2.3.1 两条直线的交点坐标

联立 $ \begin{cases}5x-3y-17=0,\\ x-y-5=0,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}x=1,\\ y=-4,\end{cases} $ 则直线 $ ax+y-2=0 $ 经过点 $ (1,-4) $ ,则 $ a-4-2=0 $ ,解得 $ a=6 $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

当线段 $ AB $ 最短时,直线 $ AB $ 与直线 $ x+y-3=0 $ 垂直,点 $ B $ 是直线 $ AB $ 与直线 $ x+y-3=0 $ 的交点.因为直线 $ AB $ 与直线 $ x+y-3=0 $ 垂直,所以 $ {k}_{AB}=1 $ ,故直线 $ AB $ 的方程为 $ y=x+1 $ ,由 $ \begin{cases}y=x+1,\\ x+y-3=0,\end{cases} $ 得 $ \begin{cases}x=1,\\ y=2,\end{cases} $ 所以 $ B(1,2) $ .故选 $ \mathrm{A} $ .

联立 $ \begin{cases}x+2y-4=0,\\ kx-y+2k+1=0,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}x=\dfrac{2-4k}{2k+1},\\ y=\dfrac{6k+1}{2k+1},\end{cases} $ 即直线 $ {l}_{1} $ 与直线 $ {l}_{2} $ 的交点为 $ (\dfrac{2-4k}{2k+1},\dfrac{6k+1}{2k+1}) $ ，由题意可得 $ \begin{cases}\dfrac{2-4k}{2k+1} > 0,\\ \dfrac{6k+1}{2k+1} > 0,\end{cases} $ 解得 $ -\dfrac{1}{6} < k < \dfrac{1}{2} $ ，即实数 $ k $ 的取值范围是 $ (-\dfrac{1}{6},\dfrac{1}{2}) $ ，故选 $ \mathrm{A} $ .

①当直线 $ l $ 的斜率不存在时,直线 $ l $ 的方程为 $ x=3 $ ,此时 $ l $ 与直线 $ 2x-y-2=0 $ , $ x+y+3=0 $ 的交点分别为 $ (3,4) $ , $ (3,-6) $ ,所截得的线段中点为 $ (3,-1) $ ,不是点 $ P $ ,故直线 $ x=3 $ 不符合题意,舍去；

②当直线 $ l $ 的斜率存在时,设直线 $ l:y=k(x-3) $ , $ k\ne 2 $ 且 $ k\ne -1 $ ,直线 $ l $ 与直线 $ 2x-y-2=0 $ ， $ x+y+3=0 $ 的交点分别为 $ A $ , $ B $ ,由 $ \begin{cases}2x-y-2=0,\\ y=k\left(x-3\right)\end{cases} $ 可得 $ A(\dfrac{2-3k}{2-k},\dfrac{-4k}{2-k}) $ ,由 $ \begin{cases}x+y+3=0,\\ y=k\left(x-3\right)\end{cases} $ 可得 $ B(\dfrac{3k-3}{k+1},\dfrac{-6k}{k+1}) $ ,

由中点坐标公式可得 $ \begin{cases}\dfrac{-4k}{2-k}+\dfrac{-6k}{k+1}=0,\\ \dfrac{2-3k}{2-k}+\dfrac{3k-3}{k+1}=6,\end{cases} $ 解得 $ k=8 $ ,所以直线 $ l $ 的方程为 $ y=8(x-3)=8x-24 $ ,整理得 $ 8x-y-24=0 $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

直线 $ {l}_{1}:2x-y+1=0 $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A $ ，令 $ y=0 $ 得 $ x=-\dfrac{1}{2} $ ，即 $ A(-\dfrac{1}{2},0) $ .

直线 $ {l}_{2}:x-3y-3=0 $ 与 $ x $ 轴交于点 $ B $ ，令 $ y=0 $ 得 $ x=3 $ ，即 $ B(3,0) $ .

由 $ \begin{cases}2x-y+1=0,\\ x-3y-3=0\end{cases} $ 得 $ \begin{cases}x=-\dfrac{6}{5},\\ y=-\dfrac{7}{5},\end{cases} $ 则直线 $ {l}_{1} $ 与 $ {l}_{2} $ 的交点 $ P $ 为 $ (-\dfrac{6}{5} $ , $ -\dfrac{7}{5}) $ ，则 $ \overrightarrow {PA}=(\dfrac{7}{10},\dfrac{7}{5}) $ ， $ \overrightarrow {PB}=(\dfrac{21}{5},\dfrac{7}{5}) $ ，则 $ \cos ⟨\overrightarrow {PA} $ , $ \overrightarrow {PB}⟩=\dfrac{\overrightarrow {PA}\cdot \overrightarrow {PB}}{|\overrightarrow {PA}||\overrightarrow {PB}|}=\dfrac{\dfrac{147}{50}+\dfrac{49}{25}}{\sqrt{\dfrac{49}{100}+\dfrac{49}{25}}×\sqrt{\dfrac{441}{25}+\dfrac{49}{25}}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} $ ，又 $ ⟨\overrightarrow {PA} $ , $ \overrightarrow {PB}⟩\in [0,\mathrm{\pi }] $ ，则 $ ⟨\overrightarrow {PA} $ , $ \overrightarrow {PB}⟩=\dfrac{\mathrm{\pi }}{4} $ ，则 $ \mathrm{\angle }APB=\dfrac{\mathrm{\pi }}{4} $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

直线 $ l：(\lambda -1)x+y-\lambda =0 $ 整理得 $ (x-1)\lambda -x+y=0 $ ,令 $ \begin{cases}x-1=0,\\ y-x=0,\end{cases} $ 则 $ x=y=1 $ ,故直线 $ l $ 恒过定点 $ (1,1) $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

由 $ l:mx+y-m-2=0 $ ,得 $ m(x-1)+y-2=0 $ ,设其过定点 $ P $ .

令 $ \begin{cases}x-1=0,\\ y-2=0,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}x=1,\\ y=2,\end{cases} $ 则直线 $ l $ 经过定点 $ P(1,2) $ .所以 $ {k}_{PM}=\dfrac{3-2}{-4-1}=-\dfrac{1}{5} $ , $ {k}_{PN}=\dfrac{9-2}{3-1}=\dfrac{7}{2} $ .

如图,设直线 $ l $ 的斜率为 $ k $ ,则 $ k\geqslant \dfrac{7}{2} $ 或 $ k\leqslant -\dfrac{1}{5} $ ,即 $ -m\geqslant \dfrac{7}{2} $ 或 $ -m\leqslant -\dfrac{1}{5} $ ,解得 $ m\leqslant -\dfrac{7}{2} $ 或 $ m\geqslant \dfrac{1}{5} $ ,故选 $ \mathrm{C} $ .

由 $ x-2my=0 $ 以及 $ (2x-6)m+y-4=0 $ 得 $ A(0,0) $ , $ B(3,4) $ ,

由 $ 1×2m+(-2m)×1=0 $ 得两条动直线始终垂直,则 $ {\left|PA\right|}^{2}+{\left|PB\right|}^{2}={\left|AB\right|}^{2}={3}^{2}+{4}^{2}=25 $ ,则 $ \dfrac{1}{{\left|PA\right|}^{2}}+\dfrac{4}{{\left|PB\right|}^{2}}=\dfrac{1}{25}(\dfrac{1}{{\left|PA\right|}^{2}}+\dfrac{4}{{\left|PB\right|}^{2}})({\left|PA\right|}^{2}+{\left|PB\right|}^{2})=\dfrac{1}{25}(5+\dfrac{{\left|PB\right|}^{2}}{{\left|PA\right|}^{2}}+\dfrac{4{\left|PA\right|}^{2}}{{\left|PB\right|}^{2}})\geqslant \dfrac{1}{25}(5+2\sqrt{\dfrac{{\left|PB\right|}^{2}}{{\left|PA\right|}^{2}}\cdot \dfrac{4{\left|PA\right|}^{2}}{{\left|PB\right|}^{2}}})=\dfrac{1}{25}×(5+4)=\dfrac{9}{25} $ ,当且仅当 $ {\left|PB\right|}^{2}=2{\left|PA\right|}^{2} $ ,即 $ {\left|PB\right|}^{2}=\dfrac{50}{3} $ , $ {\left|PA\right|}^{2}=\dfrac{25}{3} $ 时等号成立,故 $ \dfrac{1}{{\left|PA\right|}^{2}}+\dfrac{4}{{\left|PB\right|}^{2}} $ 的最小值是 $ \dfrac{9}{25} $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

由题知直线 $ {l}_{1} $ , $ {l}_{2} $ , $ {l}_{3} $ 的斜率分别为 $ {k}_{1}=1 $ , $ {k}_{2}=-2 $ , $ {k}_{3}=-m $ ，纵截距分别为 $ {\rm 1,4,} -1 $ .

由 $ \begin{cases}y=x+1,\\ y=-2x+4,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}x=1,\\ y=2,\end{cases} $

即直线 $ {l}_{1} $ , $ {l}_{2} $ 的交点为 $ A(1,2) $ .

由直线 $ {l}_{1} $ , $ {l}_{2} $ , $ {l}_{3} $ 不能围成三角形，得直线 $ {l}_{1}//{l}_{3} $ 或 $ {l}_{2}//{l}_{3} $ 或点 $ A $ 在直线 $ {l}_{3} $ 上，则 $ -m=1 $ 或 $ -m=-2 $ 或 $ m+2+1=0 $ ，解得 $ m=-1 $ 或 $ m=2 $ 或 $ m=-3 $ ，所以实数 $ m $ 的取值集合为 $ ｛-1 {\rm ,2} $ , $ -3｝ $ .故选 $ \mathrm{C} $ .