1．有关直线的两点式方程，有如下说法：
①直线的两点式方程适用于求与两坐标轴均不垂直的直线方程；
②直线方程 $ \dfrac{y-{y}_{1}}{{y}_{2}-{y}_{1}}=\dfrac{x-{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}} $ 也可写成 $ \dfrac{y-{y}_{2}}{{y}_{1}-{y}_{2}}=\dfrac{x-{x}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}} $ ；
③过点 $ {P}_{1}({x}_{1},{y}_{1}) $ ， $ {P}_{2}({x}_{2},{y}_{2}) $ 的直线的方程可以表示成 $ ({x}_{2}-{x}_{1})(y-{y}_{1})=({y}_{2}-{y}_{1})(x-{x}_{1}) $ .
其中正确说法的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
①正确,从两点式方程的形式看,只要 $ {x}_{1}\ne {x}_{2} $ , $ {y}_{1}\ne {y}_{2} $ ,就可以用两点式来求解直线的方程；②正确,方程 $ \dfrac{y-{y}_{1}}{{y}_{2}-{y}_{1}}=\dfrac{x-{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}} $ 与 $ \dfrac{y-{y}_{2}}{{y}_{1}-{y}_{2}}=\dfrac{x-{x}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}} $ 的形式有异,但实质相同,均表示过点 $ ({x}_{1},{y}_{1}) $ 和 $ ({x}_{2},{y}_{2}) $ 的直线；③正确,可由直线的两点式方程变形得来,且 $ {x}_{1}={x}_{2} $ , $ {y}_{1}={y}_{2} $ 时仍然成立.故选 $ \mathrm{D} $ .
2．已知直线 $ l $ 的两点式方程为 $ \dfrac{y-0}{\sqrt{3}-0}=\dfrac{x+1}{-4+1} $ ，则直线 $ l $ 的倾斜角为（ ）
A． $ {150}^{\circ } $
B． $ {120}^{\circ } $
C． $ {60}^{\circ } $
D． $ {30}^{\circ } $
设直线 $ l $ 的倾斜角为 $ \alpha $ , $ {0}^{\circ }\leqslant \alpha < {180}^{\circ } $ .由直线的两点式方程 $ \dfrac{y-0}{\sqrt{3}-0}=\dfrac{x+1}{-4+1} $ ,得直线 $ l $ 过点 $ (-1,0) $ 和 $ (-4,\sqrt{3}) $ ,则直线 $ l $ 的斜率 $ k=\dfrac{\sqrt{3}-0}{-4-(-1)}=-\dfrac{\sqrt{3}}{3} $ ,所以 $ \tan \alpha =-\dfrac{\sqrt{3}}{3} $ .又因为 $ {0}^{\circ }\leqslant \alpha < {180}^{\circ } $ ,所以 $ \alpha ={150}^{\circ } $ .故选 $ \mathrm{A} $ .
3．设 $ A $ ， $ B $ 是 $ x $ 轴上的两点，点 $ P $ 的横坐标为2，且 $ PA=PB $ ，若直线 $ PA $ 的方程为 $ x-y+1=0 $ ，则直线 $ PB $ 的方程为（ ）
A． $ 2x+y-7=0 $
B． $ 2x-y-4=0 $
C． $ x+y-5=0 $
D． $ x+y-1=0 $
如图，因为点 $ P $ 在直线 $ x-y+1=0 $ 上，且横坐标为2，所以点 $ P $ 的坐标为 $ (2,3) $ .
点 $ A $ 为直线 $ x-y+1=0 $ 与 $ x $ 轴的交点，所以 $ A(-1,0) $ .
又点 $ B $ 在 $ x $ 轴上，且 $ PA=PB $ ，则点 $ (2,0) $ 是线段 $ AB $ 的中点，所以 $ B(5,0) $ ，
所以直线 $ PB $ 的方程为 $ \dfrac{y-0}{3-0}=\dfrac{x-5}{2-5} $ ，即 $ x+y-5=0 $ .故选 $ \mathrm{C} $ .
4．两条直线 $ {l}_{1}:\dfrac{x}{a}-\dfrac{y}{b}=1 $ 和 $ {l}_{2}:\dfrac{x}{b}-\dfrac{y}{a}=1 $ 在同一平面直角坐标系中可以是（ ）（多选）
A．
B．
C．
D．
由截距式方程可得直线 $ {l}_{1} $ 的横、纵截距分别为 $ a $ ， $ -b $ ，直线 $ {l}_{2} $ 的横、纵截距分别为 $ b $ ， $ -a $ .
对于 $ \mathrm{A} $ ，由题图中 $ {l}_{1} $ 的位置可得 $ a < 0 $ ， $ b > 0 $ ，则直线 $ {l}_{2} $ 的截距均为正数，故 $ \mathrm{A} $ 符合题意；
对于 $ \mathrm{B} $ ，由题图中 $ {l}_{1} $ 的位置可得 $ a < 0 $ ， $ b > 0 $ ，则直线 $ {l}_{2} $ 的截距均为正数，故 $ \mathrm{B} $ 不符合题意；
对于 $ \mathrm{C} $ ，由题图中 $ {l}_{1} $ 的位置可得 $ a < 0 $ ， $ b < 0 $ ，则直线 $ {l}_{2} $ 的横截距为负数，纵截距为正数，故 $ \mathrm{C} $ 不符合题意；
对于 $ \mathrm{D} $ ，由题图中 $ {l}_{1} $ 的位置可得 $ a > 0 $ , $ b > 0 $ ，则直线 $ {l}_{2} $ 的横截距为正数，纵截距为负数，故 $ \mathrm{D} $ 不符合题意.故选 $ \mathrm{A} $ .
5．直线 $ l $ 经过点 $ P(4,-3) $ ，在 $ x $ 轴上的截距为 $ a $ ，在 $ y $ 轴上的截距为 $ b $ ，且 $ a $ , $ b $ 满足 $ { \log }_{a}b=2 $ ，则直线 $ l $ 的斜率为（ ）
A．2
B． $ -1 $
C． $ -3 $
D． $ -1 $ 或 $ -3 $
由题意知 $ ab\ne 0 $ ,可设直线 $ l $ 的方程为 $ \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1 $ ，则 $ \dfrac{4}{a}+\dfrac{-3}{b}=1\mathrm{①} $ ，又 $ { \log }_{a}b=2 $ ， $ \therefore b={a}^{2}\mathrm{②} $ .
由①②解得 $ a=3 $ ， $ b=9 $ 或 $ a=1 $ ， $ b=1 $ .又由 $ { \log }_{a}b=2 $ 知 $ a > 0 $ , $ a\ne 1 $ , $ b > 0 $ ，则 $ a=3 $ ， $ b=9 $ ，则直线 $ l $ 的斜率为 $ -\dfrac{b}{a}=-3 $ ．故选 $ \mathrm{C} $ ．
6．已知 $ O $ 为坐标原点，直线 $ l $ 过点 $ P(-3,1) $ ，且与 $ x $ 轴负半轴交于点 $ A $ ，与 $ y $ 轴正半轴交于点 $ B $ ，则 $ △AOB $ 的面积的最小值为（ ）
A．12
B． $ 3\sqrt{2} $
C．8
D．6
依题意设直线 $ l $ 的方程为 $ \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1(a < 0,b > 0) $ ,则 $ -\dfrac{3}{a}+\dfrac{1}{b}=1(a < 0,b > 0) $ ,所以 $ -\dfrac{3}{a} > 0 $ , $ \dfrac{1}{b} > 0 $ ,所以 $ 1\geqslant 2\sqrt{-\dfrac{3}{a}\cdot \dfrac{1}{b}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{-ab}} $ ,即 $ -ab\geqslant 12 $ ,当且仅当 $ -\dfrac{3}{a}=\dfrac{1}{b} $ ,即 $ a=-6 $ , $ b=2 $ 时,等号成立.所以 $ △AOB $ 的面积 $ S=\dfrac{1}{2}\left|a\right|\left|b\right|=-\dfrac{1}{2}ab\geqslant 6 $ ,则 $ △AOB $ 的面积的最小值为6.故选 $ \mathrm{D} $ .
7．已知 $ △ABC $ 的三个顶点分别为 $ A(0,4) $ ， $ B(-2,6) $ ， $ C(-8,0) $ .
（1） 求边 $ AC $ 和 $ AB $ 所在直线的方程；
（2） 求 $ AC $ 边上的中线 $ BD $ 所在直线与坐标轴围成的三角形的面积.
（1）【解】由截距式方程，得边 $ AC $ 所在直线的方程为 $ \dfrac{x}{-8}+\dfrac{y}{4}=1 $ ，即 $ x-2y+8=0 $ .
由两点式方程，得边 $ AB $ 所在直线的方程为 $ \dfrac{y-4}{6-4}=\dfrac{x-0}{-2-0} $ ，即 $ x+y-4=0 $ .
（2）【解】
由题意，得点 $ D $ 的坐标为 $ (-4,2) $ ，
由两点式方程，得中线 $ BD $ 所在直线的方程为 $ \dfrac{y-2}{6-2}=\dfrac{x-(-4)}{-2-(-4)} $ ，即 $ 2x-y+10=0 $ ，所以 $ \dfrac{x}{-5}+\dfrac{y}{10}=1 $ .
所以中线 $ BD $ 所在直线与坐标轴围成的三角形的面积 $ S=\dfrac{1}{2}×5×10=25 $ .
8．直线 $ l $ 过点 $ P(2025,2026) $ ，且在 $ x $ 轴、 $ y $ 轴上的截距互为相反数，则直线 $ l $ 的方程为 .
$ y=\dfrac{2026}{2025}x $ 或 $ y=x+1 $
当直线 $ l $ 在 $ x $ 轴、 $ y $ 轴上的截距均为0时,直线 $ l $ 过点 $ (0,0) $ , $ P(2025,2026) $ ,则直线 $ l $ 的斜率 $ k=\dfrac{2026}{2025} $ , $ \therefore $ 直线 $ l $ 的方程为 $ y=\dfrac{2026}{2025}x $ ；当直线 $ l $ 在 $ x $ 轴、 $ y $ 轴上的截距不为0时, $ \because $ 直线 $ l $ 在 $ x $ 轴、 $ y $ 轴上的截距互为相反数, $ \therefore $ 设直线 $ l $ 的方程为 $ \dfrac{x}{a}-\dfrac{y}{a}=1 $ ,又直线 $ l $ 过点 $ P(2025,2026) $ , $ \therefore \dfrac{2025}{a}-\dfrac{2026}{a}=1 $ , $ \therefore a=-1 $ ,则直线 $ l $ 的方程为 $ -x+y=1 $ ,即 $ y=x+1 $ .综上,直线 $ l $ 的方程为 $ y=\dfrac{2026}{2025}x $ 或 $ y=x+1 $ .