2.3.2 两点间的距离公式

设 $ BC $ 的中点为 $ D $ ，因为 $ B(3,-2) $ ， $ C(5,4) $ ，所以 $ D(4,1) $ ,所以 $ BC $ 边上的中线长 $ |AD|=\sqrt{{\left(4-0\right) ^ {2}}+{\left(1-4\right) ^ {2}}}=5 $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

将直线 $ l:mx-y-4m-8=0 $ 变形为 $ y+8=m(x-4) $ ，令 $ \begin{cases}x-4=0,\\ y+8=0,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}x=4,\\ y=-8,\end{cases} $ 则直线 $ l $ 恒过点 $ (4,-8) $ ，不妨设为 $ B(4,-8) $ ，所以点 $ A $ 到直线 $ l $ 的最远距离为 $ |AB| $ ，此时直线 $ l\perp AB $ .

又 $ |AB|=\sqrt{{\left(2-4\right) ^ {2}}+{\left(-4+8\right) ^ {2}}}=2\sqrt{5} $ ，所以点 $ A $ 到直线 $ l $ 的距离的最大值是 $ 2\sqrt{5} $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

设点 $ B(4,4) $ 关于直线 $ x-y+2=0 $ 对称的点为 $ C({x}_{0},{y}_{0}) $ ,

则有 $ \begin{cases}\dfrac{{y}_{0}-4}{{x}_{0}-4}=-1,\\ \dfrac{{x}_{0}+4}{2}-\dfrac{{y}_{0}+4}{2}+2=0,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}{x}_{0}=2,\\ {y}_{0}=6,\end{cases} $ 即 $ C(2,6) $ .所以“将军饮马”的总路程最短为 $ \left|AC\right|=\sqrt{{\left(2-4\right) ^ {2}}+{\left(6-0\right) ^ {2}}}=2\sqrt{10} $ .

故选 $ \mathrm{D} $ .

因为点 $ P(x,2-3x) $ 在第一象限内,所以 $ \begin{cases}x > 0,\\ 2-3x > 0,\end{cases} $ 解得 $ 0 < x < \dfrac{2}{3} $ ,

可得 $ \left|OP\right|=\sqrt{{x}^{2}+{\left(2-3x\right) ^ {2}}}=\sqrt{10{x}^{2}-12x+4} $ .因为 $ f(x)=10{x}^{2}-12x+4 $ 的图象开口向上,对称轴为直线 $ x=\dfrac{3}{5} $ ,则当 $ x\in (0,\dfrac{2}{3}) $ 时,函数 $ f(x) $ 的最小值为 $ f(\dfrac{3}{5})=\dfrac{2}{5} $ ,且 $ f(x) < f(0)=4 $ ,即 $ \dfrac{2}{5}\leqslant f(x) < 4 $ ,可得 $ \dfrac{\sqrt{10}}{5}\leqslant \left|OP\right| < 2 $ ,所以 $ \left|OP\right| $ 的取值范围是 $ [\dfrac{\sqrt{10}}{5},2) $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

公路上的两点 $ C(4,0) $ , $ D(0,-4) $ ,则 $ {k}_{CD}=\dfrac{0-(-4)}{4-0}=1 $ ,所以直线 $ CD:y=x-4 $ ,则直线上一点 $ P({x}_{0},{x}_{0}-4) $ .由 $ \left|PA\right|=\left|PB\right| $ 可得 $ \sqrt{{\left({x}_{0}+2\right) ^ {2}}+{\left({x}_{0}-8\right) ^ {2}}}=\sqrt{{\left({x}_{0}-4\right) ^ {2}}+{\left({x}_{0}-10\right) ^ {2}}} $ ,解得 $ {x}_{0}=3 $ ,故车站 $ P $ 的坐标为 $ (3,-1) $ .

直线 $ l $ 的方程 $ (3m+1)x+(2+2m)y-8=0 $ 可变形为 $ m(3x+2y)+(x+2y-8)=0 $ ,

由 $ \begin{cases}3x+2y=0,\\ x+2y-8=0,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}x=-4,\\ y=6,\end{cases} $

故 $ P(-4,6) $ .

由题易知直线 $ l $ 的斜率存在且不为0，设直线 $ l:y-6=k(x+4) $ ， $ k\ne 0 $ ,

令 $ x=-1 $ ，得 $ y=3k+6 $ ；令 $ y=-1 $ ，得 $ x=-\dfrac{7}{k}-4 $ ，则 $ M(-1,3k+6) $ ， $ N(-\dfrac{7}{k}-4,-1) $ .

故 $ \left|PM\right|\cdot \left|PN\right|=\sqrt{9+9{k}^{2}}\cdot \sqrt{\dfrac{49}{{k}^{2}}+49}=21\sqrt{1+{k}^{2}}\cdot \sqrt{\dfrac{1}{{k}^{2}}+1}=21\sqrt{2+{k}^{2}+\dfrac{1}{{k}^{2}}}\geqslant 42 $ ，当且仅当 $ {k}^{2}=\dfrac{1}{{k}^{2}} $ ，即 $ k=±1 $ 时，等号成立．

设 $ M(x,-x-a) $ .由 $ |MA|=2|MO| $ ,得 $ (x-2)^{2}+(-x-a)^{2}=4{x}^{2}+4(-x-a)^{2} $ ，整理得 $ 6{x}^{2}+(6a+4)x+3{a}^{2}-4=0 $ .由 $ \mathrm{\Delta }\geqslant 0 $ 得 $ 9{a}^{2}-12a-28\leqslant 0 $ ，解得 $ \dfrac{2-4\sqrt{2}}{3}\leqslant a\leqslant \dfrac{2+4\sqrt{2}}{3} $ ，故实数 $ a $ 的取值范围为 $ [\dfrac{2-4\sqrt{2}}{3} $ ， $ \dfrac{2+4\sqrt{2}}{3} ] $ .

设点 $ P(3,4) $ 关于直线 $ y=x-1 $ 的对称点为 $ A(m,n) $ ，则 $ \begin{cases}\dfrac{n+4}{2}=\dfrac{m+3}{2}-1,\\ \dfrac{n-4}{m-3}\cdot 1=-1,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}m=5,\\ n=2,\end{cases} $ 故 $ A(5,2) $ .

又点 $ P(3,4) $ 关于 $ y $ 轴的对称点为 $ B(-3,4) $ ，则 $ |PQ|=|BQ| $ , $ |RA|=|PR| $ ，所以 $ △PQR $ 的周长为 $ |PQ|+|QR|+|RP|=|BQ|+|QR|+|RA|\geqslant |AB|=\sqrt{{\left(-3-5\right) ^ {2}}+{\left(4-2\right) ^ {2}}}=2\sqrt{17} $ ,当且仅当 $ B $ , $ Q $ , $ R $ , $ A $ 四点共线时， $ △PQR $ 的周长取到最小值 $ 2\sqrt{17} $ .

由题意可得 $ \left|AB\right|=\sqrt{{\left(x+\dfrac{1}{x}-1\right) ^ {2}}+{\left(x-\dfrac{1}{x}-0\right) ^ {2}}}=\sqrt{{\left(x+\dfrac{1}{x}-1\right) ^ {2}}+{\left(x-\dfrac{1}{x}\right) ^ {2}}} $

$ =\sqrt{{x}^{2}+2+\dfrac{1}{{x}^{2}}-2x-\dfrac{2}{x}+1+{x}^{2}-2+\dfrac{1}{{x}^{2}}}=\sqrt{2{x}^{2}+\dfrac{2}{{x}^{2}}-2x-\dfrac{2}{x}+1} $

$ =\sqrt{2{\left(x+\dfrac{1}{x}\right) ^ {2}}-2(x+\dfrac{1}{x})-3} $ ，

令 $ t=x+\dfrac{1}{x} $ ，由于 $ x\geqslant 1 $ ，函数 $ t=x+\dfrac{1}{x} $ 在 $ [1,+\mathrm{\infty }) $ 上单调递增，

故 $ t=x+\dfrac{1}{x}\geqslant 1+\dfrac{1}{1}=2 $ ，则 $ \sqrt{2{\left(x+\dfrac{1}{x}\right) ^ {2}}-2(x+\dfrac{1}{x})-3}=\sqrt{2{t}^{2}-2t-3}=\sqrt{2{\left(t-\dfrac{1}{2}\right) ^ {2}}-\dfrac{7}{2}} $ ，

由于 $ t\geqslant 2 $ ， $ y=2{\left(t-\dfrac{1}{2}\right) ^ {2}}-\dfrac{7}{2} $ 在 $ [2,+\mathrm{\infty }) $ 上单调递增，故 $ 2{\left(t-\dfrac{1}{2}\right) ^ {2}}-\dfrac{7}{2}\geqslant 2{\left(2-\dfrac{1}{2}\right) ^ {2}}-\dfrac{7}{2}=1 $ ，

即 $ \sqrt{2{\left(t-\dfrac{1}{2}\right) ^ {2}}-\dfrac{7}{2}} $ 的最小值为1，当且仅当 $ t=2 $ ,即 $ x=1 $ 时取等号，故动点 $ A(x+\dfrac{1}{x},x-\dfrac{1}{x}) $ 与点 $ B(1,0) $ 的距离的最小值是1.