2.4.1 圆的标准方程
一、刷基础
1．圆心为 $ N(-4,7) $ ，且经过点 $ M(-1,3) $ 的圆的标准方程为（ ）
A． $ {\left(x-4\right) ^ {2}}+{\left(y-7\right) ^ {2}}=25 $
B． $ {\left(x+4\right) ^ {2}}+{\left(y-7\right) ^ {2}}=5 $
C． $ {\left(x+4\right) ^ {2}}+{\left(y-7\right) ^ {2}}=25 $
D． $ {\left(x-4\right) ^ {2}}+{\left(y+7\right) ^ {2}}=5 $
答案：C
解析：由圆心为 $ N(-4,7) $ 和圆上一点 $ M(-1,3) $ ,可得圆的半径 $ r=\left|MN\right|=\sqrt{{\left(-1+4\right) ^ {2}}+{\left(3-7\right) ^ {2}}}=5 $ ,则圆的标准方程为 $ {\left(x+4\right) ^ {2}}+{\left(y-7\right) ^ {2}}=25 $ .故选 $ \mathrm{C} $ .
2．已知圆 $ M $ 经过 $ P(1,1) $ ， $ Q(-7,-5) $ 两点，且圆心 $ M $ 在直线 $ l:x-2y-1=0 $ 上，则圆 $ M $ 的标准方程是（ ）
A． $ {\left(x-2\right) ^ {2}}+{\left(y-3\right) ^ {2}}=5 $
B． $ {\left(x-3\right) ^ {2}}+{\left(y-4\right) ^ {2}}=13 $
C． $ {\left(x+3\right) ^ {2}}+{\left(y+2\right) ^ {2}}=25 $
D． $ {\left(x+3\right) ^ {2}}+{\left(y-2\right) ^ {2}}=25 $
答案：C
解析：设圆心 $ M $ 的坐标为 $ (2m+1,m) $ ,由题意得 $ \left|MP\right|=\left|MQ\right| $ ,即 $ \sqrt{{\left(2m+1-1\right) ^ {2}}+{\left(m-1\right) ^ {2}}}=\sqrt{{\left(2m+1+7\right) ^ {2}}+{\left(m+5\right) ^ {2}}} $ ,解得 $ m=-2 $ ,故圆心 $ M(-3,-2) $ ,半径为 $ \sqrt{{\left(-3-1\right) ^ {2}}+{\left(-2-1\right) ^ {2}}}=5 $ ,故圆 $ M $ 的标准方程为 $ {\left(x+3\right) ^ {2}}+{\left(y+2\right) ^ {2}}=25 $ .故选 $ \mathrm{C} $ .
3．若圆 $ C $ 经过 $ P(1,4) $ ， $ Q(3,4) $ 两点，则当圆 $ C $ 的半径最小时，圆 $ C $ 的标准方程为（ ）
A． $ (x-2)^{2}+{\left(y-4 \right) ^ {2}}=4 $
B． $ (x+2)^{2}+{\left(y+4 \right) ^ {2}}=1 $
C． $ (x+2)^{2}+{\left(y+4 \right) ^ {2}}=4 $
D． $ (x-2)^{2}+{\left(y-4 \right) ^ {2}}=1 $
答案：D
解析：依题意，线段 $ PQ $ 的中点为 $ (2,4) $ ， $ |PQ|=2 $ ，圆 $ C $ 经过 $ P(1,4) $ ， $ Q(3,4) $ 两点，当圆 $ C $ 的半径最小时，线段 $ PQ $ 为圆 $ C $ 的直径，此时圆 $ C $ 的方程为 $ (x-1)(x-3)+(y-4)(y-4)=0 $ ,化简得标准方程为 $ (x-2)^{2}+{\left(y-4 \right) ^ {2}}=1 $ .故选 $ \mathrm{D} $ .
4．已知 $ M $ 为圆 $ C:{\left( { x+2 } \right) ^ {2}}+y{^{2}}=9 $ 上任意一点， $ N\left ( { -8,0 } \right ) $ ，若点 $ P $ 满足 $ \overrightarrow {{ MP }}=\dfrac { 1 } { 2 }\overrightarrow {{ PN }} $ ，则点 $ P $ 的轨迹方程为（ ）
A． $ {\left( { x+4 } \right) ^ {2}}+y{^{2}}=4 $
B． $ {\left( { x-4 } \right) ^ {2}}+y{^{2}}=4 $
C． $ {\left( { x+4 } \right) ^ {2}}+y{^{2}}=1 $
D． $ {\left( { x-4 } \right) ^ {2}}+y{^{2}}=1 $
答案：A
解析：设 $ M\left ( { x{{}_{ 0 } },y{{}_{ 0 } } } \right ) $ ， $ P\left ( { x,y } \right ) $ ，由 $ N\left ( { -8,0 } \right ) $ ， $ \overrightarrow {{ MP }}=\dfrac { 1 } { 2 }\overrightarrow {{ PN }} $ 得：
$ \left ( { x-x{{}_{ 0 } },y-y{{}_{ 0 } } } \right ) =\dfrac { 1 } { 2 }\left ( { -8-x,-y } \right ) $ ，则有 $ \begin{cases} x-x{{}_{ 0 } }=-4-\dfrac { 1 } { 2 }x， \\ y-y{{}_{ 0 } }=-\dfrac { 1 } { 2 }y \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x{{}_{ 0 } }=4+\dfrac { 3 } { 2 }x， \\ y{{}_{ 0 } }=\dfrac { 3 } { 2 }y， \end{cases} $
因为 $ M $ 为圆 $ C:{\left( { x+2 } \right) ^ {2}}+y{^{2}}=9 $ 上任意一点，所以 $ {\left( { x{{}_{ 0 } }+2 } \right) ^ {2}}+y{{}_{ 0 } ^{ 2 }}=9 $ ，代入 $ \begin{cases} x{{}_{ 0 } }=4+\dfrac { 3 } { 2 }x， \\ y{{}_{ 0 } }=\dfrac { 3 } { 2 }y \end{cases} $ 可得：
$ {\left( { 4+\dfrac { 3 } { 2 }x+2 } \right) ^ {2}}+{\left( { \dfrac { 3 } { 2 }y } \right) ^ {2}}=9 $ ，整理得： $ {\left( { x+4 } \right) ^ {2}}+y{^{2}}=4 $ ，即方程 $ {\left( { x+4 } \right) ^ {2}}+y{^{2}}=4 $ 就是动点 $ P\left ( { x,y } \right ) $ 的轨迹方程.故选A.
5．已知直线 $ {l}_{1} $ 过原点，且与直线 $ {l}_{2}:3x-2y-1=0 $ 平行．
（1） 求直线 $ {l}_{1} $ 的方程；
（2） 求 $ {l}_{1} $ 与 $ {l}_{2} $ 间的距离；
（3） 若圆 $ C $ 经过点 $ A(1,3) $ , $ B(2,2) $ ，并且被直线 $ {l}_{1} $ 平分，求圆 $ C $ 的方程．
答案：（1） 【解】根据题意可知，直线 $ {l}_{1} $ 与 $ {l}_{2}:3x-2y-1=0 $ 平行，
则直线 $ {l}_{1} $ 的斜率为 $ \dfrac{3}{2} $ ，又直线 $ {l}_{1} $ 过原点，所以直线 $ {l}_{1} $ 的方程为 $ 3x-2y=0 $ ．
（2） 直线 $ {l}_{1} $ 的方程为 $ 3x-2y=0 $ ，直线 $ {l}_{2}:3x-2y-1=0 $ ，所以 $ {l}_{1} $ 与 $ {l}_{2} $ 间的距离为 $ \dfrac{|0+1|}{\sqrt{{3}^{2}+(-2)^{2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{13}}=\dfrac{\sqrt{13}}{13} $ .
（3） 设圆心 $ C(a,b) $ .
由于直线 $ {l}_{1}:3x-2y=0 $ 平分圆 $ C $ ，所以圆心 $ C $ 在直线 $ {l}_{1} $ 上，即 $ 3a-2b=0 $ ．①
又 $ |CA|=|CB| $ ，
所以有 $ \sqrt{{\left(a-1\right) ^ {2}}+{\left(b-3\right) ^ {2}}}=\sqrt{{\left(a-2\right) ^ {2}}+{\left(b-2\right) ^ {2}}} $ ．②
联立 $ \mathrm{①}\mathrm{②} $ ,解得 $ a=2 $ ， $ b=3 $ .
所以 $ |CA|=\sqrt{{\left(2-1\right) ^ {2}}+{\left(3-3\right) ^ {2}}}=1 $ .
所以圆 $ C $ 的方程为 $ (x-2)^{2}+{\left(y-3 \right) ^ {2}}=1 $ ．
解析：
6．已知 $ a $ ， $ b $ 是方程 $ {x}^{2}-\sqrt{5}x-2=0 $ 的两个不等实数根，则点 $ P(a,b) $ 与圆 $ C：{x}^{2}+{y}^{2}=8 $ 的位置关系是（ ）
A． $ P $ 在圆内
B． $ P $ 在圆上
C． $ P $ 在圆外
D．无法确定
答案：C
解析：由 $ a $ , $ b $ 是方程 $ {x}^{2}-\sqrt{5}x-2=0 $ 的两个不等实数根，得 $ a+b=\sqrt{5} $ , $ ab=-2 $ ，则 $ {a}^{2}+{b}^{2}={\left(a+b\right) ^ {2}}-2ab=9 > 8 $ ，所以点 $ P(a,b) $ 在圆 $ C $ 的外部.故选 $ \mathrm{C} $ .
7．若点 $ P(2,-2) $ 在圆 $ O：{\left(x-a\right) ^ {2}}+{\left(y-a\right) ^ {2}}=16 $ 的外部，则实数 $ a $ 的取值范围是（ ）
A． $ (-2,2) $
B． $ (0,2) $
C． $ (-\mathrm{\infty },-2)\cup (2,+\mathrm{\infty }) $
D． $ ｛±2｝ $
答案：C
解析：由点 $ P(2,-2) $ 在圆 $ O:{\left(x-a\right) ^ {2}}+{\left(y-a\right) ^ {2}}=16 $ 的外部,得 $ {\left(2-a\right) ^ {2}}+{\left(-2-a\right) ^ {2}} > 16⇒2{a}^{2} > 8. $ ,解得 $ a < -2 $ 或 $ a > 2 $ ,所以实数 $ a $ 的取值范围是 $ (-\mathrm{\infty },-2)\cup (2,+\mathrm{\infty }) $ .故选 $ \mathrm{C} $ .
8．已知圆 $ C\text{：}{\left(x-2\right) ^ {2}}+{\left(y+m-4\right) ^ {2}}=1 $ ，当 $ m $ 变化时，圆 $ C $ 上的点到原点的最短距离是 .
解析：由题意可得，圆 $ C $ 的圆心坐标为 $ (2,4-m) $ ，半径为1，圆 $ C $ 上的点到原点的最短距离是圆心到原点的距离减去半径1，即 $ {d}_{ \min }=\sqrt{{2}^{2}+{\left(4-m\right) ^ {2}}}-1 $ ，当 $ m=4 $ 时， $ {d}_{ \min } $ 最小，此时 $ {d}_{ \min }=1 $ .
9．已知某圆圆心 $ C $ 在 $ x $ 轴上，半径为5，且在 $ y $ 轴上截得线段 $ AB $ 的长为8，则圆的标准方程为（ ）
A． $ {\left(x+3\right) ^ {2}}+{y}^{2}=25 $
B． $ {x}^{2}+{\left(y±3\right) ^ {2}}=25 $
C． $ {\left(x±3\right) ^ {2}}+{y}^{2}=5 $
D． $ {\left(x±3\right) ^ {2}}+{y}^{2}=25 $
答案：D
解析：由题意得 $ \left|AC\right|=5 $ , $ \left|AB\right|=8 $ ,所以 $ \left|AO\right|=4 $ ,在 $ \mathrm{R}\mathrm{t}△AOC $ 中， $ \left|OC\right|=\sqrt{{\left|AC\right|}^{2}-{\left|AO\right|}^{2}}=\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}=3 $ .
如图所示，有两种情况：
故圆心 $ C $ 的坐标为 $ (-3,0) $ 或 $ (3,0) $ ，
故所求圆的标准方程为 $ {\left(x±3\right) ^ {2}}+{y}^{2}=25 $ .
