1．过点 $ P(-1,2) $ 且方向向量为 $ \boldsymbol{a}=(-1,2) $ 的直线方程为（ ）
A． $ y=-2x $
B． $ y=2x+4 $
C． $ y=\dfrac{1}{2}x $
D． $ y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2} $
由直线的方向向量为 $ \boldsymbol{a}=(-1,2) $ ,可得直线的斜率 $ k=-2 $ .又因为直线过点 $ P(-1,2) $ ,所以所求直线方程为 $ y-2=-2(x+1) $ ,即 $ y=-2x $ .故选 $ \mathrm{A} $ .
2．已知直线的方程为 $ y+3=-(x-1) $ ，则（ ）
A．该直线过点 $ (-1,-3) $ ，斜率为 $ -1 $
B．该直线过点 $ (-1,-3) $ ，斜率为1
C．该直线过点 $ (1,-3) $ ，斜率为 $ -1 $
D．该直线过点 $ (1,-3) $ ，斜率为1
因为直线方程为 $ y+3=-(x-1) $ ,所以直线的斜率为 $ -1 $ ,且当 $ x=1 $ 时, $ y=-3 $ ,故直线过点 $ (1,-3) $ ,故选 $ \mathrm{C} $ .
3．［河南南阳2025高二月考］在平面直角坐标系中，下列四个结论正确的是（ ）（多选）
A．每一条直线都有点斜式和斜截式方程
B．倾斜角是钝角的直线，斜率为负数
C．方程 $ k=\dfrac{y+1}{x-2} $ 与方程 $ y+1=k(x-2) $ 表示同一条直线
D．直线过点 $ P({x}_{0},{y}_{0}) $ ，倾斜角为 $ {90}^{\circ } $ ，则其方程为 $ x={x}_{0} $
对于 $ \mathrm{A} $ ,斜率不存在的直线无点斜式和斜截式方程,故 $ \mathrm{A} $ 选项错误；
对于 $ \mathrm{B} $ ,倾斜角是钝角的直线,其倾斜角的正切值为负数,即直线的斜率为负数,故 $ \mathrm{B} $ 选项正确；
对于 $ \mathrm{C} $ ,方程 $ k=\dfrac{y+1}{x-2} $ 表示直线 $ y+1=k(x-2) $ 去掉点 $ (2,-1) $ ,方程 $ y+1=k(x-2) $ 表示直线 $ y+1=k(x-2) $ ,包含点 $ (2,-1) $ ，因此不表示同一条直线,故 $ \mathrm{C} $ 选项错误；
对于 $ \mathrm{D} $ ,直线过点 $ P({x}_{0},{y}_{0}) $ ,倾斜角为 $ {90}^{\circ } $ ,则其方程为 $ x={x}_{0} $ ,故 $ \mathrm{D} $ 选项正确.故选 $ \mathrm{B}\mathrm{D} $ .
4．过点 $ A(4,-1) $ 与 $ B(0,7) $ 的直线的斜截式方程是（ ）
A． $ y=-2x+7 $
B． $ y=-2x-1 $
C． $ y=2x+7 $
D． $ y=-2x+4 $
由题意可知直线的斜率为 $ k=\dfrac{-1-7}{4-0}=-2 $ ，且纵截距为7，所以直线的斜截式方程是 $ y=-2x+7 $ .故选 $ \mathrm{A} $ .
5．若直线 $ y-1=k(x-\sqrt{3}) $ 不经过第四象限，则实数 $ k $ 的取值范围是（ ）
A． $ (0,\dfrac{\sqrt{3}}{3}) $
B． $ [0,\dfrac{\sqrt{3}}{3}] $
C． $ (-\mathrm{\infty },\dfrac{\sqrt{3}}{3}) $
D． $ (\dfrac{\sqrt{3}}{3},+\mathrm{\infty }) $
由直线 $ y=kx-\sqrt{3}k+1 $ 不经过第四象限,得 $ \begin{cases}k\geqslant 0,\\ 1-\sqrt{3}k\geqslant 0\end{cases}⇒0\leqslant k\leqslant \dfrac{\sqrt{3}}{3}. $ .
故选 $ \mathrm{B} $ .
6．［吉林长春外国语学校2025高二期中］对于直线 $ l:x=my+1 $ ，下列说法正确的是（ ）（多选）
A．直线 $ l $ 恒过定点 $ (1,0) $
B．直线 $ l $ 的斜率可以不存在
C．当 $ m=\sqrt{3} $ 时，直线 $ l $ 的倾斜角为 $ {60}^{\circ } $
D．当 $ m=2 $ 时，直线 $ l $ 在 $ y $ 轴上的截距为 $ \dfrac{1}{2} $
对于 $ \mathrm{A} $ ,在直线 $ l:x=my+1 $ 中,令 $ y=0 $ ,则 $ x=1 $ ,所以直线 $ l $ 过定点 $ (1,0) $ ,故 $ \mathrm{A} $ 正确；
对于 $ \mathrm{B} $ ,当 $ m=0 $ 时,直线 $ l:x=1 $ ,此时直线 $ l $ 的斜率不存在,故 $ \mathrm{B} $ 正确；
对于 $ \mathrm{C} $ ,当 $ m=\sqrt{3} $ 时,直线 $ l:x=\sqrt{3}y+1 $ ,所以直线 $ l $ 的斜率为 $ \dfrac{\sqrt{3}}{3} $ ,倾斜角为 $ {30}^{\circ } $ ,故 $ \mathrm{C} $ 错误；
对于 $ \mathrm{D} $ ,当 $ m=2 $ 时,直线 $ l:x=2y+1 $ ,令 $ x=0 $ ,得 $ y=-\dfrac{1}{2} $ ,即直线 $ l $ 在 $ y $ 轴上的截距为 $ -\dfrac{1}{2} $ ,故 $ \mathrm{D} $ 错误.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{B} $ .
7．与直线 $ y=-2x+3 $ 平行,且过直线 $ y=3x+4 $ 与 $ x $ 轴的交点的直线方程是（ ）
A． $ y=-2x+4 $
B． $ y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{8}{3} $
C． $ y=-2x-\dfrac{8}{3} $
D． $ y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{8}{3} $
在 $ y=3x+4 $ 中,令 $ y=0 $ ,得 $ x=-\dfrac{4}{3} $ ,所以直线 $ y=3x+4 $ 与 $ x $ 轴的交点坐标为 $ (-\dfrac{4}{3},0) $ .又所求直线与直线 $ y=-2x+3 $ 平行,即斜率为 $ -2 $ ,故所求直线方程为 $ y-0=-2(x+\dfrac{4}{3})=-2x-\dfrac{8}{3} $ ,即 $ y=-2x-\dfrac{8}{3} $ .故选 $ \mathrm{C} $ .
8．已知 $ △ABC $ 的三个顶点的坐标是 $ A(1,4) $ , $ B(-1,0) $ , $ C(5,2) $ .
（1） 求边 $ AB $ 上的高所在直线的方程；
（2） 求边 $ AB $ 的垂直平分线的方程.
（1） 【解】直线 $ AB $ 的斜率为 $ \dfrac{4-0}{1-(-1)}=2 $ .边 $ AB $ 上的高所在直线的斜率为 $ -\dfrac{1}{2} $ .又边 $ AB $ 上的高所在直线过点 $ C $ ,故边 $ AB $ 上的高所在直线的方程为 $ y-2=-\dfrac{1}{2}(x-5) $ ,即 $ y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{9}{2} $ .
（2） 记线段 $ AB $ 的中点为 $ D $ ,则点 $ D $ 的坐标为 $ (0,2) $ .边 $ AB $ 的垂直平分线过点 $ D(0,2) $ 且斜率为 $ -\dfrac{1}{2} $ ,故所求直线方程为 $ y=-\dfrac{1}{2}x+2 $ .
9．已知点 $ M $ 是直线 $ l：y=\sqrt{3}x+3 $ 与 $ x $ 轴的交点，将直线 $ l $ 绕点 $ M $ 旋转 $ {30}^{\circ } $ ，所得到的直线 $ l\prime $ 的方程为 .
$ x+\sqrt{3}=0 $ 或 $ y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}(x+\sqrt{3}) $
在 $ y=\sqrt{3}x+3 $ 中，令 $ y=0 $ ，得 $ x=-\sqrt{3} $ ，即 $ M(-\sqrt{3},0) $ .因为直线 $ l $ 的斜率为 $ \sqrt{3} $ ，所以其倾斜角为 $ {60}^{\circ } $ .若直线 $ l $ 绕点 $ M $ 逆时针旋转 $ {30}^{\circ } $ ，则得到的直线 $ l\prime $ 的倾斜角为 $ {90}^{\circ } $ ，此时直线 $ l\prime $ 的斜率不存在，故其方程为 $ x+\sqrt{3}=0 $ ；若直线 $ l $ 绕点 $ M $ 顺时针旋转 $ {30}^{\circ } $ ，则得到的直线 $ l\prime $ 的倾斜角为 $ {30}^{\circ } $ ，此时直线 $ l\prime $ 的斜率为 $ \tan {30}^{\circ }=\dfrac{\sqrt{3}}{3} $ ，故其方程为 $ y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}(x+\sqrt{3}) $ .综上所述，所求直线 $ l\prime $ 的方程为 $ x+\sqrt{3}=0 $ 或 $ y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}(x+\sqrt{3}) $ .