1．在下列四个说法中，错误的有（ ）（多选）
A．在平面直角坐标系内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
B．直线的倾斜角的取值范围是 $ [0,\mathrm{\pi }) $
C．若一条直线的斜率为 $ \tan \alpha $ ，则此直线的倾斜角为 $ \alpha $
D．若一条直线的倾斜角为 $ \alpha $ ，则此直线的斜率为 $ \tan \alpha $
对于 $ \mathrm{A} $ ：当直线与 $ x $ 轴垂直时,直线的倾斜角为 $ {90}^{\circ } $ ,斜率不存在,所以 $ \mathrm{A} $ 错误；
对于 $ \mathrm{B} $ ：根据直线倾斜角的定义,可得直线倾斜角的取值范围是 $ [0,\mathrm{\pi }) $ ,所以 $ \mathrm{B} $ 正确；
对于 $ \mathrm{C} $ ：一条直线的斜率为 $ \tan \alpha $ ,此直线的倾斜角不一定为 $ \alpha $ ,
如直线 $ y=x $ 的斜率为 $ 1= \tan \dfrac{5\mathrm{\pi }}{4} $ ,但它的倾斜角为 $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{4} $ ,所以 $ \mathrm{C} $ 错误；
对于 $ \mathrm{D} $ ：一条直线的倾斜角为 $ \alpha $ 时,它的斜率为 $ \tan \alpha $ 或不存在,所以 $ \mathrm{D} $ 错误.
故选 $ \mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{D} $ .
2．经过 $ A(-1,3) $ ， $ B(1,9) $ 两点的直线的一个方向向量为 $ (1,k) $ ，则 $ k= $ （ ）
A． $ -\dfrac{1}{3} $
B． $ \dfrac{1}{3} $
C． $ -3 $
D．3
由点 $ A(-1,3) $ ， $ B(1,9) $ ，可得直线 $ AB $ 的斜率为 $ {k}_{AB}=\dfrac{9-3}{1+1}=3 $ ，因为经过 $ A $ ， $ B $ 两点的直线的一个方向向量为 $ (1,k) $ ，所以 $ k=3 $ .故选 $ \mathrm{D} $ .
3．经过两个不同的点 $ A(1,m+3) $ ， $ B({m}^{2},2{m}^{2}) $ 的直线 $ l $ 的倾斜角为 $ {45}^{\circ } $ ，则 $ m $ 的值为（ ）
A． $ -1 $ 或2
B． $ -1 $
C．2
D． $ -2 $
由题意知,直线的斜率 $ k=\dfrac{2{m}^{2}-(m+3)}{{m}^{2}-1}= \tan {45}^{\circ }=1 $ ,解得 $ m=2 $ 或 $ m=-1 $ .当 $ m=2 $ 时, $ A(1,5) $ , $ B(4,8) $ ,符合题意；当 $ m=-1 $ 时, $ A(1,2) $ , $ B(1,2) $ ,不符合题意.综上, $ m=2 $ .故选 $ \mathrm{C} $ .
4．［江苏徐州2025高二调研］已知 $ {l}_{1} $ , $ {l}_{2} $ 为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（ ）（多选）
A．若 $ {l}_{1} $ , $ {l}_{2} $ 斜率相等，则 $ {l}_{1} $ , $ {l}_{2} $ 平行
B．若 $ {l}_{1} $ , $ {l}_{2} $ 平行，则 $ {l}_{1} $ , $ {l}_{2} $ 的斜率相等
C．若 $ {l}_{1} $ , $ {l}_{2} $ 的斜率乘积等于 $ -1 $ ，则 $ {l}_{1} $ , $ {l}_{2} $ 垂直
D．若 $ {l}_{1} $ , $ {l}_{2} $ 垂直，则 $ {l}_{1} $ , $ {l}_{2} $ 的斜率乘积等于 $ -1 $
根据两直线的位置关系可知,若 $ {l}_{1} $ , $ {l}_{2} $ 斜率相等,则 $ {l}_{1} $ , $ {l}_{2} $ 平行；
若 $ {l}_{1} $ , $ {l}_{2} $ 平行,则当 $ {l}_{1} $ , $ {l}_{2} $ 与 $ y $ 轴平行或其中一条直线与 $ y $ 轴重合时, $ {l}_{1} $ , $ {l}_{2} $ 的斜率不存在,即可得 $ \mathrm{A} $ 正确, $ \mathrm{B} $ 错误.
易知若 $ {l}_{1} $ , $ {l}_{2} $ 的斜率乘积等于 $ -1 $ ,则 $ {l}_{1} $ , $ {l}_{2} $ 垂直；
若 $ {l}_{1} $ , $ {l}_{2} $ 垂直,则当 $ {l}_{1} $ 与 $ x $ 轴平行或重合, $ {l}_{2} $ 与 $ y $ 轴平行或重合时, $ {l}_{1} $ 的斜率为 $ {\rm 0,} {l}_{2} $ 的斜率不存在,即可得 $ \mathrm{C} $ 正确, $ \mathrm{D} $ 错误.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{C} $ .
5．若直线 $ {l}_{1} $ 的倾斜角为 $ {135}^{\circ } $ ，直线 $ {l}_{2} $ 经过点 $ P(-2,-1) $ ， $ Q(3,-6) $ ，则直线 $ {l}_{1} $ 与 $ {l}_{2} $ 的位置关系是（ ）
A．垂直
B．平行
C．重合
D．平行或重合
$ \because $ 直线 $ {l}_{1} $ 的倾斜角为 $ {135}^{\circ } $ , $ \therefore $ 斜率 $ {k}_{1}= \tan {135}^{\circ }=-1.\because $ 直线 $ {l}_{2} $ 经过点 $ P(-2,-1) $ , $ Q(3,-6) $ , $ \therefore $ 斜率 $ {k}_{2}=\dfrac{-6-(-1)}{3-(-2)}=\dfrac{-5}{5}=-1 $ ,显然 $ {k}_{1}={k}_{2} $ , $ \therefore {l}_{1} $ 与 $ {l}_{2} $ 平行或重合.故选 $ \mathrm{D} $ .
6．已知直线 $ {l}_{1} $ , $ {l}_{2} $ 的斜率是方程 $ {x}^{2}-px-2=0 $ 的两个根，则（ ）
A． $ {l}_{1}\perp {l}_{2} $
B． $ {l}_{1}//{l}_{2} $
C． $ {l}_{1} $ 与 $ {l}_{2} $ 相交但不垂直
D． $ {l}_{1} $ 与 $ {l}_{2} $ 的位置关系不确定
设直线 $ {l}_{1} $ , $ {l}_{2} $ 的斜率分别为 $ {k}_{1} $ , $ {k}_{2} $ ，则 $ {k}_{1}{k}_{2}=-2 $ .
$ \because {k}_{1}{k}_{2}\ne -1 $ ， $ \therefore {l}_{1} $ , $ {l}_{2} $ 不垂直， $ \mathrm{A} $ 错误；
若 $ {k}_{1}={k}_{2} $ ，则 $ {k}_{1}{k}_{2}={k}_{1}^{2}\geqslant 0 $ ，与 $ {k}_{1}{k}_{2}=-2 $ 矛盾， $ \therefore {k}_{1}\ne {k}_{2} $ ， $ \therefore {l}_{1} $ , $ {l}_{2} $ 不平行， $ \mathrm{B} $ 错误；
$ \because {l}_{1} $ , $ {l}_{2} $ 不平行，也不垂直， $ \therefore {l}_{1} $ , $ {l}_{2} $ 相交但不垂直， $ \mathrm{C} $ 正确， $ \mathrm{D} $ 错误.故选 $ \mathrm{C} $ .
7．顺次连接点 $ A(-4,3) $ ， $ B(2,5) $ ， $ C(6,3) $ ， $ D(-3,0) $ ，所构成的图形是（ ）
A．平行四边形
B．直角梯形
C．等腰梯形
D．以上都不对
$ {k}_{AB}=\dfrac{3-5}{-4-2}=\dfrac{1}{3} $ , $ {k}_{CD}=\dfrac{3-0}{6-(-3)}=\dfrac{1}{3} $ , $ {k}_{AD}=\dfrac{3-0}{-4+3}=-3 $ , $ {k}_{CB}=\dfrac{5-3}{2-6}=-\dfrac{1}{2} $ ,则 $ {k}_{AB}={k}_{CD} $ , $ {k}_{AD}\ne {k}_{CB} $ ,所以 $ AB//CD $ , $ AD $ 与 $ BC $ 不平行, $ {k}_{AD}\cdot {k}_{AB}=-1 $ ，因此 $ AD\perp AB $ ,故构成的图形为直角梯形.故选 $ \mathrm{B} $ .
8．已知点 $ A(-2,2) $ , $ B(6,4) $ , $ H(5,2) $ , $ H $ 是 $ △ABC $ 的垂心，则点 $ C $ 的坐标为（ ）
A． $ (6,2) $
B． $ (-6,2) $
C． $ (-4,-2) $
D． $ (6,-2) $
设 $ C $ 点坐标为 $ (x,y) $ ,由垂心的性质得 $ BC\perp AH $ , $ BH\perp AC $ .由于直线 $ AH $ 的斜率 $ {k}_{AH}=\dfrac{2-2}{5+2}=0 $ ,故直线 $ BC $ 的斜率不存在,而点 $ B $ 的横坐标为6,故 $ x=6 $ ;由于直线 $ BH $ 的斜率 $ {k}_{BH}=\dfrac{4-2}{6-5}=2 $ ,故直线 $ AC $ 的斜率 $ {k}_{AC}=\dfrac{y-2}{6+2}=-\dfrac{1}{2} $ ,解得 $ y=-2 $ , $ \therefore $ 点 $ C $ 的坐标为 $ (6,-2) $ .故选 $ \mathrm{D} $ .
9．直线 $ {l}_{1} $ 过点 $ A(4,a) $ ， $ B(a-1,3) $ 两点，直线 $ {l}_{2} $ 过点 $ C(2,3) $ ， $ D(-1,a-2) $ 两点，若 $ {l}_{1}\perp {l}_{2} $ ，则 $ a= $ .
0或5
当直线 $ {l}_{1} $ 的斜率不存在时,直线 $ {l}_{2} $ 的斜率为0,满足 $ {l}_{1}\perp {l}_{2} $ ,
此时 $ \begin{cases}a-1=4,\\ 3=a-2,\end{cases} $ 解得 $ a=5 $ ；
当直线 $ {l}_{1} $ 的斜率存在时, $ a\ne 5 $ ,由 $ {l}_{1}\perp {l}_{2} $ 得 $ \dfrac{a-3}{4-(a-1)}×\dfrac{(a-2)-3}{-1-2}=-1 $ ,解得 $ a=0 $ .
综上, $ a=0 $ 或 $ a=5 $ .
10．经过点 $ P(0,-1) $ 作直线 $ l $ ，若直线 $ l $ 与连接 $ A(-2,1) $ , $ B(-1,-\sqrt{3}-1) $ 两点的线段总有公共点，则 $ l $ 的倾斜角 $ \alpha $ 的取值范围为（ ）
A． $ [0,\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}] $
B． $ [0,\mathrm{\pi }) $
C． $ [0,\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}]\cup (\dfrac{\mathrm{\pi }}{2},\dfrac{3\mathrm{\pi }}{4}] $
D． $ [0,\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}]\cup [\dfrac{3\mathrm{\pi }}{4},\mathrm{\pi }) $
依题意，直线 $ PA $ 的斜率 $ {k}_{PA}=\dfrac{-1-1}{2}=-1 $ ，直线 $ PB $ 的斜率 $ {k}_{PB}=\dfrac{-\sqrt{3}-1+1}{-1}=\sqrt{3} $ ，
由直线 $ l $ 与线段 $ AB $ 总有公共点，得直线 $ l $ 的斜率 $ k\in [-1,\sqrt{3}] $ ，即 $ -1\leqslant \tan \alpha \leqslant \sqrt{3} $ ，
当 $ -1\leqslant \tan \alpha < 0 $ 时，又 $ \alpha \in [0,\mathrm{\pi }) $ ，则 $ \dfrac{3\mathrm{\pi }}{4}\leqslant \alpha < \mathrm{\pi } $ ；当 $ 0\leqslant \tan \alpha \leqslant \sqrt{3} $ 时，又 $ \alpha \in [0,\mathrm{\pi }) $ ,得 $ 0\leqslant \alpha \leqslant \dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ ，所以 $ l $ 的倾斜角 $ \alpha $ 的取值范围为 $ [0,\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}]\cup [\dfrac{3\mathrm{\pi }}{4},\mathrm{\pi }) $ .故选 $ \mathrm{D} $ .
