第2.2节综合训练

设直线 $ {l}_{2} $ 的倾斜角为 $ \theta $ ，因为直线 $ {l}_{1}:x+\sqrt{3}y-1=0 $ 的斜率为 $ -\dfrac{\sqrt{3}}{3} $ ，所以直线 $ {l}_{2} $ 的斜率为 $ \sqrt{3} $ ，则 $ \tan \theta =\sqrt{3} $ .因为 $ \theta \in [0,\mathrm{\pi }) $ ，所以 $ \theta =\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

设直线 $ {l}_{1} $ , $ {l}_{2} $ 的倾斜角分别为 $ \alpha $ , $ \beta $ ，则 $ \tan \alpha =\dfrac{1}{2} $ ， $ \beta =\alpha +{45}^{\circ } $ ，

故 $ \tan \beta = \tan (\alpha +{45}^{\circ })=\dfrac{1+ \tan \alpha }{1- \tan \alpha }=3 $ .又点 $ P $ 在直线 $ {l}_{2} $ 上，

所以直线 $ {l}_{2} $ 的方程为 $ y-1=3(x+2) $ ，整理得 $ y=3x+7 $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

如图所示.由 $ △ABC $ 的顶点 $ A(-3,0) $ , $ B(3,0) $ , $ C(3,3) $ 知, $ △ABC $ 的重心为 $ (\dfrac{-3+3+3}{3} $ , $ \dfrac{0+0+3}{3}) $ ，即 $ (1,1) $ .因为 $ BC\perp AB $ ,所以三角形 $ ABC $ 为直角三角形,所以外心为斜边 $ AC $ 的中点 $ (\dfrac{-3+3}{2},\dfrac{0+3}{2}) $ ,即 $ (0,\dfrac{3}{2}) $ ,

所以可得 $ △ABC $ 的欧拉线方程为 $ \dfrac{y-1}{\dfrac{3}{2}-1}=\dfrac{x-1}{0-1} $ ,即 $ x+2y-3=0 $ .

因为 $ ax+(a-3)y-9=0 $ 与 $ x+2y-3=0 $ 平行,所以 $ \dfrac{a}{1}=\dfrac{a-3}{2}\ne \dfrac{-9}{-3} $ ,解得 $ a=-3 $ .故选C.

对于 $ \mathrm{A} $ ,点 $ (0,2) $ 和 $ (1,1) $ 连线的中点 $ (\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2}) $ 在直线 $ y=x+1 $ 上,且连线所在直线的斜率为 $ \dfrac{2-1}{0-1}=-1 $ ,可得该直线与直线 $ y=x+1 $ 垂直,所以点 $ (0,2) $ 关于直线 $ y=x+1 $ 的对称点为 $ (1,1) $ ,故 $ \mathrm{A} $ 正确；

对于 $ \mathrm{B} $ ,直线 $ x-y-2=0 $ 与两坐标轴交于 $ (0,-2) $ , $ (2,0) $ 两点,所以围成的三角形面积为 $ \dfrac{1}{2}×2×2=2 $ ,故 $ \mathrm{B} $ 正确；

对于 $ \mathrm{C} $ ,若直线经过原点,直线在 $ x $ 轴和 $ y $ 轴上的截距均为0,满足题意,此时的直线方程为 $ y=x $ ,故 $ \mathrm{C} $ 错误；

对于 $ \mathrm{D} $ , $ x $ 轴、 $ y $ 轴上的截距分别为 $ a $ , $ b $ ,只有 $ a\ne 0 $ ,且 $ b\ne 0 $ 时,直线方程为 $ \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1 $ ,故 $ \mathrm{D} $ 错误.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{B} $ .

对于 $ \mathrm{A} $ ,设直线 $ {l}_{1} $ 的倾斜角为 $ \theta $ ,则 $ \theta \in [0,\mathrm{\pi }) $ ,由题设有直线 $ {l}_{1} $ 的斜率 $ k={a}^{2}\geqslant 0 $ ,则 $ \tan \theta \geqslant 0 $ ,故 $ \theta \in [0,\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}) $ ,故 $ \mathrm{A} $ 正确；

对于 $ \mathrm{B} $ ,直线 $ {l}_{2}:x-ay-1=0 $ ,当 $ y=0 $ 时, $ x=1 $ ,故直线过点 $ (1,0) $ ,且该直线的斜率非零或不存在,故 $ {l}_{2} $ 一定经过第一、四象限,故 $ \mathrm{B} $ 正确；

对于 $ \mathrm{C} $ ,因为 $ {l}_{1}\perp {l}_{2} $ ,所以 $ {a}^{2}×1+(-1)×(-a)=0 $ ,故 $ a=0 $ 或 $ a=-1 $ ,故 $ \mathrm{C} $ 错误；

对于 $ \mathrm{D} $ ,因为 $ {l}_{1}//{l}_{2} $ ,所以 $ {a}^{2}×(-a)=1×(-1) $ ,故 $ a=1 $ ,此时 $ {l}_{1}:x-y+1=0 $ , $ {l}_{2}:x-y-1=0 $ ,所以 $ {l}_{1} $ , $ {l}_{2} $ 平行不重合,故 $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{D} $ .

因为两条直线都过点 $ A(4,3) $ ，

所以 $ 4{a}_{1}+3{b}_{1}+1=0 $ 且 $ 4{a}_{2}+3{b}_{2}+1=0 $ ，

所以过点 $ {P}_{1}({a}_{1},{b}_{1}) $ 和点 $ {P}_{2}({a}_{2},{b}_{2}) $ 的直线方程为 $ 4x+3y+1=0 $ .

如图所示,由点 $ A(\dfrac{1}{2} $ , $ 1) $ , $ B(2,4) $ ,得直线 $ AB $ 的方程为 $ y=2x $ .由题意得点 $ M $ 在射线 $ AB $ 上,设点 $ M(t,2t)(t > \dfrac{1}{2}) $ ,点 $ N(n,0) $ ， $ n > 0 $ .

由 $ M $ , $ N $ , $ P $ 三点共线和点 $ P(2,1) $ 可知,当 $ t\ne 2 $ 时, $ \dfrac{2t-1}{t-2}=\dfrac{0-1}{n-2} $ ,解得 $ n=\dfrac{2-t}{2t-1}+2=\dfrac{3t}{2t-1} $ ,此时 $ △MON $ 的面积为 $ {S}_{△MON}=\dfrac{1}{2}\cdot 2t\cdot \dfrac{3t}{2t-1}=\dfrac{3{t}^{2}}{2t-1} $ .令 $ 2t-1=u(u > 0,u\ne 3) $ ,即 $ t=\dfrac{u+1}{2} $ ,则 $ {S}_{△MON}=\dfrac{3{\left(\dfrac{u+1}{2}\right) ^ {2}}}{u}=\dfrac{3u}{4}+\dfrac{3}{4u}+\dfrac{3}{2}\geqslant 2\sqrt{\dfrac{3u}{4}\cdot \dfrac{3}{4u}}+\dfrac{3}{2}=3 $ ,当且仅当 $ \dfrac{3u}{4}=\dfrac{3}{4u} $ ,即 $ u=1 $ 时等号成立.故当 $ t=1 $ 时, $ {S}_{△MON} $ 取最小值3.当 $ t=2 $ 时, $ M(2,4) $ , $ N(2,0) $ , $ P(2,1) $ ,此时 $ {S}_{△MON}=\dfrac{1}{2}×4×2=4 > 3 $ .综上， $ {S}_{△MON} $ 的最小值为3.