课时1 空间中点、直线和平面的向量表示
一、刷基础
1．若 $ P(1,0,-2) $ ， $ Q(3,1,1) $ 在直线 $ l $ 上，则直线 $ l $ 的一个方向向量为 （ ）
A． $ (1,2,3) $
B． $ (1,3,2) $
C． $ (2,1,3) $
D． $ (3,2,1) $
答案：C
解析：依题意，直线 $ l $ 的一个方向向量为 $ \overrightarrow {PQ}=(3,1,1)-(1,0,-2)=(2,1,3) $ ，其他三个均不符合要求.故选 $ \mathrm{C} $ ．
2．如图，在正方体 $ ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1} $ 中， $ E $ 为棱 $ C{C}_{1} $ 上不与 $ {C}_{1} $ ， $ C $ 重合的任意一点，则能作为直线 $ A{A}_{1} $ 的方向向量的是（ ）
（多选）
A． $ \overrightarrow {A{A}_{1}} $
B． $ \overrightarrow {{C}_{1}E} $
C． $ \overrightarrow {AB} $
D． $ \overrightarrow {{A}_{1}A} $
答案：ABD
解析：由题图易知， $ \overrightarrow {A{A}_{1}} $ 可作为直线 $ A{A}_{1} $ 的方向向量，又 $ \overrightarrow {{C}_{1}E}//\overrightarrow {A{A}_{1}}//\overrightarrow {{A}_{1}A} $ ，所以 $ \overrightarrow {A{A}_{1}} $ ， $ \overrightarrow {{C}_{1}E} $ ， $ \overrightarrow {{A}_{1}A} $ 都能作为直线 $ A{A}_{1} $ 的方向向量.又直线 $ AB $ 与 $ A{A}_{1} $ 不平行，因此 $ \overrightarrow {AB} $ 不能作为直线 $ A{A}_{1} $ 的方向向量.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{D} $ .
3．两条直线 $ {l}_{1} $ , $ {l}_{2} $ 的方向向量分别为 $ \boldsymbol{m}=(2,1,-2) $ , $ \boldsymbol{n}=(1,1,1) $ ，则这两条直线（ ）
A．平行
B．垂直
C．异面
D．相交或异面
答案：D
解析：因为 $ \boldsymbol{m}=(2,1,-2) $ , $ \boldsymbol{n}=(1,1,1) $ ，所以 $ \boldsymbol{m}\cdot \boldsymbol{n}=2×1+1×1-2×1=1\ne 0 $ ，故直线 $ {l}_{1} $ , $ {l}_{2} $ 不垂直.
又 $ \dfrac{2}{1}\ne \dfrac{1}{1}\ne \dfrac{-2}{1} $ ，故直线 $ {l}_{1} $ , $ {l}_{2} $ 不平行，所以两条直线相交或异面.故选 $ \mathrm{D} $ .
4．已知直线 $ l $ 过点 $ A(0,0,1) $ ，且直线 $ l $ 的方向向量为 $ \boldsymbol{a}=(1,1,2) $ ，若点 $ M(x,y,4) $ 在直线 $ l $ 上，则（ ）
A． $ x+y=2 $
B． $ x+y=3 $
C． $ x+y=4 $
D． $ x+y=5 $
答案：B
解析：由题意得 $ \overrightarrow {AM}=(x,y,3) $ ，所以存在实数 $ \lambda $ ，使得 $ \overrightarrow {AM}=\lambda \boldsymbol{a} $ ，所以 $ \begin{cases}x=\lambda ,\\ y=\lambda ,\\ 3=2\lambda ,\end{cases} $ 所以 $ x+y=2\lambda =3 $ .故选 $ \mathrm{B} $ .
5．［江西宜春2026高二月考］如图，在直三棱柱 $ ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1} $ 中， $ AB\perp AC $ , $ AB=AC=1 $ , $ A{A}_{1}=2 $ .以 $ A $ 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系.以下向量可成为平面 $ BC{C}_{1}{B}_{1} $ 的法向量的是（ ）
（多选）
A． $ (4,-4,0) $
B． $ (-3,3,0) $
C． $ (-2,-2,0) $
D． $ (1,1,0) $
答案：CD
解析：由题意得, $ B(1,0,0) $ , $ C(0,1,0) $ , $ {B}_{1}(1,0,2) $ ,所以 $ {\overrightarrow {BB}}_{1}=(0,0,2) $ , $ \overrightarrow {BC}=(-1,1,0) $ .
设平面 $ BC{C}_{1}{B}_{1} $ 的法向量为 $ \boldsymbol{n}=(x,y,z) $ ,则 $ \begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow {B{B}_{1}}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow {BC}=0,\end{cases} $ 可得 $ \begin{cases}2z=0,\\ -x+y=0,\end{cases} $ 即 $ \begin{cases}z=0,\\ x=y,\end{cases} $ 故 $ \boldsymbol{n}=(x,x,0) $ .故 $ {\boldsymbol{n}}_{1}=(1,1,0) $ , $ {\boldsymbol{n}}_{2}=(-2,-2,0) $ 符合题意.故选 $ \mathrm{C}\mathrm{D} $ .
6．已知点 $ {P}_{0}(2,-1,1) $ 在平面 $ \alpha $ 内，向量 $ \boldsymbol{n}=(1,1,-2) $ 为平面 $ \alpha $ 的一个法向量，则下列各点不在平面 $ \alpha $ 内的是（ ）
A． $ (1,0,1) $
B． $ (0,1,1) $
C． $ (-1,2,2) $
D． $ (1,-2,0) $
答案：C
解析：设点 $ P(x,y,z) $ 为平面 $ \alpha $ 内任意一点，则 $ \overrightarrow {{P}_{0}P}=(x-2,y+1,z-1) $ ，所以 $ \overrightarrow {{P}_{0}P}\cdot \boldsymbol{n}=(x-2)+(y+1)-2(z-1)=0 $ ，可得 $ x+y-2z+1=0 $ .
选项 $ \mathrm{A} $ : $ 1+0-2×1+1=0 $ ，故在平面 $ \alpha $ 内；选项 $ \mathrm{B} $ : $ 0+1-2×1+1=0 $ ，故在平面 $ \alpha $ 内；选项 $ \mathrm{C} $ : $ -1+2-2×2+1=-2\ne 0 $ ，故不在平面 $ \alpha $ 内；选项 $ \mathrm{D} $ : $ 1-2-2×0+1=0 $ ，故在平面 $ \alpha $ 内.故选 $ \mathrm{C} $ .
7．［安徽阜阳2026高二月考］小强同学在学习平面的法向量的过程中，发现了一种求解已知平面的法向量的快速方法：在空间直角坐标系中，平面 $ \alpha $ 内两个不共线的向量分别为 $ \boldsymbol{a}=({x}_{1},{y}_{1},{z}_{1}) $ ， $ \boldsymbol{b}=({x}_{2},{y}_{2},{z}_{2}) $ ，则平面 $ \alpha $ 的一个法向量为 $ \boldsymbol{n}=({y}_{1}{z}_{2}-{y}_{2}{z}_{1},{z}_{1}{x}_{2}-{z}_{2}{x}_{1},{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}) $ .若已知在平面 $ ABO $ 中， $ O $ 为原点，点 $ A(1,2,1) $ ， $ B(2,0,-1) $ ，小强选取点 $ O $ ， $ A $ ， $ B $ 三点中的两点，用他的方法计算平面 $ ABO $ 的法向量 $ \boldsymbol{n} $ ，下列结论正确的是（ ）（多选）
A． $ \boldsymbol{n}=(2,3,-4) $ 是其中一个解
B． $ \boldsymbol{n}=(-2,3,-4) $ 是其中一个解
C．用上述条件在该方法下得到的法向量是唯一的
D．用上述条件在该方法下得到的法向量的模是唯一的
答案：BD
解析：由题意，若取 $ \boldsymbol{a}=\overrightarrow {OA}=(1,2,1) $ ， $ \boldsymbol{b}=\overrightarrow {OB}=(2,0,-1) $ ，则由题中方法得 $ \boldsymbol{n}=(-2,3,-4) $ .若取 $ \boldsymbol{a}=\overrightarrow {OA}=(1,2,1) $ ， $ \boldsymbol{b}=\overrightarrow {BO}=(-2,0,1) $ ，则由题中方法得 $ \boldsymbol{n}=(2,-3,4) $ .所以 $ \left|\boldsymbol{n}\right|=\sqrt{{\left(-2\right) ^ {2}}+{3}^{2}+{\left(-4\right) ^ {2}}}=\sqrt{{2}^{2}+{\left(-3\right) ^ {2}}+{4}^{2}}=\sqrt{29} $ .故选 $ \mathrm{B}\mathrm{D} $ .
8．在平行六面体 $ ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1} $ 中， $ AB=AD=A{A}_{1}=1 $ ， $ \mathrm{\angle }BAD=\mathrm{\angle }{A}_{1}AD=\mathrm{\angle }{A}_{1}AB={60}^{\circ } $ .设 $ \overrightarrow {AB}=\boldsymbol{a} $ ， $ \overrightarrow {AD}=\boldsymbol{b} $ ， $ \overrightarrow {A{A}_{1}}=\boldsymbol{c} $ ，则平面 $ A{B}_{1}{D}_{1} $ 的一个法向量为（ ）
A． $ \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c} $
B． $ \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c} $
C． $ \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\dfrac{1}{3}\boldsymbol{c} $
D． $ \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\dfrac{5}{3}\boldsymbol{c} $
答案：D
解析：如图所示.
在平行六面体 $ ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1} $ 中， $ AB=AD=A{A}_{1}=1 $ ， $ \mathrm{\angle }BAD=\mathrm{\angle }{A}_{1}AD=\mathrm{\angle }{A}_{1}AB={60}^{\circ } $ .设 $ \overrightarrow {AB}=\boldsymbol{a} $ ， $ \overrightarrow {AD}=\boldsymbol{b} $ ， $ \overrightarrow {A{A}_{1}}=\boldsymbol{c} $ ，所以 $ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{c}=\dfrac{1}{2} $ ， $ \overrightarrow {A{B}_{1}}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c} $ ， $ \overrightarrow {A{D}_{1}}=\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c} $ .
对于 $ \mathrm{A} $ ， $ (\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})\cdot (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c})={\boldsymbol{a}}^{2}+\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{c}-\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}-\boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{c}-\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{c}-{\boldsymbol{c}}^{2}=-1\ne 0 $ ，故 $ \mathrm{A} $ 错误；
对于 $ \mathrm{B} $ ， $ (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})\cdot (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c})={\boldsymbol{a}}^{2}+\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{c}+\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{c}-\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{c}-{\boldsymbol{c}}^{2}=1\ne 0 $ ，故 $ \mathrm{B} $ 错误；
对于 $ \mathrm{C} $ ， $ (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\dfrac{1}{3}\boldsymbol{c})\cdot (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c})={\boldsymbol{a}}^{2}+\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{c}+\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{c}-\dfrac{1}{3}\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{c}-\dfrac{1}{3}{\boldsymbol{c}}^{2}=2\ne 0 $ ，故 $ \mathrm{C} $ 错误；
对于 $ \mathrm{D} $ ， $ (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\dfrac{5}{3}\boldsymbol{c})\cdot (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c})={\boldsymbol{a}}^{2}+\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{c}+\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{c}-\dfrac{5}{3}\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{c}-\dfrac{5}{3}{\boldsymbol{c}}^{2}=0 $ ，且 $ (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\dfrac{5}{3}\boldsymbol{c})\cdot (\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})=\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{c}+{\boldsymbol{b}}^{2}+\boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{c}-\dfrac{5}{3}\boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{c}-\dfrac{5}{3}{\boldsymbol{c}}^{2}=0 $ ，
即 $ \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\dfrac{5}{3}\boldsymbol{c} $ 与 $ \overrightarrow {A{B}_{1}} $ ， $ \overrightarrow {A{D}_{1}} $ 都垂直，则 $ \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\dfrac{5}{3}\boldsymbol{c} $ 是平面 $ A{B}_{1}{D}_{1} $ 的一个法向量，故 $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{D} $ .