1}{\mu }\overrightarrow {AD}\cdot \overrightarrow {AD}-\dfrac{1}{\mu }\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AD}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AP}\cdot \overrightarrow {AD}=\dfrac{1}{\mu }{\overrightarrow {AD}}^{2}-\dfrac{1}{2}|\overrightarrow {AD}||\overrightarrow {AD}|\cdot \cos {60}^{\circ }=0 $ ，故 $ \dfrac{1}{\mu }=\dfrac{1}{4} $ ，则 $ \mu =4 $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

由题意知 $ \overrightarrow {AB} $ , $ \overrightarrow {AD} $ , $ \overrightarrow {AA\prime } $ 两两垂直,且 $ \left|\overrightarrow {AB}\right|=\left|\overrightarrow {AD}\right|=\left|\overrightarrow {AA\prime }\right|=a $ ,则 $ \overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AA\prime }=\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AD}=\overrightarrow {AD}\cdot \overrightarrow {AA\prime }=0 $ ,所以 $ (\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AD})\cdot (\overrightarrow {AB}-\overrightarrow {AA\prime })={\overrightarrow {AB}}^{2}-\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AA\prime }+\overrightarrow {AD}\cdot \overrightarrow {AB}-\overrightarrow {AD}\cdot \overrightarrow {AA\prime }={a}^{2}=1 $ ,所以 $ a=1 $ （负值已舍去）.故选 $ \mathrm{C} $ .

如图，在正四棱台 $ ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1} $ 中，过点 $ {A}_{1} $ 向 $ AB $ 作垂线，垂足为 $ E $ ，

则 $ AE=A{A}_{1} \cos \mathrm{\angle }BA{A}_{1}=\dfrac{\sqrt{2}}{4} $ ，

所以 $ |\overrightarrow {{A}_{1}{B}_{1}}|=\sqrt{2}-2×\dfrac{\sqrt{2}}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} $ ，

所以 $ {\overrightarrow {A{C}_{1}}}^{2}=(\overrightarrow {A{A}_{1}}+\overrightarrow {{A}_{1}{B}_{1}}+\overrightarrow {{B}_{1}{C}_{1}})^{2} $

$ ={|\overrightarrow {A{A}_{1}}|}^{2}+{|\overrightarrow {{A}_{1}{B}_{1}}|}^{2}+{|\overrightarrow {{B}_{1}{C}_{1}}|}^{2}+2\overrightarrow {A{A}_{1}}\cdot \overrightarrow {{A}_{1}{B}_{1}}+2\overrightarrow {{A}_{1}{B}_{1}}\cdot \overrightarrow {{B}_{1}{C}_{1}}+2\overrightarrow {A{A}_{1}}\cdot \overrightarrow {{B}_{1}{C}_{1}} $

$ =1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+0+\dfrac{1}{2}=3 $ ，

即 $ |\overrightarrow {A{C}_{1}}|=\sqrt{3} $ .故选 $ \mathrm{A} $ .

$ \because $ 二面角 $ \alpha -l-\beta $ 的大小为 $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ , $ AC\perp l $ , $ BD\perp l $ , $ \therefore ⟨\overrightarrow {AC} $ , $ \overrightarrow {BD}⟩=\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ , $ ⟨\overrightarrow {CA} $ , $ \overrightarrow {BD}⟩=\dfrac{2\mathrm{\pi }}{3} $ .

由题意得 $ \overrightarrow {CD}=\overrightarrow {CA}+\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BD} $ ,故 $ {\overrightarrow {CD}}^{2}={\left(\overrightarrow {CA}+\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BD}\right) ^ {2}}={\overrightarrow {CA}}^{2}+{\overrightarrow {AB}}^{2}+{\overrightarrow {BD}}^{2}+2\overrightarrow {CA}\cdot \overrightarrow {AB}+2\overrightarrow {CA}\cdot \overrightarrow {BD}+2\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {BD} $ , $ \therefore 49=9+{\left|\overrightarrow {AB}\right|}^{2}+16+0+2×3×4× \cos \dfrac{2\mathrm{\pi }}{3}+0 $ , $ \therefore \left|\overrightarrow {AB}\right|=6 $ ,故线段 $ AB $ 的长为6.故选 $ \mathrm{B} $ .

因为 $ \left|\boldsymbol{a}\right|=\left|\boldsymbol{b}\right|=\left|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\right| $ ,所以 $ {\left|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\right|}^{2}={\left|\boldsymbol{a}\right|}^{2}+{\left|\boldsymbol{b}\right|}^{2}+2\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|\cdot \cos ⟨\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}⟩=2{\left|\boldsymbol{a}\right|}^{2}+2{\left|\boldsymbol{a}\right|}^{2} \cos ⟨\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}⟩=2{\left|\boldsymbol{a}\right|}^{2}(1+ \cos ⟨\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}⟩)={\left|\boldsymbol{a}\right|}^{2} {\rm ,} $ ,所以 $ \cos ⟨\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}⟩=-\dfrac{1}{2} $ ,所以 $ \boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b} $ 在 $ \boldsymbol{b} $ 上的投影向量为 $ \dfrac{(\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b})\cdot \boldsymbol{b}}{{\left|\boldsymbol{b}\right|}^{2}}\cdot \boldsymbol{b}=\dfrac{\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}+2{\boldsymbol{b}}^{2}}{{\left|\boldsymbol{b}\right|}^{2}}\cdot \boldsymbol{b}=\dfrac{-\dfrac{1}{2}{\left|\boldsymbol{b}\right|}^{2}+2{\left|\boldsymbol{b}\right|}^{2}}{{\left|\boldsymbol{b}\right|}^{2}}\cdot \boldsymbol{b}=\dfrac{3}{2}\boldsymbol{b} $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

由题意, $ \left|\boldsymbol{a}\right|=1 $ , $ \left|\boldsymbol{b}\right|=2 $ ,且 $ \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} $ 在 $ \boldsymbol{b} $ 上的投影向量为 $ -\dfrac{3}{4}\boldsymbol{b} $ ,所以 $ \dfrac{(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\cdot \boldsymbol{b}}{{\left|\boldsymbol{b}\right|}^{2}}\cdot \boldsymbol{b}=-\dfrac{3}{4}\boldsymbol{b} $ ,即 $ \dfrac{\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}-{\boldsymbol{b}}^{2}}{{\left|\boldsymbol{b}\right|}^{2}}\cdot \boldsymbol{b}=-\dfrac{3}{4}\boldsymbol{b} $ ,即 $ \dfrac{\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}-4}{4}=-\dfrac{3}{4} $ ,解得 $ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=1 $ .故选 $ \mathrm{A} $ .

如图,取 $ {C}_{1} $ 在下底面的射影点 $ C $ ,作 $ CD\perp AB $ ,垂足为 $ D $ .

连接 $ CO $ , $ C{C}_{1} $ , $ {C}_{1}D $ ,则 $ \mathrm{\angle }COD=\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ ,

因为 $ C{C}_{1}\perp $ 平面 $ ACD $ , $ AD\subset $ 平面 $ ACD $ ,所以 $ C{C}_{1}\perp AD $ ,又 $ CD\perp AD $ , $ C{C}_{1}\cap CD=C $ , $ C{C}_{1} $ , $ CD\subset $ 平面 $ CD{C}_{1} $ ,所以 $ AD\perp $ 平面 $ CD{C}_{1} $ .

又 $ {C}_{1}D\subset $ 平面 $ CD{C}_{1} $ ,所以 $ AD\perp {C}_{1}D $ ,

故 $ \overrightarrow {A{C}_{1}} $ 在 $ \overrightarrow {AB} $ 上的投影向量是 $ \overrightarrow {AD} $ .

设上底面的半径为 $ r $ ,则 $ AB=4r $ , $ OD=\dfrac{1}{2}r $ ,则 $ AD=AO+OD=2r+\dfrac{1}{2}r=\dfrac{5}{2}r=\dfrac{5}{8}AB $ .故 $ \overrightarrow {A{C}_{1}} $ 在 $ \overrightarrow {AB} $ 上的投影向量是 $ \dfrac{5}{8}\overrightarrow {AB} $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

由题意知, $ A{A}_{1} $ , $ AB $ , $ AD $ 两两垂直,故 $ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{c}=\boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{c}=0 $ .又 $ \left|\boldsymbol{a}\right|=1 $ , $ \left|\boldsymbol{b}\right|=2 $ , $ \left|\boldsymbol{c}\right|=3 $ ,所以 $ (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot (\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})=\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{c}+{\boldsymbol{b}}^{2}-\boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{c}={\boldsymbol{b}}^{2}=4 $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

$ \because \boldsymbol{a} $ , $ \boldsymbol{b} $ 是两个单位向量, $ \therefore \left|\boldsymbol{a}\right|=\left|\boldsymbol{b}\right|=1.\because $ 向量 $ 2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} $ 在向量 $ \boldsymbol{b} $ 上的投影向量为 $ \dfrac{1}{3}\boldsymbol{b} $ , $ \therefore \dfrac{(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot \boldsymbol{b}}{\left|\boldsymbol{b}\right|}\cdot \dfrac{\boldsymbol{b}}{\left|\boldsymbol{b}\right|}=\dfrac{1}{3}\boldsymbol{b} $ , $ \therefore (2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot \boldsymbol{b}=\dfrac{1}{3}{\left|\boldsymbol{b}\right|}^{2} $ ,即 $ (2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot \boldsymbol{b}=\dfrac{1}{3} $ ,得 $ 2\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}+{\left|\boldsymbol{b}\right|}^{2}=\dfrac{1}{3} $ ,得 $ 2\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}+1=\dfrac{1}{3} $ ,即 $ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=-\dfrac{1}{3} $ , $ \therefore \left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right| \cos ⟨\boldsymbol{a} $ , $ \boldsymbol{b}⟩=-\dfrac{1}{3} $ , $ \therefore \cos ⟨\boldsymbol{a} $ , $ \boldsymbol{b}⟩=-\dfrac{1}{3} $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

$ \overrightarrow {MA}\cdot \overrightarrow {MB}=(\overrightarrow {M{O}_{1}}+\overrightarrow {{O}_{1}A})\cdot (\overrightarrow {M{O}_{1}}+\overrightarrow {{O}_{1}B})={\overrightarrow {M{O}_{1}}}^{2}-{\overrightarrow {{O}_{1}A}}^{2}={|\overrightarrow {M{O}_{1}}|}^{2}-{2}^{2}\geqslant {4}^{2}-{2}^{2}=12 $ ，当且仅当 $ M $ 与 $ O $ 重合时，等号成立，故 $ \overrightarrow {MA}\cdot \overrightarrow {MB} $ 的最小值为12.故选 $ \mathrm{D} $ .

如图所示.对于 $ \mathrm{A} $ ,因为 $ BC\perp BD $ ,所以当平面 $ A^\prime BD\perp $ 平面 $ BCD $ 时,平面 $ A^\prime BD\cap $ 平面 $ BCD=BD $ , $ BC\subset $ 平面 $ BCD $ ,所以 $ BC\perp $ 平面 $ A^\prime BD $ ,又 $ A^\prime B\subset $ 平面 $ A^\prime BD $ ,所以 $ BC\perp A^\prime B $ ,此时 $ \overrightarrow {A^\prime B}\cdot \overrightarrow {BC}=0 $ , $ \mathrm{A} $ 符合题意；对于 $ \mathrm{B} $ ,由 $ AB=2 $ , $ BD=1 $ , $ BD\perp BC $ ,可得 $ \mathrm{\angle }ABD={60}^{\circ } > {45}^{\circ } $ ,则在翻折过程中, $ \mathrm{\angle }A^\prime BA $ 会超过 $ {90}^{\circ } $ ,故存在 $ \mathrm{\angle }A^\prime BA={90}^{\circ } $ ,因为 $ AB//CD $ ,所以直线 $ CD $ 与直线 $ A^\prime B $ 有可能垂直,此时 $ \overrightarrow {A^\prime B}\cdot \overrightarrow {CD}=0 $ , $ \mathrm{B} $ 符合题意；对于 $ \mathrm{C} $ ,由题意得 $ CD=AB=2 $ , $ A^\prime D=AD=\sqrt{3} $ ,则在 $ △A^\prime CD $ 中, $ CD > A^\prime D $ ,所以 $ \mathrm{\angle }A^\prime CD $ 为锐角,故 $ \overrightarrow {A^\prime C}\cdot \overrightarrow {CD} $ 不可能为 $ {\rm 0,} \mathrm{C} $ 不符合题意；对于 $ \mathrm{D} $ ,易知 $ \mathrm{\angle }ADB={90}^{\circ } $ ,将三角形 $ ABD $ 沿着 $ BD $ 翻折 $ {180}^{\circ } $ 时, $ A $ , $ D $ , $ A^\prime $ 三点共线,且四边形 $ A^\prime CBD $ 为矩形,所以 $ A^\prime C\perp AD $ ,此时 $ \overrightarrow {A^\prime C}\cdot \overrightarrow {AD}=0 $ , $ \mathrm{D} $ 符合题意.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{D} $ .

对于 $ \mathrm{A} $ ,由题意得, $ \overrightarrow {PA}\cdot \overrightarrow {PB}=1×1× \cos {60}^{\circ }=\dfrac{1}{2} $ ,故 $ \mathrm{A} $ 正确.

对于 $ \mathrm{B} $ , $ \overrightarrow {PA}\cdot (\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {AC})=\overrightarrow {PA}\cdot (\overrightarrow {PC}-\overrightarrow {PB}+\overrightarrow {PC}-\overrightarrow {PA})=\overrightarrow {PA}\cdot (2\overrightarrow {PC}-\overrightarrow {PB}-\overrightarrow {PA})=2\overrightarrow {PA}\cdot \overrightarrow {PC}-\overrightarrow {PA}\cdot \overrightarrow {PB}-{\overrightarrow {PA}}^{2}=2×1×1× \cos {60}^{\circ }-\dfrac{1}{2}-1=1-\dfrac{1}{2}-1=-\dfrac{1}{2} $ ,故 $ \mathrm{B} $ 正确.

对于 $ \mathrm{C} $ ,由 $ \overrightarrow {PA}=2\overrightarrow {PE} $ ,得 $ \dfrac{1}{2}\overrightarrow {PA}=\overrightarrow {PE} $ ,由 $ \overrightarrow {BC}=2\overrightarrow {BF} $ ,得 $ \overrightarrow {PC}-\overrightarrow {PB}=2\overrightarrow {PF}-2\overrightarrow {PB} $ ,则 $ \overrightarrow {PF}=\dfrac{\overrightarrow {PC}+\overrightarrow {PB}}{2} $ ,所以 $ \overrightarrow {EF}=\overrightarrow {PF}-\overrightarrow {PE}=\dfrac{\overrightarrow {PC}+\overrightarrow {PB}-\overrightarrow {PA}}{2} $ ,则 $ \left|\overrightarrow {EF}\right|=\dfrac{\left|\overrightarrow {PC}+\overrightarrow {PB}-\overrightarrow {PA}\right|}{2}=\dfrac{1}{2}\sqrt{{\left(\overrightarrow {PC}+\overrightarrow {PB}-\overrightarrow {PA}\right) ^ {2}}}=\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{{\overrightarrow {PC}}^{2}+{\overrightarrow {PB}}^{2}+{\overrightarrow {PA}}^{2}+2\overrightarrow {PC}\cdot \overrightarrow {PB}-2\overrightarrow {PC}\cdot \overrightarrow {PA}-2\overrightarrow {PA}\cdot \overrightarrow {PB}}=\dfrac{1}{2}×\sqrt{1+1+1+1-1-1}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} $ ,故 $ \mathrm{C} $ 正确.

对于 $ \mathrm{D} $ , $ \overrightarrow {AF}=\overrightarrow {PF}-\overrightarrow {PA}=\dfrac{\overrightarrow {PC}+\overrightarrow {PB}-2\overrightarrow {PA}}{2} $ ,所以 $ \overrightarrow {AF}\cdot \overrightarrow {CP}=-\dfrac{(\overrightarrow {PC}+\overrightarrow {PB}-2\overrightarrow {PA})\cdot \overrightarrow {PC}}{2}=-\dfrac{{\overrightarrow {PC}}^{2}+\overrightarrow {PB}\cdot \overrightarrow {PC}-2\overrightarrow {PA}\cdot \overrightarrow {PC}}{2}=-\dfrac{1+\dfrac{1}{2}-2×\dfrac{1}{2}}{2}=-\dfrac{1}{4} $ ,故 $ \cos ⟨\overrightarrow {AF},\overrightarrow {CP}⟩ < 0 $ ,故 $ \mathrm{D} $ 错误.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C} $ .

因为空间向量 $ {\boldsymbol{e}}_{1} $ , $ {\boldsymbol{e}}_{2} $ 满足 $ |{\boldsymbol{e}}_{1}-3{\boldsymbol{e}}_{2}\left|=\right|{\boldsymbol{e}}_{2}|=2 $ ,所以 $ {\left|{\boldsymbol{e}}_{1}-3{\boldsymbol{e}}_{2}\right|}^{2}={\boldsymbol{e}}_{1}^{2}-6{\boldsymbol{e}}_{1}\cdot {\boldsymbol{e}}_{2}+9{\boldsymbol{e}}_{2}^{2}={\boldsymbol{e}}_{1}^{2}-6{\boldsymbol{e}}_{1}\cdot {\boldsymbol{e}}_{2}+36=4 $ ,故 $ {\boldsymbol{e}}_{1}\cdot {\boldsymbol{e}}_{2}=\dfrac{{\boldsymbol{e}}_{1}^{2}+32}{6} $ ，则 $ {\boldsymbol{e}}_{2} $ 在 $ {\boldsymbol{e}}_{1} $ 上投影的长度为 $ \left|{\boldsymbol{e}}_{2}\right|\cdot | \cos ⟨{\boldsymbol{e}}_{1} $ , $ {\boldsymbol{e}}_{2}⟩\left|=\right|{\boldsymbol{e}}_{2}|\cdot $ $ \dfrac{\left|{\boldsymbol{e}}_{1}\cdot {\boldsymbol{e}}_{2}\right|}{\left|{\boldsymbol{e}}_{1}\right|\left|{\boldsymbol{e}}_{2}\right|}=\dfrac{\left|{\boldsymbol{e}}_{1}\cdot {\boldsymbol{e}}_{2}\right|}{\left|{\boldsymbol{e}}_{1}\right|}=\dfrac{{\boldsymbol{e}}_{1}^{2}+32}{6\left|{\boldsymbol{e}}_{1}\right|}=\dfrac{1}{6}(\left|{\boldsymbol{e}}_{1}\right|+\dfrac{32}{\left|{\boldsymbol{e}}_{1}\right|})\geqslant \dfrac{1}{6}×2\sqrt{\left|{\boldsymbol{e}}_{1}\right|\cdot \dfrac{32}{\left|{\boldsymbol{e}}_{1}\right|}}=\dfrac{4\sqrt{2}}{3} $ ,当且仅当 $ \left|{\boldsymbol{e}}_{1}\right|=\dfrac{32}{\left|{\boldsymbol{e}}_{1}\right|} $ ,即 $ \left|{\boldsymbol{e}}_{1}\right|=4\sqrt{2} $ 时,等号成立,故 $ {\boldsymbol{e}}_{2} $ 在 $ {\boldsymbol{e}}_{1} $ 上投影的长度的最小值是 $ \dfrac{4\sqrt{2}}{3} $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

如图,设 $ AB $ 的中点为 $ O $ ,连接 $ PO $ ,则 $ \overrightarrow {PO}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow {PA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow {PB} $ ,即 $ 2\left|\overrightarrow {PO}\right|=\left|\overrightarrow {PA}+\overrightarrow {PB}\right| $ .

又 $ \left|\overrightarrow {PB}+\overrightarrow {PA}\right|=2 $ ,所以 $ \left|\overrightarrow {PO}\right|=1 $ ,

即点 $ P $ 在以 $ O $ 为球心,1为半径的球面上.

因为 $ \overrightarrow {AP}=\overrightarrow {AO}+\overrightarrow {OP} $ ,所以 $ \overrightarrow {AP}\cdot \overrightarrow {AD}=(\overrightarrow {AO}+\overrightarrow {OP})\cdot \overrightarrow {AD}=\overrightarrow {AO}\cdot \overrightarrow {AD}+\overrightarrow {OP}\cdot \overrightarrow {AD} $ .

由正四面体 $ ABCD $ 的棱长为 $ 2\sqrt{2} $ ,得 $ AO=\sqrt{2} $ ,

所以 $ \overrightarrow {AO}\cdot \overrightarrow {AD}=\left|\overrightarrow {AO}\right|\left|\overrightarrow {AD}\right| \cos {60}^{\circ }=\sqrt{2}×2\sqrt{2}×\dfrac{1}{2}=2 $ .

设 $ ⟨\overrightarrow {OP} $ , $ \overrightarrow {AD}⟩=\theta $ ,则 $ \overrightarrow {AP}\cdot \overrightarrow {AD}=\overrightarrow {AO}\cdot \overrightarrow {AD}+\overrightarrow {OP}\cdot \overrightarrow {AD}=2+\left|\overrightarrow {OP}\right|\left|\overrightarrow {AD}\right| \cos \theta =2+2\sqrt{2} \cos \theta $ .

又 $ -1\leqslant \cos \theta \leqslant 1 $ ,所以 $ 2-2\sqrt{2}\leqslant 2+2\sqrt{2} \cos \theta \leqslant 2+2\sqrt{2} $ ,即 $ \overrightarrow {AP}\cdot \overrightarrow {AD} $ 的最大值为 $ 2+2\sqrt{2} $ ,最小值为 $ 2-2\sqrt{2} $ .故选 $ \mathrm{B}\mathrm{C} $ .