1．［甘肃酒泉多校2026高二期中联考］已知直线 $ l $ 的方程为 $ x \cos \theta -y-3=0 $ ，则直线 $ l $ 的倾斜角 $ \alpha $ 的可能取值为（ ）（多选）
A． $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{4} $
B． $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $
C． $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{2} $
D． $ \dfrac{5\mathrm{\pi }}{6} $
已知直线 $ l $ 的方程为 $ x \cos \theta -y-3=0 $ ,且直线 $ l $ 的倾斜角为 $ \alpha $ ,则直线 $ l $ 的斜率 $ k= \cos \theta \in [-1,1] $ ,所以 $ \tan \alpha \in [-1,1] $ .又 $ \alpha \in [0 $ , $ \mathrm{\pi }) $ ,所以 $ \alpha \in [0,\dfrac{\mathrm{\pi }}{4}]\cup [\dfrac{3\mathrm{\pi }}{4},\mathrm{\pi }) $ ,故直线 $ l $ 的倾斜角 $ \alpha $ 的可能取值为 $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{4} $ 和 $ \dfrac{5\mathrm{\pi }}{6} $ .故选 $ \mathrm{A}\mathrm{D} $ .
2．若 $ AB < 0 $ ， $ BC > 0 $ ，则直线 $ Ax-By-C=0 $ 不经过（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
由 $ Ax-By-C=0 $ ，得 $ y=\dfrac{A}{B}x-\dfrac{C}{B} $ ，又 $ AB < 0 $ ， $ BC > 0 $ ，则直线的斜率 $ \dfrac{A}{B} < 0 $ ，在 $ y $ 轴上的截距 $ -\dfrac{C}{B} < 0 $ ，所以直线 $ Ax-By-C=0 $ 经过第二、三、四象限，不经过第一象限.故选 $ \mathrm{A} $ ．
3．直线 $ l:\sqrt{3}x-y+2=0 $ 与 $ y $ 轴交于点 $ A $ ，将 $ l $ 绕点 $ A $ 顺时针旋转 $ {15}^{\circ } $ 得到直线 $ m $ ，则直线 $ m $ 的一般式方程为 .
$ x-y+2=0 $
在直线 $ l:\sqrt{3}x-y+2=0 $ 中，令 $ x=0 $ ，解得 $ y=2 $ ，则直线 $ l $ 与 $ y $ 轴的交点 $ A $ 为 $ (0,2) $ .又直线 $ l $ 的斜率为 $ \sqrt{3} $ ，倾斜角为 $ {60}^{\circ } $ ，将 $ l $ 绕点 $ A $ 顺时针旋转 $ {15}^{\circ } $ 得到直线 $ m $ 的倾斜角为 $ {45}^{\circ } $ ，所以直线 $ m $ 的斜率为 $ \tan {45}^{\circ }=1 $ ，所以直线 $ l $ 的方程为 $ y=x+2 $ ，故直线 $ m $ 的一般式方程为 $ x-y+2=0 $ .
4．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程.
（1） 经过点 $ P(-2,1) $ ，斜率为2；
（2） 经过两点 $ A(-1,5) $ , $ B(2,-1) $ ；
（3） 一个方向向量为 $ (2,3) $ ，且在 $ x $ 轴上的截距为1.
（1） 【解】经过点 $ P(-2,1) $ ,斜率为2的直线的方程为 $ y-1=2(x+2) $ ,即 $ 2x-y+5=0 $ .
（2） 直线经过两点 $ A(-1,5) $ , $ B(2,-1) $ ,则直线方程为 $ \dfrac{y-5}{-1-5}=\dfrac{x-(-1)}{2-(-1)} $ ,化为一般式方程为 $ 2x+y-3=0 $ .
（3） 直线的一个方向向量为 $ (2,3) $ ,则该直线的斜率为 $ \dfrac{3}{2} $ ,因为该直线在 $ x $ 轴上的截距为1,
所以该直线经过点 $ (1,0) $ ,所以该直线的方程为 $ y=\dfrac{3}{2}(x-1) $ ,即 $ 3x-2y-3=0 $ .
5．已知直线 $ {l}_{1} $ 过点 $ A(2,5) $ 且与直线 $ {l}_{2}:2x+y-4=0 $ 平行，则直线 $ {l}_{1} $ 的一般式方程为（ ）
A． $ 2x+y+9=0 $
B． $ 2x+y-9=0 $
C． $ x+2y+9=0 $
D． $ x+2y-9=0 $
因为直线 $ {l}_{1} $ 与直线 $ {l}_{2}:2x+y-4=0 $ 平行，所以直线 $ {l}_{1} $ 的斜率为 $ -2 $ .又直线 $ {l}_{1} $ 过点 $ A(2,5) $ ，则直线 $ {l}_{1} $ 的方程为 $ y-5=-2(x-2) $ ，即一般式方程为 $ 2x+y-9=0 $ .故选 $ \mathrm{B} $ .
6．已知倾斜角为 $ \theta $ 的直线 $ l $ 与直线 $ 3x+y-4=0 $ 垂直，则 $ \cos {}^{2}\theta = $ （ ）
A． $ \dfrac{1}{10} $
B． $ \dfrac{1}{9} $
C． $ \dfrac{9}{10} $
D． $ \dfrac{1}{3} $
由题知直线 $ 3x+y-4=0 $ 的斜率为 $ -3 $ ,因为倾斜角为 $ \theta $ 的直线 $ l $ 与直线 $ 3x+y-4=0 $ 垂直,所以 $ \tan \theta =\dfrac{-1}{-3}=\dfrac{1}{3} $ ,而 $ 0\leqslant \theta < \mathrm{\pi } $ ,则 $ \begin{cases}\dfrac{ \sin \theta }{ \cos \theta }=\dfrac{1}{3},\\ { \sin }^{2}\theta +{ \cos }^{2}\theta =1,\end{cases} $ 解得 $ { \cos }^{2}\theta =\dfrac{9}{10} $ .故选 $ \mathrm{C} $ .
7．“ $ a=1 $ ”是“直线 $ ax+(a-2)y-1=0 $ 和直线 $ x-ay+2=0 $ 平行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
当 $ a=1 $ 时,两直线方程分别为 $ x-y-1=0 $ 和 $ x-y+2=0 $ ,可见两直线斜率相等,且两直线不重合,所以两直线平行,所以“ $ a=1 $ ”是“直线 $ ax+(a-2)y-1=0 $ 和直线 $ x-ay+2=0 $ 平行”的充分条件.
若直线 $ ax+(a-2)y-1=0 $ 和直线 $ x-ay+2=0 $ 平行,则 $ a\cdot (-a)-(a-2)×1=0 $ ，解得 $ a=-2 $ 或 $ a=1 $ .当 $ a=-2 $ 时,两直线方程分别为 $ 2x+4y+1=0 $ 和 $ x+2y+2=0 $ ,斜率相等,且两直线不重合，所以两直线平行；当 $ a=1 $ 时,两直线方程分别为 $ x-y-1=0 $ 和 $ x-y+2=0 $ ,斜率相等,且两直线不重合，所以两直线平行.所以“ $ a=1 $ ”不是“直线 $ ax+(a-2)y-1=0 $ 和直线 $ x-ay+2=0 $ 平行”的必要条件.
综上,“ $ a=1 $ ”是“直线 $ ax+(a-2)\cdot y-1=0 $ 和直线 $ x-ay+2=0 $ 平行”的充分不必要条件.故选 $ \mathrm{A} $ .
8．设直线 $ l $ 过点 $ M(3,-1) $ ，且和直线 $ 4x-3y=0 $ 平行.
（1） 求直线 $ l $ 的方程；
（2） 设直线 $ l $ 与 $ y $ 轴相交于点 $ N $ ，求直线 $ l $ 绕点 $ N $ 逆时针旋转 $ {90}^{\circ } $ 所得的直线方程.
（1） 【解】直线 $ l $ 与直线 $ 4x-3y=0 $ 平行,可设直线 $ l $ 的方程为 $ 4x-3y+m=0(m\ne 0) $ ,又因为直线 $ l $ 过点 $ M(3,-1) $ ,所以 $ 4×3-3×(-1)+m=0 $ , $ m=-15 $ ,故直线 $ l $ 的方程为 $ 4x-3y-15=0 $ .
（2） 在直线 $ l $ 的方程中,令 $ x=0 $ 可得 $ -3y-15=0 $ ,解得 $ y=-5 $ ,即点 $ N(0,-5) $ .直线 $ l $ 绕点 $ N $ 逆时针旋转 $ {90}^{\circ } $ 所得的直线与直线 $ l $ 垂直,则可设所求直线方程为 $ 3x+4y+n=0 $ .由题意得所求直线过点 $ N $ ,所以 $ 3×0+4×(-5)+n=0 $ ,解得 $ n=20 $ ,故所求直线方程为 $ 3x+4y+20=0 $ .
9．已知直线 $ {l}_{1}:kx-y+1=0 $ 与 $ {l}_{2}:kx+(4-k)y+1=0 $ 平行，则 $ k $ 的值是（ ）
A．5
B．0或5
C．0
D．0或1
由直线 $ {l}_{1} $ , $ {l}_{2} $ 平行得，当 $ k=0 $ 时，直线 $ {l}_{1} $ , $ {l}_{2} $ 的方程分别为 $ y=1 $ ， $ y=-\dfrac{1}{4} $ ，显然两直线平行；当 $ k\ne 0 $ 时，由 $ \dfrac{k}{k}=\dfrac{-1}{4-k} $ ，解得 $ k=5 $ ，而当 $ k=5 $ 时，直线 $ {l}_{1} $ , $ {l}_{2} $ 的方程分别为 $ 5x-y+1=0 $ , $ 5x-y+1=0 $ ,两直线重合,不符合题意.综上所述， $ k $ 的值为0.故选 $ \mathrm{C} $ .