第2.1节综合训练

设直线 $ l $ 的斜率 $ k= \tan \alpha $ , $ \alpha $ 为倾斜角, $ \alpha \in [0,\mathrm{\pi }) $ .已知 $ k\in [-\sqrt{3},\sqrt{3}] $ ,即 $ \tan \alpha \in [-\sqrt{3},\sqrt{3}] $ .当 $ \tan \alpha \in [0,\sqrt{3}] $ 时, $ \alpha \in [0,\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}] $ ；当 $ \tan \alpha \in [-\sqrt{3},0) $ 时, $ \alpha \in [\dfrac{2\mathrm{\pi }}{3},\mathrm{\pi }) $ .

综上,当 $ k\in [-\sqrt{3},\sqrt{3}] $ 时, $ \alpha \in [0,\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}]\cup [\dfrac{2\mathrm{\pi }}{3},\mathrm{\pi }) $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

设直线 $ l $ 上的一个点为 $ A(m,n) $ ,由直线 $ l $ 沿 $ x $ 轴向左平移4个单位长度,再向上平移2个单位长度,可得点 $ A(m,n) $ 的对应点 $ A^\prime (m-4,n+2) $ ,因为直线 $ l $ 平移后又回到原来的位置,所以 $ A^\prime (m-4,n+2) $ 也在原来的直线 $ l $ 上,故直线 $ l $ 的斜率为 $ {k}_{AA\prime }=\dfrac{n+2-n}{m-4-m}=-\dfrac{1}{2} $ .故选 $ \mathrm{A} $ .

设直线 $ {l}_{2} $ 的倾斜角为 $ \alpha $ ，则直线 $ {l}_{1} $ 的倾斜角为 $ 2\alpha $ ,所以 $ \tan 2\alpha =\dfrac{2 \tan \alpha }{1-{ \tan }^{2}\alpha }=-\dfrac{3}{4} $ ，即 $ 3{ \tan }^{2}\alpha -8 \tan \alpha -3=0 $ ，解得 $ \tan \alpha =3 $ 或 $ -\dfrac{1}{3} $ .

因为 $ \tan 2\alpha =-\dfrac{3}{4} < 0 $ ，所以 $ 2\alpha \in (\dfrac{\mathrm{\pi }}{2},\mathrm{\pi }) $ ，所以 $ \alpha \in (\dfrac{\mathrm{\pi }}{4},\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}) $ ，易得 $ {l}_{2} $ 的倾斜角为锐角，所以 $ {l}_{2} $ 的斜率为3．故选 $ \mathrm{B} $ .

设直线 $ {l}_{1} $ , $ {l}_{2} $ , $ {l}_{3} $ 的倾斜角分别为 $ {\alpha }_{1} $ , $ {\alpha }_{2} $ , $ {\alpha }_{3} $ ,

则 $ {k}_{1}= \tan {\alpha }_{1} $ , $ {k}_{2}= \tan {\alpha }_{2} $ , $ {k}_{3}= \tan {\alpha }_{3} $ ,

由题图可知 $ 0 < {\alpha }_{3} < {\alpha }_{2} < \dfrac{\mathrm{\pi }}{2} $ , $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{2} < {\alpha }_{1} < \mathrm{\pi } $ ,所以 $ {k}_{1} < {k}_{3} < {k}_{2} $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

如图所示,当直线 $ l $ 位于从直线 $ PB $ 逆时针旋转到直线 $ PA $ 的范围内才能保证过点 $ P(0,-2) $ 的直线 $ l $ 与线段 $ AB $ 有交点.直线 $ l $ 从 $ PB $ 逆时针旋转到 $ y $ 轴的过程中,倾斜角变大到 $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{2} $ ,斜率从 $ {k}_{PB} $ 增大到正无穷大,又 $ {k}_{PB}=\dfrac{-2-3}{0-2}=\dfrac{5}{2} $ ,此时直线 $ l $ 的斜率的取值范围为 $ [\dfrac{5}{2},+\mathrm{\infty }) $ ;直线 $ l $ 从 $ y $ 轴逆时针旋转到 $ PA $ 的过程中,倾斜角从 $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{2} $ 开始变大,斜率从负无穷大增大到 $ {k}_{PA} $ ,又 $ {k}_{PA}=\dfrac{-2-4}{0-(-1)}=-6 $ ,此时直线 $ l $ 的斜率的取值范围为 $ (-\mathrm{\infty },-6] $ .综上,直线 $ l $ 的斜率的取值范围为 $ (-\mathrm{\infty },-6]\cup [\dfrac{5}{2},+\mathrm{\infty }) $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

设 $ P(x,0) $ ,易知当 $ x=1 $ 或 $ x=6 $ 时,不合题意,因此当 $ x\ne 1 $ 且 $ x\ne 6 $ 时,可得 $ {k}_{MN}=\dfrac{3-(-2)}{1-6}=-1 $ , $ {k}_{MP}=-\dfrac{3}{x-1} $ , $ {k}_{NP}=\dfrac{2}{x-6} $ .当 $ \mathrm{\angle }M $ 为直角时, $ {k}_{MN}\cdot {k}_{MP}=(-1)\cdot \dfrac{-3}{x-1}=-1 $ ,解得 $ x=-2 $ ,此时点 $ P $ 的坐标为 $ (-2,0) $ ;当 $ \mathrm{\angle }N $ 为直角时, $ {k}_{MN}\cdot {k}_{NP}=(-1)\cdot \dfrac{2}{x-6}=-1 $ ,解得 $ x=8 $ ,此时点 $ P $ 的坐标为 $ (8,0) $ ;当 $ \mathrm{\angle }P $ 为直角时, $ {k}_{MP}\cdot {k}_{NP}=-\dfrac{3}{x-1}\cdot \dfrac{2}{x-6}=-1 $ ,化简得 $ {x}^{2}-7x=0 $ ,解得 $ x=0 $ 或 $ x=7 $ ,此时点 $ P $ 的坐标为 $ (0,0) $ 或 $ (7,0) $ .故选 $ \mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{D} $ .

因为 $ A $ ， $ B $ ， $ C $ 三点共线，所以 $ {k}_{AB}={k}_{BC} $ .根据 $ A $ , $ B $ , $ C $ 三点的坐标有 $ \dfrac{1-5}{n-m}=\dfrac{3-1}{n+1-n} $ ，则 $ 2(n-m)-1×(-4)=0 $ ，即 $ m-n=2 $ .

因为 $ A(-1,\sqrt{3}) $ ,所以 $ {k}_{OA}=-\sqrt{3} $ .因为点 $ B $ 在第一象限,且 $ OB\perp OA $ ,所以 $ {k}_{OB}=\dfrac{\sqrt{3}}{3} $ ,所以直线 $ OB $ 的倾斜角为 $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{6} $ ,所以 $ \mathrm{\angle }BOy=\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ .设 $ \mathrm{\angle }BOy $ 的平分线所在直线为直线 $ l $ ,则直线 $ l $ 的倾斜角为 $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ ,所以 $ {k}_{l}= \tan \dfrac{\mathrm{\pi }}{3}=\sqrt{3} $ ,即 $ \mathrm{\angle }BOy $ 的平分线所在直线的斜率为 $ \sqrt{3} $ .

依题意，两直线垂直，则两直线的方向向量垂直，其数量积为零，可得 $ b(1-a)+2a=0 $ ，即 $ 2a+b=ab $ ，所以 $ \dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{a}=1 $ .

由 $ a > 0 $ , $ b > 0 $ 得 $ 3a+2b=(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b})(3a+2b)=7+\dfrac{2b}{a}+\dfrac{6a}{b}\geqslant 7+4\sqrt{3} $ ，当且仅当 $ \dfrac{2b}{a}=\dfrac{6a}{b} $ ，即 $ a=1+\dfrac{2\sqrt{3}}{3} $ , $ b=2+\sqrt{3} $ 时取等号.

不妨设 $ A({x}_{0} $ , $ \dfrac{1}{2}{ \log }_{3}{x}_{0}) $ ，则 $ B(\sqrt{{x}_{0}} $ , $ \dfrac{1}{2}{ \log }_{3}{x}_{0}) $ ， $ C({x}_{0},{ \log }_{3}{x}_{0}) $ ，

由题意可得 $ {k}_{BO}={k}_{OC}⇒\dfrac{{ \log }_{3}{x}_{0}}{{x}_{0}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}{ \log }_{3}{x}_{0}}{\sqrt{{x}_{0}}} $ ，

解得 $ {x}_{0}=4 $ 或 $ {x}_{0}=1 $ ，经过检验 $ {x}_{0}=1 $ 不符合题意，故舍去，故直线 $ BC $ 的斜率为 $ \dfrac{{ \log }_{3}4}{4}=\dfrac{{ \log }_{3}2}{2} $ .

由题意， $ \dfrac{y+1}{x-1} $ 可看作是定点 $ C(1,-1) $ 与线段 $ AB $ 上的点连线的斜率.

又 $ {k}_{AC}=\dfrac{2-(-1)}{-1-1}=-\dfrac{3}{2} $ ， $ {k}_{BC}=\dfrac{3-(-1)}{2-1}=4 $ ，

则由图可得 $ \dfrac{y+1}{x-1} $ 的取值范围为 $ (-\infty ,-\dfrac{3}{2}]\cup [4,+\infty ). $