1.3.1 空间直角坐标系+1.3.2 空间向量运算的坐标表示

对于选项 $ \mathrm{A} $ ：点 $ P $ 关于坐标原点对称的点的坐标为 $ (1,-1,-2) $ ,故 $ \mathrm{A} $ 正确；

对于选项 $ \mathrm{B} $ ：点 $ P $ 关于 $ Oxy $ 平面对称的点的坐标为 $ (-1,1,-2) $ ,故 $ \mathrm{B} $ 正确；

对于选项 $ \mathrm{C} $ ：点 $ P $ 在 $ Oyz $ 平面上的射影点的坐标为 $ (0,1,2) $ ,故 $ \mathrm{C} $ 正确；

对于选项 $ \mathrm{D} $ ：点 $ P $ 在 $ x $ 轴上的射影点的坐标为 $ (-1,0,0) $ ,故 $ \mathrm{D} $ 错误.故选 $ \mathrm{D} $ .

设 $ D(x,y,z) $ .因为四边形 $ ABCD $ 为平行四边形,所以 $ \overrightarrow {AD}=\overrightarrow {BC} $ ,即 $ (x-2,y+5,z-1)=(-1,-2,-3) $ ,即 $ \begin{cases}x-2=-1,\\ y+5=-2,\\ z-1=-3,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}x=1,\\ y=-7,\\ z=-2,\end{cases} $ 即 $ D(1,-7,-2) $ .故选 $ \mathrm{A} $ .

设向量 $ \boldsymbol{p} $ 在基底{ $ \boldsymbol{c} $ , $ \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} $ , $ \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} $ }下的坐标为 $ (x,y,z) $ ,则 $ \boldsymbol{p}=x\boldsymbol{c}+y(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})+z(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=(y+z)\boldsymbol{a}+(y-z)\boldsymbol{b}+x\boldsymbol{c} $ .因为向量 $ \boldsymbol{p} $ 在基底{ $ \boldsymbol{a} $ , $ \boldsymbol{b} $ , $ \boldsymbol{c} $ }下的坐标为 $ (1,2,3) $ ,所以 $ \boldsymbol{p}=\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}+3\boldsymbol{c} $ ,则 $ \begin{cases}y+z=1,\\ y-z=2,\\ x=3,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}x=3,\\ y=\dfrac{3}{2},\\ z=-\dfrac{1}{2},\end{cases} $ 故向量 $ \boldsymbol{p} $ 在基底{ $ \boldsymbol{c} $ , $ \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} $ , $ \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} $ }下的坐标为 $ (3 $ , $ \dfrac{3}{2} $ , $ -\dfrac{1}{2}) $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

$ \overrightarrow {AB}-3\overrightarrow {AC}=(\sqrt{2},0,1)-(\sqrt{2},-6,6)=(0,6,-5) $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

设线段 $ {AB} $ 上靠近点A的三等分点为 $ C ( x , y , z ) $ .

根据题意可得出 $ \stackrel{\mathrm{\to }}{AC}=\dfrac{1}{3}\stackrel{\mathrm{\to }}{AB} $ ，即 $ ( x {-1,} y , z {+1)=}\dfrac{1}{3}{(3,3,3)} $ ，

所以 $ \begin{cases} x {-1=1,}\\ y {=1,}\\ z {+1=1,}\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} x {=2,}\\ y {=1,}\\ z {=0,}\end{cases} $

即点 $ C {(2,1,0)} $ .故选B.

由题意可知, $ {\boldsymbol{e}}_{1} $ , $ {\boldsymbol{e}}_{2} $ , $ {\boldsymbol{e}}_{3} $ 共面,设 $ {\boldsymbol{e}}_{2}=m{\boldsymbol{e}}_{1}+n{\boldsymbol{e}}_{3}(m,n\in \boldsymbol{R}) $ ,即 $ (2,4,\lambda )=m(1,1,0)+n(2,3,1) $ ,即 $ \begin{cases}m+2n=2,\\ m+3n=4,\\ n=\lambda ,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}m=-2,\\ n=2,\\ \lambda =2.\end{cases} $ 故选 $ \mathrm{C} $ .

由 $ \boldsymbol{a}=(-1,2,-1) $ , $ \boldsymbol{b}=(1,3,-2) $ ,得 $ \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(0,5,-3) $ , $ \boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}=(-3,-4,3) $ ,所以 $ (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot (\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b})=0×(-3)+5×(-4)+(-3)×3=-29 $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

因为点 $ Q $ 在直线 $ OP $ 上运动，所以 $ \overrightarrow {OQ}//\overrightarrow {OP} $ ，设 $ \overrightarrow {OQ}=t\overrightarrow {OP}=(t,t,2t) $ ，于是有 $ Q(t,t,2t) $ .

因为 $ \overrightarrow {OA}=(1,2,3) $ ， $ \overrightarrow {OB}=(2,1,2) $ ，所以 $ A(1,2,3) $ ， $ B(2,1,2) $ ，

因此 $ \overrightarrow {QA}=(1-t,2-t,3-2t) $ ， $ \overrightarrow {QB}=(2-t,1-t,2-2t) $ ，

于是得 $ \overrightarrow {QA}\cdot \overrightarrow {QB}=(1-t)(2-t)+(2-t)(1-t)+(3-2t)(2-2t)=6{t}^{2}-16t+10=6{\left(t-\dfrac{4}{3}\right) ^ {2}}-\dfrac{2}{3} $ ，则当 $ t=\dfrac{4}{3} $ 时， $ {(\overrightarrow {QA}\cdot \overrightarrow {QB})}_{ \min }=-\dfrac{2}{3} $ ，此时点 $ Q(\dfrac{4}{3} $ , $ \dfrac{4}{3} $ , $ \dfrac{8}{3}) $ ，所以当 $ \overrightarrow {QA}\cdot \overrightarrow {QB} $ 取得最小值时，点 $ Q $ 的坐标为 $ (\dfrac{4}{3} $ , $ \dfrac{4}{3} $ , $ \dfrac{8}{3}) $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

因为点 $ P $ 与点 $ A $ 关于 $ Oyz $ 平面对称,所以点 $ P $ 与点 $ A $ 的横坐标互为相反数,纵坐标和竖坐标相同,可得 $ P(-1,1,1) $ ,所以 $ \overrightarrow {BP}=(-3,2,1) $ ,所以 $ \left|\overrightarrow {BP}\right|=\sqrt{{\left(-3\right) ^ {2}}+{2}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{14} $ .故选 $ \mathrm{A} $ .

由题知 $ {A}_{1}(2,0,2) $ ， $ C(0,2,0) $ ，则 $ {A}_{1}C $ 的中点 $ E(1,1,1) $ ， $ A(2,0,0) $ ， $ B(2,2,0) $ ，则 $ AB $ 的中点 $ F(2,1,0) $ ， $ \therefore {A}_{1}C $ 的中点 $ E $ 到 $ AB $ 的中点 $ F $ 的距离为 $ EF=|\overrightarrow {EF}|=\sqrt{(2-1)^{2}+(1-1)^{2}+(0-1)^{2}}=\sqrt{2} $ .

故选 $ \mathrm{B} $ .

设圆柱的上、下底面的圆心分别为 $ {O}_{1} $ , $ O $ ,连接 $ O{O}_{1} $ ，以 $ O{O}_{1} $ 所在直线为 $ z $ 轴， $ BO $ 所在直线为 $ y $ 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，过 $ Q $ 向圆 $ O $ 所在平面作垂线，垂足为 $ {Q}_{1} $ ，连接 $ O{Q}_{1} $ ，设圆 $ O $ 的半径为 $ r $ ,则 $ 2\mathrm{\pi }r=12\mathrm{\pi } $ ，所以 $ r=6 $ .设 $ \mathrm{\angle }BO{Q}_{1}=\alpha $ ，所以圆弧 $ B{Q}_{1} $ 的长度为 $ \alpha ×6=2\mathrm{\pi } $ ，所以 $ \alpha =\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ ，则 $ {Q}_{1}(3\sqrt{3},-3,0) $ ,

$ Q(3\sqrt{3},-3,4) $ .同理，过 $ P $ 向圆 $ O $ 所在平面作垂线，垂足为 $ {P}_{1} $ ，连接 $ O{P}_{1} $ ,则 $ {P}_{1}(-3\sqrt{3},-3,0) $ , $ P(-3\sqrt{3},-3,10) $ ，所以 $ |PQ|=\sqrt{{\left(-3\sqrt{3}-3\sqrt{3}\right) ^ {2}}+{\left(-3+3\right) ^ {2}}+{\left(10-4\right) ^ {2}}}=12 $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

$ 2\boldsymbol{a}=(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})+(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=(2,2\sqrt{2},2\sqrt{3}) $ ,即 $ \boldsymbol{a}=(1 $ , $ \sqrt{2} $ , $ \sqrt{3} ).2\boldsymbol{b}= (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} )- (\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} )= (2,0,2\sqrt{3} ) $ ,即 $ \boldsymbol{b}=(1,0,\sqrt{3}) $ .所以 $ \cos ⟨\boldsymbol{a} $ , $ \boldsymbol{b}⟩=\dfrac{\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}}{\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|}=\dfrac{1+0+3}{\sqrt{6}×\sqrt{4}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3} $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

由题意可知 $ BA $ , $ BC $ , $ B{B}_{1} $ 两两垂直,故分别以直线 $ BA $ , $ BC $ , $ B{B}_{1} $ 为 $ x $ , $ y $ , $ z $ 轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则 $ B(0,0,0) $ , $ C(0,2,0) $ , $ M(0,1,2\sqrt{2}) $ , $ N(1,0,2\sqrt{2}) $ ,所以 $ \overrightarrow {BM}=(0,1,2\sqrt{2}) $ , $ \overrightarrow {CN}=(1,-2,2\sqrt{2}) $ .

设直线 $ BM $ 与直线 $ CN $ 所成角为 $ \theta $ ,则 $ \cos \theta =| \cos ⟨\overrightarrow {BM} $ , $ \overrightarrow {CN}⟩|=\dfrac{\left|\overrightarrow {BM}\cdot \overrightarrow {CN}\right|}{\left|\overrightarrow {BM}\right|\left|\overrightarrow {CN}\right|}=\dfrac{6}{3×\sqrt{13}}=\dfrac{2\sqrt{13}}{13} $ ,

所以直线 $ BM $ 与直线 $ CN $ 所成角的余弦值为 $ \dfrac{2\sqrt{13}}{13} $ .故选 $ \mathrm{A} $ .

向量 $ \boldsymbol{a}=(0,1,-1) $ , $ \boldsymbol{b}=(a,2,2) $ ， $ \therefore \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=0×a+1×2+(-1)×2=0 $ ，

$ \therefore \boldsymbol{a}\perp \boldsymbol{b} $ .故选 $ \mathrm{A} $ .

已知 $ M(\sqrt{2},\sqrt{3},-2) $ , $ N(2+\sqrt{2},1+\sqrt{3},-4) $ ,则 $ \overrightarrow {MN}=(2,1,-2) $ .因为 $ \boldsymbol{c}//\overrightarrow {MN} $ , $ \boldsymbol{c}=(2,2t+1,-2) $ ,所以 $ \dfrac{2}{2}=\dfrac{2t+1}{1}=\dfrac{-2}{-2} $ ,解得 $ t=0 $ .故选 $ \mathrm{A} $ .

由 $ k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} $ 与 $ 2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} $ 垂直,

可得 $ (k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot (2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=2k{\left|\boldsymbol{a}\right|}^{2}-(k-2)\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}-{\left|\boldsymbol{b}\right|}^{2}=0(\ast ) $ ,

又 $ \boldsymbol{a}=(1,1,0) $ , $ \boldsymbol{b}=(-1,0,2) $ ,则 $ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=-1 $ , $ \left|\boldsymbol{a}\right|=\sqrt{2} $ , $ \left|\boldsymbol{b}\right|=\sqrt{5} $ ,

代入 $ (\ast ) $ 式,可得 $ (k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot (2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=4k+(k-2)-5=0 $ ,解得 $ k=\dfrac{7}{5} $ .

故选 $ \mathrm{C} $ .

因为 $ \boldsymbol{b}=(0,-1,1) $ , $ \boldsymbol{c}=(3,1,-1) $ ,所以 $ 2\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}=(-3,-3,3) $ ,又 $ \boldsymbol{a}=(1,-2,3) $ ,所以 $ \boldsymbol{a}\cdot (2\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})=-3+6+9=12 $ ,又 $ \left|2\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}\right|=\sqrt{9+9+9}=3\sqrt{3} $ ,所以 $ \boldsymbol{a} $ 在 $ 2\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c} $ 上的投影向量的模为 $ \left|\dfrac{\boldsymbol{a}\cdot (2\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})}{{\left|2\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}\right|}^{2}}\cdot (2\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})\right|=\left|\dfrac{12}{27}\cdot (2\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})\right|=\dfrac{4}{9}×\left|2\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}\right|=\dfrac{4\sqrt{3}}{3} $ .故选 $ \mathrm{A} $ .

将 $ \left|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\right|=\sqrt{3}|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}| $ 两边平方并化简得 $ {\boldsymbol{a}}^{2}-4\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}+{\boldsymbol{b}}^{2}=0 $ ,①

因为 $ \boldsymbol{a}=(1,1,\sqrt{2}) $ ,所以 $ \left|\boldsymbol{a}\right|=\sqrt{1+1+2}=2 $ ,

又 $ \left|\boldsymbol{b}\right|=2 $ ,代入①得 $ 4-4\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}+4=0 $ ,解得 $ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=2 $ ,

所以 $ \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} $ 在 $ \boldsymbol{a} $ 上的投影向量的坐标为 $ \dfrac{(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\cdot \boldsymbol{a}}{\left|\boldsymbol{a}\right|}\cdot \dfrac{\boldsymbol{a}}{\left|\boldsymbol{a}\right|}=\dfrac{{\boldsymbol{a}}^{2}-\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}}{2}\cdot \dfrac{(1,1,\sqrt{2})}{2}=\dfrac{4-2}{2}\cdot \dfrac{(1,1,\sqrt{2})}{2}=(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}) $ .

因为 $ O(0,0,0) $ , $ A(1,0,0) $ , $ B(0,-1,1) $ ,所以 $ \overrightarrow {OA}=(1,0,0) $ , $ \overrightarrow {OB}=(0,-1,1) $ ,故 $ \overrightarrow {OA}+\lambda \overrightarrow {OB}=(1,0,0)+\lambda (0,-1,1)=(1,-\lambda ,\lambda ) $ ,所以 $ \left|\overrightarrow {OA}+\lambda \overrightarrow {OB}\right|=\sqrt{{1}^{2}+{\left(-\lambda \right) ^ {2}}+{\lambda }^{2}}=\sqrt{1+2{\lambda }^{2}} $ , $ \left|\overrightarrow {OB}\right|=\sqrt{{0}^{2}+{\left(-1\right) ^ {2}}+{1}^{2}}=\sqrt{2} $ , $ (\overrightarrow {OA}+\lambda \overrightarrow {OB})\cdot \overrightarrow {OB}=1×0+(-\lambda )×(-1)+\lambda ×1=2\lambda $ ,

所以 $ \cos ⟨\overrightarrow {OA}+\lambda \overrightarrow {OB} $ , $ \overrightarrow {OB}⟩=\dfrac{(\overrightarrow {OA}+\lambda \overrightarrow {OB})\cdot \overrightarrow {OB}}{\left|\overrightarrow {OA}+\lambda \overrightarrow {OB}\right|\cdot \left|\overrightarrow {OB}\right|}=\dfrac{2\lambda }{\sqrt{1+2{\lambda }^{2}}×\sqrt{2}} $ .因为 $ \overrightarrow {OA}+\lambda \overrightarrow {OB} $ 与 $ \overrightarrow {OB} $ 的夹角为 $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{4} $ ,所以 $ \cos \dfrac{\mathrm{\pi }}{4}=\dfrac{2\lambda }{\sqrt{1+2{\lambda }^{2}}×\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} $ ,解得 $ \lambda =±\dfrac{\sqrt{2}}{2} $ .

经检验,当 $ \lambda =-\dfrac{\sqrt{2}}{2} $ 时, $ \overrightarrow {OA}+\lambda \overrightarrow {OB} $ 与 $ \overrightarrow {OB} $ 的夹角为钝角,不合题意,舍去,所以 $ \lambda =\dfrac{\sqrt{2}}{2} $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

若 $ \boldsymbol{a} $ 与 $ \boldsymbol{b} $ 的夹角为锐角，则有 $ 0 < \cos ⟨\boldsymbol{a} $ , $ \boldsymbol{b}⟩ < 1 $ ，即 $ \dfrac{\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}=\dfrac{1×3+2×6+4× (2\lambda -2 )}{\sqrt{21}\cdot \sqrt{4 (\lambda -1)^{2}+45}} > 0 $ 且不等于1，解得 $ \lambda > -\dfrac{7}{8} $ 且 $ \lambda \ne 7 $ .因为 $ (-\dfrac{7}{8},7)\cup (7,+\mathrm{\infty }) $

是 $ (-\dfrac{7}{8},+\mathrm{\infty }) $ 的真子集，

所以“ $ \lambda > -\dfrac{7}{8} $ ”是“ $ \boldsymbol{a} $ 与 $ \boldsymbol{b} $ 的夹角为锐角”的必要不充分条件.故选 $ \mathrm{B} $ .