1.2 空间向量基本定理

$ \because $ 向量 $ \overrightarrow {OA} $ , $ \overrightarrow {OB} $ , $ \overrightarrow {OC} $ 不能构成空间的一个基底, $ \therefore \overrightarrow {OA} $ , $ \overrightarrow {OB} $ , $ \overrightarrow {OC} $ 共面, $ \because $ 向量 $ \overrightarrow {OA} $ , $ \overrightarrow {OB} $ , $ \overrightarrow {OC} $ 有公共点, $ \therefore O $ , $ A $ , $ B $ , $ C $ 四点共面,故 $ \mathrm{D} $ 正确；

当 $ O $ , $ A $ , $ B $ , $ C $ 四点共面时, $ \overrightarrow {OA} $ , $ \overrightarrow {OB} $ , $ \overrightarrow {OC} $ 不一定共线,故 $ \mathrm{A} $ 错误； $ O $ , $ A $ , $ B $ , $ C $ 中不一定有三点共线,故 $ \mathrm{B} $ 错误； $ \overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB} $ 与 $ \overrightarrow {OC} $ 不一定共线,故 $ \mathrm{C} $ 错误.故选 $ \mathrm{D} $ .

对于 $ \mathrm{A} $ ,设 $ 3\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}={x}_{1}(3\boldsymbol{c}+\boldsymbol{b})+{y}_{1}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c}) $ ,则 $ \begin{cases}3={y}_{1},\\ -1={x}_{1},\\ 0=3{x}_{1}+{y}_{1},\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}{x}_{1}=-1,\\ {y}_{1}=3,\end{cases} $ 所以 $ 3\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} $ , $ 3\boldsymbol{c}+\boldsymbol{b} $ , $ \boldsymbol{a}+\boldsymbol{c} $ 共面,不能构成空间的一组基底, $ \mathrm{A} $ 不正确；

对于 $ \mathrm{B} $ ,设 $ \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}={x}_{2}(3\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})+{y}_{2}(3\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c}) $ ,则 $ \begin{cases}1=3{y}_{2},\\ 1=3{x}_{2},\\ 0={x}_{2}-{y}_{2},\end{cases} $ 解得 $ {x}_{2}={y}_{2}=\dfrac{1}{3} $ ,所以 $ \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} $ , $ 3\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c} $ , $ 3\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c} $ 共面,不能构成空间的一组基底, $ \mathrm{B} $ 不正确；

对于 $ \mathrm{C} $ ,设 $ \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}={x}_{3}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})+{y}_{3}(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}) $ ,所以 $ \begin{cases}1={x}_{3},\\ 1={x}_{3}+{y}_{3},\\ 1={y}_{3}\end{cases} $ 此时无解,所以 $ \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c} $ , $ \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} $ , $ \boldsymbol{b}+\boldsymbol{c} $ 不共面,能构成空间的一组基底, $ \mathrm{C} $ 正确；

对于 $ \mathrm{D} $ ,设 $ \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}={x}_{4}(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})+{y}_{4}(\boldsymbol{c}-\boldsymbol{b}) $ ,则 $ \begin{cases}1=2{x}_{4},\\ 1={x}_{4}-{y}_{4},\\ 0={x}_{4}+{y}_{4},\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}{x}_{4}=\dfrac{1}{2},\\ {y}_{4}=-\dfrac{1}{2},\end{cases} $ 所以 $ \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} $ , $ 2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c} $ , $ \boldsymbol{c}-\boldsymbol{b} $ 共面,不能构成空间的一组基底, $ \mathrm{D} $ 不正确.故选 $ \mathrm{C} $ .

若{ $ \boldsymbol{a} $ , $ \boldsymbol{b} $ , $ \boldsymbol{c} $ }是单位正交基底,则 $ \left|\boldsymbol{a}\right|=\left|\boldsymbol{b}\right|=\left|\boldsymbol{c}\right|=1 $ ,且 $ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=0 $ , $ \boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{c}=0 $ , $ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{c}=0 $ ,

所以 $ \left|\boldsymbol{p}\right|=\sqrt{{\left(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}\right) ^ {2}}} $

$ =\sqrt{{\boldsymbol{a}}^{2}+{\boldsymbol{b}}^{2}+{\boldsymbol{c}}^{2}+2\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}+2\boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{c}+2\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{c}} $

$ =\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3} $ ,故 $ \mathrm{A} $ 正确；

{ $ \boldsymbol{a} $ , $ \boldsymbol{b} $ , $ \boldsymbol{c} $ }是空间向量的一个基底,则 $ \boldsymbol{a} $ , $ \boldsymbol{b} $ , $ \boldsymbol{c} $ 不共面,所以不存在唯一的有序实数对 $ (x,y) $ ,使得 $ \boldsymbol{c}=x\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b} $ ,故 $ \mathrm{B} $ 错误；

若 $ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=0 $ , $ \boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{c}=0 $ ,则 $ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{c}=0 $ 或 $ \boldsymbol{a} $ 与 $ \boldsymbol{c} $ 既不平行也不垂直,故 $ \mathrm{C} $ 错误；

设 $ \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\lambda (\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})+\mu (\boldsymbol{c}+\boldsymbol{a})(\lambda ,\mu \in \boldsymbol{R}) $ ,则 $ \begin{cases}\mu =1,\\ \lambda =1,\\ \lambda +\mu =0,\end{cases} $ 无解,所以不存在 $ \lambda $ , $ \mu \in \boldsymbol{R} $ ,使得 $ \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\lambda (\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})+\mu (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c}) $ ,所以 $ \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} $ , $ \boldsymbol{b}+\boldsymbol{c} $ , $ \boldsymbol{c}+\boldsymbol{a} $ 不共面,能构成空间向量的一个基底,故 $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{D} $ .

因为向量 $ \overrightarrow {OA}={\boldsymbol{e}}_{1}+{\boldsymbol{e}}_{2}+{\boldsymbol{e}}_{3} $ , $ \overrightarrow {OB}={\boldsymbol{e}}_{1}-2{\boldsymbol{e}}_{2}+2{\boldsymbol{e}}_{3} $ , $ \overrightarrow {OC}=k{\boldsymbol{e}}_{1}+3{\boldsymbol{e}}_{2}+2{\boldsymbol{e}}_{3} $ 不能构成空间的一个基底,所以 $ \overrightarrow {OA} $ , $ \overrightarrow {OB} $ , $ \overrightarrow {OC} $ 共面,故存在实数 $ x $ , $ y $ 使得 $ \overrightarrow {OC}=x\overrightarrow {OA}+y\overrightarrow {OB} $ ,即 $ k{\boldsymbol{e}}_{1}+3{\boldsymbol{e}}_{2}+2{\boldsymbol{e}}_{3}=x({\boldsymbol{e}}_{1}+{\boldsymbol{e}}_{2}+{\boldsymbol{e}}_{3})+y({\boldsymbol{e}}_{1}-2{\boldsymbol{e}}_{2}+2{\boldsymbol{e}}_{3})=(x+y){\boldsymbol{e}}_{1}+(x-2y){\boldsymbol{e}}_{2}+(x+2y){\boldsymbol{e}}_{3} $ .

因为{ $ {\boldsymbol{e}}_{1} $ , $ {\boldsymbol{e}}_{2} $ , $ {\boldsymbol{e}}_{3}｝ $ 是空间的一个基底,所以 $ \begin{cases}x+y=k,\\ x-2y=3,\\ x+2y=2,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}x=\dfrac{5}{2},\\ y=-\dfrac{1}{4},\\ k=\dfrac{9}{4}.\end{cases} $ 故选 $ \mathrm{D} $ .

由题意 $ \overrightarrow {BM}=\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {CM}=\overrightarrow {AD}+\dfrac{4}{5}\overrightarrow {CP}=\overrightarrow {AD}+\dfrac{4}{5}(\overrightarrow {AP}-\overrightarrow {AC})=\overrightarrow {AD}+\dfrac{4}{5}[\overrightarrow {AP}-(\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AD})]=\boldsymbol{b}+\dfrac{4}{5}(\boldsymbol{c}-\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=-\dfrac{4}{5}\boldsymbol{a}+\dfrac{1}{5}\boldsymbol{b}+\dfrac{4}{5}\boldsymbol{c} $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

因为点 $ P $ , $ A $ , $ B $ , $ C $ 四点共面，所以可设 $ \overrightarrow {AP}=m\overrightarrow {AB}+n\overrightarrow {AC}=m(\overrightarrow {OB}-\overrightarrow {OA})+n(\overrightarrow {OC}-\overrightarrow {OA})=-(m+n)\cdot \overrightarrow {OA}+m\overrightarrow {OB}+n\overrightarrow {OC} $ .因为 $ A $ , $ B $ , $ C $ 三点不共线,点 $ O $ 在平面 $ ABC $ 外,所以 $ \overrightarrow {OA} $ , $ \overrightarrow {OB} $ , $ \overrightarrow {OC} $ 不共面,又点 $ P $ 满足 $ \overrightarrow {AP}=x\overrightarrow {OA}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow {OB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow {OC} $ ,所以 $ \begin{cases}-m-n=x,\\ m=\dfrac{1}{4},\\ n=\dfrac{1}{3},\end{cases} $ 故 $ x=-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}=-\dfrac{7}{12} $ .故选 $ \mathrm{A} $ .

如图,连接 $ AF $ , $ AE $ ,

$ \overrightarrow {EF}=\overrightarrow {AF}-\overrightarrow {AE}=\overrightarrow {AD}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow {D{D}_{1}}-\overrightarrow {AB}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow {B{B}_{1}}=-\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AD}-\dfrac{1}{3}{\overrightarrow {AA}}_{1} $ ,

则 $ {\overrightarrow {EF}}^{2}={\overrightarrow {AB}}^{2}+{\overrightarrow {AD}}^{2}+\dfrac{1}{9}{\overrightarrow {A{A}_{1}}}^{2}-2\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AD}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {A{A}_{1}}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow {AD}\cdot \overrightarrow {A{A}_{1}} $

$ =4+4+\dfrac{4}{9}-2×2×2 \cos \dfrac{\mathrm{\pi }}{3}+\dfrac{2}{3}×2×2 \cos \dfrac{\mathrm{\pi }}{3}-\dfrac{2}{3}×2×2 \cos \dfrac{\mathrm{\pi }}{3}=\dfrac{40}{9} $ ,

故 $ |\overrightarrow {EF}|=\dfrac{2\sqrt{10}}{3} $ . $ \overrightarrow {A{C}_{1}}=\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {A{A}_{1}} $ ,

故 $ {\overrightarrow {A{C}_{1}}}^{2}={\overrightarrow {AB}}^{2}+{\overrightarrow {AD}}^{2}+{\overrightarrow {A{A}_{1}}}^{2}+2\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AD}+2\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {A{A}_{1}}+2\overrightarrow {AD}\cdot \overrightarrow {A{A}_{1}}=4+4+4+2×2×2×\dfrac{1}{2}+2×2×2×\dfrac{1}{2}+2×2×2×\dfrac{1}{2}=24 $ ,故 $ |\overrightarrow {A{C}_{1}}|=2\sqrt{6} $ ,

则 $ \dfrac{\overrightarrow {A{C}_{1}}\cdot \overrightarrow {EF}}{|\overrightarrow {A{C}_{1}}||\overrightarrow {EF}|} $

$ =\dfrac{(\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {A{A}_{1}})\cdot (-\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AD}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow {A{A}_{1}})}{2\sqrt{6}×\dfrac{2\sqrt{10}}{3}} $

$ =\dfrac{\sqrt{15}}{40}×(-{\overrightarrow {AB}}^{2}+{\overrightarrow {AD}}^{2}-\dfrac{1}{3}{\overrightarrow {A{A}_{1}}}^{2}-\dfrac{4}{3}\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {A{A}_{1}}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow {AD}\cdot \overrightarrow {A{A}_{1}}) $

$ =-\dfrac{\sqrt{15}}{15} $ ,

故直线 $ A{C}_{1} $ 与 $ EF $ 所成角的余弦值为 $ \dfrac{\sqrt{15}}{15} $ .