专题2 与直线有关的对称问题

由点 $ A(x,2) $ 与 $ B(-3,y) $ 关于坐标原点对称，得 $ x-3=0 $ , $ y+2=0 $ ,即 $ x=3 $ , $ y=-2 $ ，

所以 $ x+y=1 $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

因为点 $ A(-1,2) $ 与点 $ B(2,5) $ 的对称中心是 $ AB $ 的中点,所以对称中心的坐标为 $ (\dfrac{1}{2},\dfrac{7}{2}) $ ,故选 $ \mathrm{C} $ .

因为点 $ (a,b) $ 关于直线 $ y=2x $ 的对称点在 $ y $ 轴上，所以设点 $ (a,b) $ 关于直线 $ y=2x $ 的对称点为 $ (0,t) $ ，则有 $ \begin{cases}\dfrac{b-t}{a-0}×2=-1,\\ \dfrac{b+t}{2}=2×\dfrac{a+0}{2},\end{cases} $ 则 $ \begin{cases}2b-2t=-a\mathrm{①},\\ b+t=2a\mathrm{②},\end{cases}\mathrm{①}+\mathrm{②}×2 $ 整理得 $ 3a-4b=0 $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

因为点 $ A(1,2) $ 关于直线 $ l $ 对称的点为 $ B(3,1) $ ,所以直线 $ l $ 为线段 $ AB $ 的垂直平分线.因为 $ A(1,2) $ , $ B(3,1) $ 连线的中点为 $ (2,\dfrac{3}{2}) $ ,且直线 $ AB $ 的斜率 $ {k}_{AB}=\dfrac{1-2}{3-1}=-\dfrac{1}{2} $ ,所以直线 $ l $ 的斜率 $ k=2 $ ,所以直线 $ l $ 的方程为 $ y-\dfrac{3}{2}=2(x-2) $ ,即 $ 4x-2y-5=0 $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

由点 $ B(1,3) $ 关于 $ y $ 轴的对称点为 $ B^\prime (-1,3) $ ,则点 $ B^\prime (-1,3) $ 在直线 $ AE $ 上;点 $ D(3,1) $ 关于 $ x $ 轴的对称点为 $ D^\prime (3,-1) $ ,则 $ D^\prime (3,-1) $ 关于 $ y $ 轴的对称点为 $ D″(-3,-1) $ ,所以点 $ D″(-3,-1) $ 在直线 $ AE $ 上.故 $ {k}_{AE}={k}_{B^\prime D″}=\dfrac{3-(-1)}{-1-(-3)}=2 $ ,所以直线 $ AE $ 的方程为 $ y-3=2(x+1) $ ,即 $ y=2x+5 $ ,令 $ x=0 $ ,解得 $ y=5 $ ,则点 $ A $ 的坐标为 $ (0,5) $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

记点 $ (-3,4) $ 为点 $ A $ ，点 $ (-4,a) $ 为点 $ B $ ，所以线段 $ AB $ 的中点为 $ E(\dfrac{-7}{2},\dfrac{4+a}{2}) $ .

记点 $ (-1,2) $ 为点 $ C $ ，点 $ (-2,\dfrac{b}{2}) $ 为点 $ D $ ，所以线段 $ CD $ 的中点为 $ F(\dfrac{-3}{2},\dfrac{2+\dfrac{b}{2}}{2}) $ ，

由题意可知 $ {k}_{AB}={k}_{CD} $ ， $ {k}_{EF}\cdot {k}_{AB}=-1 $ ，则 $ \begin{cases}\dfrac{a-4}{-4+3}=\dfrac{\dfrac{b}{2}-2}{-2+1},\\ \dfrac{\dfrac{a+4}{2}-1-\dfrac{b}{4}}{-\dfrac{7}{2}+\dfrac{3}{2}}×\dfrac{a-4}{-4+3}=-1,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}a=3,\\ b=2,\end{cases} $ 则 $ a-b=1 $ .

由题知直线 $ AB $ 的方程为 $ \dfrac{x}{8}+\dfrac{y}{-4}=1 $ ，即 $ x-2y-8=0 $ ，

如图，设点 $ P(3,0) $ 关于直线 $ AB $ 的对称点为 $ {P}_{1}(a,b) $ ，

则 $ \begin{cases}\dfrac{b}{a-3}=-2,\\ \dfrac{a+3}{2}-2\cdot \dfrac{b}{2}-8=0,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}a=5,\\ b=-4,\end{cases} $ 即 $ {P}_{1}(5,-4) $ .

又点 $ P(3,0) $ 关于 $ y $ 轴的对称点为 $ {P}_{2}(-3,0) $ ，

所以由光的反射规律以及几何关系可知，光线所经过的路程是 $ |PM|+|MN|+|NP|=|{P}_{1}{P}_{2}|=\sqrt{{\left(5+3\right) ^ {2}}+{\left(-4-0\right) ^ {2}}}=4\sqrt{5} $ .

由 $ (2a-1)x+(-a+3)y-5=0 $ 可得 $ a(2x-y)-x+3y-5=0 $ ，

令 $ \begin{cases}2x-y=0,\\ -x+3y-5=0,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}x=1,\\ y=2,\end{cases} $ 所以 $ M(1,2) $ .

设直线 $ 2x-y+3=0 $ 关于点 $ M $ 对称的直线方程为 $ 2x-y+b=0 $ ，则 $ M(1,2) $ 到直线 $ 2x-y+3=0 $ 与 $ 2x-y+b=0 $ 的距离相等，所以 $ \dfrac{\left|2-2+3\right|}{\sqrt{5}}=\dfrac{\left|2-2+b\right|}{\sqrt{5}} $ ，解得 $ b=3 $ (两直线重合，舍去)或 $ b=-3 $ .

故直线 $ 2x-y+3=0 $ 关于点 $ M $ 对称的直线方程为 $ 2x-y-3=0 $ .故选D.

由于直线 $ x+2y-3=0 $ 与直线 $ ax+4y+b=0 $ 关于点 $ A(1,0) $ 对称，所以两直线平行，故 $ 2a=4 $ ，则 $ a=2 $ .由于点 $ (3,0) $ 在直线 $ x+2y-3=0 $ 上， $ (3,0) $ 关于点 $ A(1,0) $ 的对称点为 $ (-1,0) $ ，故点 $ (-1,0) $ 在直线 $ ax+4y+b=0 $ 上，代入可得 $ -a+b=0 $ ，故 $ b=a=2 $ ，故选 $ \mathrm{A} $ .

方法一：在直线 $ l $ 的方程中以 $ -x $ 代替 $ y $ ，以 $ -y $ 代替 $ x $ 即得到直线 $ l：x+2y+3=0 $ 关于直线 $ x+y=0 $ 对称的直线 $ l\prime $ 的方程，则直线 $ l\prime $ 的方程为 $ 2x+y-3=0 $ .故选 $ \mathrm{A} $ .

方法二：在直线 $ l:x+2y+3=0 $ 上取一点 $ A(-3,0) $ ，点 $ A(-3,0) $ 关于直线 $ x+y=0 $ 对称的点为 $ B(0,3) $ .直线 $ x+2y+3=0 $ 与直线 $ x+y=0 $ 的交点为 $ C(3,-3) $ ，所以直线 $ l\prime $ 的方程即为直线 $ BC $ 的方程，为 $ \dfrac{y+3}{3+3}=\dfrac{x-3}{0-3} $ ，化简得 $ 2x+y-3=0 $ .故选 $ \mathrm{A} $ .

易知 $ {l}_{1} $ 与 $ y $ 轴交于点 $ B(0,1) $ ， $ {l}_{2} $ 交 $ x $ 轴于点 $ A(1,0) $ ，

联立 $ \begin{cases}2x-y+1=0,\\ x-2y-1=0,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}x=-1,\\ y=-1,\end{cases} $ 则直线 $ {l}_{1} $ , $ {l}_{2} $ 的交点为 $ C(-1,-1) $ .

如图，在网格中构造直角三角形 $ △ACD $ , $ △BCE $ ，易知 $ △ACD≌△BCE $ ，

则 $ \mathrm{\angle }BCE=\mathrm{\angle }ACD $ .

又 $ \mathrm{\angle }OCE=\mathrm{\angle }OCD={45}^{\circ } $ ，

所以 $ \mathrm{\angle }OCE-\mathrm{\angle }BCE=\mathrm{\angle }OCD-\mathrm{\angle }ACD⇒\mathrm{\angle }BCO=\mathrm{\angle }ACO $ ，

即 $ OC $ 为两直线 $ {l}_{1} $ 与 $ {l}_{2} $ 夹角的角平分线，

所以直线 $ OC $ 符合题意，易知其方程为 $ x-y=0 $ ；

当直线 $ l $ 过点 $ C $ 且与直线 $ x-y=0 $ 垂直时，也符合题意，此时直线方程为 $ x+y+2=0 $ .