2.3.3 点到直线的距离公式+2.3.4 两条平行直线间的距离

一、刷基础

1．若点 $ P(-1,2) $ 到直线 $ l:y=3x-a $ 的距离为 $ \sqrt{10} $ ，则 $ a= $ （      ）

A．5

B． $ -15 $

C．5或 $ -15 $

D． $ -5 $ 或15

答案：C
解析：

若点 $ P(-1,2) $ 到直线 $ l:y=3x-a $ 的距离为 $ \sqrt{10} $ ,则 $ \dfrac{|-3-2-a|}{\sqrt{10}}=\sqrt{10} $ ,解得 $ a=5 $ 或 $ a=-15 $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

2．已知实数 $ x $ ， $ y $ 满足 $ 4x-2y+3=0 $ ，则 $ \sqrt{{\left(x-1\right) ^ {2}}+{\left(y-1\right) ^ {2}}} $ 的最小值为（      ）

A．8

B． $ \sqrt{5} $

C．5

D． $ \dfrac{\sqrt{5}}{2} $

答案：D
解析：

$ \sqrt{{\left(x-1\right) ^ {2}}+{\left(y-1\right) ^ {2}}} $ 表示平面直角坐标系中,点 $ (x,y) $ 到点 $ (1,1) $ 的距离,而点 $ (x,y) $ 满足直线方程 $ 4x-2y+3=0 $ ,而直线外一点到直线上点的距离中,垂线段最短,则点 $ (1,1) $ 到直线 $ 4x-2y+3=0 $ 的距离 $ d=\dfrac{\left|4×1-2×1+3\right|}{\sqrt{{4}^{2}+{\left(-2\right) ^ {2}}}}=\dfrac{\left|4-2+3\right|}{\sqrt{20}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2} $ ,因此, $ \sqrt{{\left(x-1\right) ^ {2}}+{\left(y-1\right) ^ {2}}} $ 的最小值为 $ \dfrac{\sqrt{5}}{2} $ .

故选 $ \mathrm{D} $ .

3．“ $ a=1 $ ”是“点 $ A(0,1) $ , $ B(1,0) $ 到直线 $ x+ay+1=0 $ 的距离相等”的（      ）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案：A
解析：

点 $ A(0,1) $ 到直线 $ x+ay+1=0 $ 的距离 $ {d}_{1}=\dfrac{\left|0+a×1+1\right|}{\sqrt{{1}^{2}+{a}^{2}}}=\dfrac{\left|a+1\right|}{\sqrt{{a}^{2}+1}} $ ；点 $ B(1,0) $ 到直线 $ x+ay+1=0 $ 的距离 $ {d}_{2}=\dfrac{\left|1+a×0+1\right|}{\sqrt{{1}^{2}+{a}^{2}}}=\dfrac{2}{\sqrt{{a}^{2}+1}} $ .由 $ {d}_{1}={d}_{2} $ ,得 $ \dfrac{\left|a+1\right|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}=\dfrac{2}{\sqrt{{a}^{2}+1}} $ ,即 $ \left|a+1\right|=2 $ ,解得 $ a=1 $ 或 $ a=-3 $ .故“ $ a=1 $ ”是“点 $ A(0,1) $ , $ B(1,0) $ 到直线 $ x+ay+1=0 $ 的距离相等”的充分不必要条件.故选 $ \mathrm{A} $ .

4．已知 $ l:3x+4y+6=0 $ ， $ P(m,n) $ 为 $ l $ 上一动点，则 $ {\left(m+1\right) ^ {2}}+{n}^{2} $ 的最小值为（      ）

A． $ \dfrac{3}{5} $

B． $ \dfrac{6}{5} $

C． $ \dfrac{9}{25} $

D． $ \dfrac{36}{25} $

答案：C
解析：

因为 $ {\left(m+1\right) ^ {2}}+{n}^{2}={[\sqrt{{\left(m+1\right) ^ {2}}+{n}^{2}}]}^{2} $ ,所以 $ {\left(m+1\right) ^ {2}}+{n}^{2} $ 的最小值即为 $ P(m,n) $ 与点 $ (-1,0) $ 的距离的平方的最小值,则点 $ (-1,0) $ 到直线 $ l $ 上的点 $ P(m,n) $ 的最小值即为点 $ (-1,0) $ 到直线 $ l：3x+4y+6=0 $ 的距离,故点 $ (-1,0) $ 到直线 $ l $ 的距离 $ d=\dfrac{\left|-3+6\right|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}=\dfrac{3}{5} $ .又 $ {\left(\dfrac{3}{5}\right) ^ {2}}=\dfrac{9}{25} $ ,所以 $ {\left(m+1\right) ^ {2}}+{n}^{2} $ 的最小值为 $ \dfrac{9}{25} $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

5．直线 $ l $ 过点 $ (4,0) $ ，若点 $ (1,2) $ 到直线 $ l $ 的距离为3，则直线 $ l $ 的方程为               .

答案：

$ x=4 $ 或 $ 5x-12y-20=0 $

解析：

当直线 $ l $ 的斜率不存在时，直线 $ l $ 的方程为 $ x=4 $ ，此时点 $ (1,2) $ 到直线 $ l $ 的距离为3，符合题意；当直线 $ l $ 的斜率存在时，设直线 $ l $ 的方程为 $ y=k(x-4) $ ，即 $ kx-y-4k=0 $ ，所以此时点 $ (1,2) $ 到直线 $ l $ 的距离为 $ \dfrac{|k-2-4k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=3 $ ，解得 $ k=\dfrac{5}{12} $ ，

所以直线 $ l $ 的方程为 $ \dfrac{5}{12}x-y-\dfrac{20}{12}=0 $ ，即 $ 5x-12y-20=0 $ .

综上所述，直线 $ l $ 的方程为 $ x=4 $ 或 $ 5x-12y-20=0 $ .

6．已知直线 $ {l}_{1}:5x-12y+4=0 $ 与直线 $ {l}_{2}:10x-24y-5=0 $ 上各有一动点 $ P $ ， $ Q $ ，则 $ \left|PQ\right| $ 的最小值为（      ）

A．0

B． $ \dfrac{1}{2} $

C． $ \dfrac{5}{13} $

D． $ \dfrac{22}{13} $

答案：B
解析：

$ \because $ 直线 $ {l}_{1}:5x-12y+4=0 $ ,即 $ 10x-24y+8=0 $ , $ \therefore $ 斜率 $ {k}_{1}=\dfrac{5}{12} $ . $ \because $ 直线 $ {l}_{2}:10x-24y-5=0 $ , $ \therefore $ 斜率 $ {k}_{2}=\dfrac{10}{24}=\dfrac{5}{12} $ , $ \therefore {k}_{1}={k}_{2}=\dfrac{5}{12} $ ,显然两直线不重合, $ \therefore {l}_{1}//{l}_{2} $ .则 $ \left|PQ\right| $ 的最小值即为两平行直线间的距离,由两平行直线间的距离公式可得直线 $ {l}_{1} $ 与 $ {l}_{2} $ 的距离 $ d=\dfrac{\left|8-(-5)\right|}{\sqrt{{10}^{2}+{\left(-24\right) ^ {2}}}}=\dfrac{13}{26}=\dfrac{1}{2} $ ,即 $ \left|PQ\right| $ 的最小值为 $ \dfrac{1}{2} $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

7．若直线 $ {l}_{1}:x+ay+6=0 $ 与 $ {l}_{2}:(a-2)x+3y+2a=0 $ 平行，则两直线间的距离为（      ）

A． $ \dfrac{2\sqrt{2}}{3} $

B． $ \dfrac{2\sqrt{3}}{3} $

C． $ \dfrac{8\sqrt{2}}{3} $

D． $ \dfrac{8\sqrt{3}}{3} $

答案：C
解析：

因为直线 $ {l}_{1}:x+ay+6=0 $ 与 $ {l}_{2}:(a-2)x+3y+2a=0 $ 平行,

所以 $ 1×3=a×(a-2) $ ,解得 $ a=-1 $ 或 $ a=3 $ ,

当 $ a=3 $ 时,两直线方程都为 $ x+3y+6=0 $ ,此时两直线重合,不符合题意.

当 $ a=-1 $ 时,直线 $ {l}_{1}:x-y+6=0 $ ,直线 $ {l}_{2}:-3x+3y-2=0 $ ,即 $ x-y+\dfrac{2}{3}=0 $ ,所以两直线间的距离为 $ \dfrac{|6-\dfrac{2}{3}|}{\sqrt{2}}=\dfrac{8\sqrt{2}}{3} $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

8．已知直线 $ {l}_{1}:3x-y+3=0 $ 与直线 $ {l}_{2}:3x-y+c=0 $ 之间的距离为 $ 2\sqrt{10} $ ，则 $ c= $ （      ）

A．23

B．23或 $ -17 $

C．17

D． $ -23 $ 或17

答案：B
解析：

由题意可知，直线 $ {l}_{1} $ ， $ {l}_{2} $ 平行，直线 $ {l}_{1}:3x-y+3=0 $ 与 $ {l}_{2}:3x-y+c=0 $ 之间的距离为 $ 2\sqrt{10} $ ，则 $ \dfrac{|3-c|}{\sqrt{{3}^{2}+{\left(-1\right) ^ {2}}}}=2\sqrt{10} $ ，解得 $ c=-17 $ 或 $ c=23 $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

9．在菱形 $ ABCD $ 中，对角线 $ BD $ 与 $ x $ 轴平行， $ D(-3,1) $ , $ A(-1,0) $ .

（1） 求直线 $ DC $ 在 $ y $ 轴上的截距；

（2） 求边 $ AD $ 与边 $ BC $ 所在直线之间的距离.

答案：

（1） 【解】因为菱形 $ ABCD $ 中 $ BD $ 与 $ x $ 轴平行, $ D(-3,1) $ ,所以可设 $ B(x,1) $ .由 $ \left|AB\right|=\left|AD\right| $ , $ \left|AD\right|=\sqrt{{\left(-3+1\right) ^ {2}}+{\left(1-0\right) ^ {2}}}=\sqrt{5} $ ,得 $ \left|AB\right|=\sqrt{{\left(x+1\right) ^ {2}}+{\left(1-0\right) ^ {2}}}=\sqrt{5} $ ,解得 $ x=1 $ 或 $ x=-3 $ （此时点 $ B $ 与点 $ D $ 重合,舍去）,即 $ B(1,1) $ .又 $ \overrightarrow {AB}=(2,1) $ ,且 $ \overrightarrow {DC}=\overrightarrow {AB} $ ,所以 $ \overrightarrow {OC}=\overrightarrow {OD}+\overrightarrow {DC}=\overrightarrow {OD}+\overrightarrow {AB}=(-3,1)+(2,1)=(-1,2) $ ,即 $ C(-1,2) $ .

所以直线 $ DC $ 的斜率 $ k=\dfrac{2-1}{-1-(-3)}=\dfrac{1}{2} $ ,所以直线 $ DC $ 的方程为 $ y-1=\dfrac{1}{2}(x+3) $ ,即 $ y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2} $ .因此直线 $ DC $ 在 $ y $ 轴上的截距为 $ \dfrac{5}{2} $ .

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（2） 已知 $ A(-1,0) $ , $ D(-3,1) $ ,则直线 $ AD $ 的斜率为 $ \dfrac{1-0}{-3-(-1)}=-\dfrac{1}{2} $ ,所以直线 $ AD $ 的方程为 $ y-0=-\dfrac{1}{2}(x+1) $ ,即 $ x+2y+1=0 $ .由（1）知 $ B(1,1) $ , $ C(-1,2) $ ,则直线 $ BC $ 的斜率为 $ \dfrac{2-1}{-1-1}=-\dfrac{1}{2} $ ,所以直线 $ BC $ 的方程为 $ y-1=-\dfrac{1}{2}(x-1) $ ,即 $ x+2y-3=0 $ .根据平行直线间的距离公式,知边 $ AD $ 与边 $ BC $ 所在直线之间的距离为 $ \dfrac{\left|1-(-3)\right|}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}=\dfrac{4\sqrt{5}}{5} $ .

解析：

10．直线 $ {l}_{1} $ 过点 $ A(0,1) $ ， $ {l}_{2} $ 过点 $ B(5,0) $ ，若 $ {l}_{1}//{l}_{2} $ ，且 $ {l}_{1} $ 与 $ {l}_{2} $ 间的距离为5，则 $ {l}_{1} $ 与 $ {l}_{2} $ 的方程分别是               ，               .

答案：

$ {l}_{1}:12x-5y+5=0 $ ； $ {l}_{2}:12x-5y-60=0 $ 或 $ {l}_{1}:x=0 $ , $ {l}_{2}:x=5 $

解析：

若直线 $ {l}_{1} $ , $ {l}_{2} $ 的斜率不存在，则 $ {l}_{1} $ 的方程为 $ x=0 $ , $ {l}_{2} $ 的方程为 $ x=5 $ ，它们之间的距离为5，符合题意.若直线 $ {l}_{1} $ , $ {l}_{2} $ 的斜率存在，设直线的斜率为 $ k $ ，则 $ {l}_{1} $ 的方程为 $ y=kx+1 $ ，即 $ kx-y+1=0,{l}_{2} $ 的方程为 $ y=k(x-5) $ ,即 $ kx-y-5k=0 $ .因为直线 $ {l}_{1} $ 与直线 $ {l}_{2} $ 间的距离 $ d=\dfrac{|-1-5k|}{\sqrt{{k}^{2}+(-1)^{2}}}=5 $ ,解得 $ k=\dfrac{12}{5} $ ，所以 $ {l}_{1} $ 的方程为 $ 12x-5y+5=0 $ , $ {l}_{2} $ 的方程为 $ 12x-5y-60=0 $ .综上所述，符合题意的直线方程有两组， $ {l}_{1}:12x-5y+5=0 $ , $ {l}_{2}:12x-5y-60=0 $ 或 $ {l}_{1}:x=0,{l}_{2}:x=5 $ .

11．直线 $ l $ 经过点 $ (2,-5) $ ，且与点 $ (3,-2) $ 和点 $ (-1,6) $ 的距离之比为 $ 1:3 $ ，则直线 $ l $ 的方程为                      .

答案：

$ x=2 $ 或 $ x+3y+13=0 $

解析：

当直线 $ l $ 的斜率不存在时,直线 $ l $ 的方程为 $ x=2 $ ,显然此时该直线与点 $ (3,-2) $ 和点 $ (-1,6) $ 的距离之比为 $ 1:3 $ ,符合题意,此时直线 $ l $ 的方程为 $ x=2 $ .

当直线 $ l $ 的斜率存在时,设为 $ k $ ,则此时直线 $ l $ 的方程为 $ y+5=k(x-2)⇒kx-y-5-2k=0. $ ,因为直线 $ l $ 与点 $ (3,-2) $ 和点 $ (-1,6) $ 的距离之比为 $ 1:3 $ ,所以有 $ \dfrac{\dfrac{\left|3k+2-5-2k\right|}{\sqrt{{k}^{2}+{\left(-1\right) ^ {2}}}}}{\dfrac{\left|-k-6-5-2k\right|}{\sqrt{{k}^{2}+{\left(-1\right) ^ {2}}}}}=\dfrac{1}{3}⇒.k=-\dfrac{1}{3} $ ,直线 $ l $ 的方程为 $ -\dfrac{1}{3}x-y-5+\dfrac{2}{3}=0 $ ,即 $ x+3y+13=0 $ .