2.4.2 圆的一般方程

将该圆的方程化为标准方程为 $ (x+1)^{2}+{\left(y-1 \right) ^ {2}}=3 $ ，所以圆心为 $ (-1,1) $ ，半径为 $ \sqrt{3} $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

将方程 $ {x}^{2}+{y}^{2}-4ax+y+{a}^{2}+\dfrac{1}{4}a+\dfrac{1}{2}=0 $ 配方得 $ {\left(x-2a\right) ^ {2}}+{\left(y+\dfrac{1}{2}\right) ^ {2}}=3{a}^{2}-\dfrac{1}{4}a-\dfrac{1}{4} $ ,所以圆心坐标为 $ (2a,-\dfrac{1}{2}) $ .又因为方程 $ {x}^{2}+{y}^{2}-4ax+y+{a}^{2}+\dfrac{1}{4}a+\dfrac{1}{2}=0 $ 表示圆,且圆心位于第四象限,所以 $ \begin{cases}3{a}^{2}-\dfrac{1}{4}a-\dfrac{1}{4} > 0,\\ 2a > 0,\end{cases} $ 解得 $ a > \dfrac{1}{3} $ .故选 $ \mathrm{A} $ .

对于 $ \mathrm{A} $ ,由圆的方程 $ {x}^{2}+{y}^{2}-4x+6y+k=0 $ ,可化为 $ {\left(x-2\right) ^ {2}}+{\left(y+3\right) ^ {2}}=13-k $ ,得圆心为 $ (2,-3) $ , $ \mathrm{A} $ 不正确；对于 $ \mathrm{B} $ ,当 $ k=0 $ 时,得圆的方程为 $ {\left(x-2\right) ^ {2}}+{\left(y+3\right) ^ {2}}=13 $ ,则圆的半径 $ r=\sqrt{13} $ , $ \mathrm{B} $ 正确；对于 $ \mathrm{C} $ ,由圆心为 $ (2,-3) $ ,得圆心到直线 $ x+y-1=0 $ 的距离为 $ d=\dfrac{\left|2-3-1\right|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}=\sqrt{2} $ , $ \mathrm{C} $ 正确；对于 $ \mathrm{D} $ ,当 $ k=4 $ 时,得圆的方程为 $ {\left(x-2\right) ^ {2}}+{\left(y+3\right) ^ {2}}=9 $ ,则圆的半径 $ r=3 $ ,圆的面积 $ S=\mathrm{\pi }{r}^{2}=9\mathrm{\pi } $ , $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D} $ .

设 $ △OAB $ 的外接圆方程为 $ {x}^{2}+{y}^{2}+Dx+Ey+F=0 $ ，

因为 $ O(0,0) $ ， $ A(4,3) $ ， $ B(1,-3) $ ，

所以 $ \begin{cases}F=0,\\ {4}^{2}+{3}^{2}+4D+3E+F=0,\\ {1}^{2}+{\left(-3\right) ^ {2}}+D-3E+F=0,\end{cases} $ 解得 $ D=-7 $ , $ E=1 $ , $ F=0 $ ，

所以 $ △OAB $ 的外接圆方程为 $ {x}^{2}+{y}^{2}-7x+y=0 $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

设点 $ M(x,y) $ ,由 $ \overrightarrow {DE}=\overrightarrow {EM} $ ,得 $ E $ 为线段 $ DM $ 的中点,则点 $ D(4-x,8-y) $ ,而点 $ D $ 在圆 $ C $ 上,因此 $ {\left(4-x-3\right) ^ {2}}+{\left(8-y\right) ^ {2}}=9 $ ,即 $ {x}^{2}+{y}^{2}-2x-16y+56=0 $ ,所以点 $ M $ 的轨迹方程为 $ {x}^{2}+{y}^{2}-2x-16y+56=0 $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

设圆心坐标为 $ (t,0) $ ，因为圆心在 $ x $ 轴上且圆与 $ y $ 轴相切，所以 $ \left|t\right| $ 即为半径,则根据题意得 $ \sqrt{{\left(-1-t\right) ^ {2}}+{\left(-3-0\right) ^ {2}}}=\left|t\right| $ ，解得 $ t=-5 $ .所以圆心坐标为 $ (-5,0) $ ，半径为5，则该圆的方程是 $ {\left(x+5\right) ^ {2}}+{y}^{2}=25 $ ,化为圆的一般方程得 $ {x}^{2}+{y}^{2}+10x=0 $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

因为点 $ (-1,-2) $ 在圆 $ {x}^{2}+{y}^{2}-ax-2y+{a}^{2}-15=0 $ 的外部,所以 $ \begin{cases}{\left(-a\right)}^{2}+{\left(-2\right)}^{2}-4\left({a}^{2}-15\right) > 0,\\ {\left(-1\right)}^{2}+{\left(-2\right)}^{2}+a+4+{a}^{2}-15 > 0,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}-\dfrac{8\sqrt{3}}{3} < a < \dfrac{8\sqrt{3}}{3},\\ a < -3或a > 2,\end{cases} $ 所以 $ -\dfrac{8\sqrt{3}}{3} < a < -3 $ 或 $ 2 < a < \dfrac{8\sqrt{3}}{3} $ .所以“点 $ (-1,-2) $ 在圆 $ {x}^{2}+{y}^{2}-ax-2y+{a}^{2}-15=0 $ 的外部”是“ $ a < -3 $ 或 $ a > 2 $ ”的充分不必要条件.故选 $ \mathrm{A} $ .

将圆 $ C:{x}^{2}+{y}^{2}-4x-6y+9=0 $ 化为标准方程,得 $ {\left(x-2\right) ^ {2}}+{\left(y-3\right) ^ {2}}=4 $ ,

故圆 $ C $ 的圆心为 $ C(2,3) $ ,半径 $ r=2 $ .

因为 $ {\left(1-2\right) ^ {2}}+{\left(2-3\right) ^ {2}}=2 < 4 $ ,所以点 $ Q(1,2) $ 在圆 $ C $ 的内部,

且 $ \left|CQ\right|=\sqrt{{\left(1-2\right) ^ {2}}+{\left(2-3\right) ^ {2}}}=\sqrt{2} $ ,所以 $ \left|PQ\right| $ 的取值范围为 $ [r-\left|CQ\right|,r+\left|CQ\right|]=[2-\sqrt{2},2+\sqrt{2}] $ .

故选 $ \mathrm{C} $ .

由 $ {x}^{2}+{y}^{2}-2ax+4ay+5{a}^{2}-9=0 $ ，得 $ (x-a)^{2}+{\left(y+2a \right) ^ {2}}=9 $ ，所以圆心坐标为 $ (a,-2a) $ ，半径为3，

因为圆 $ {x}^{2}+{y}^{2}-2ax+4ay+5{a}^{2}-9=0 $ 上所有点都在第二象限，

所以 $ \begin{cases}a < 0,\\ -2a > 0,\\ a < -3,\\ -2a > 3,\end{cases} $ 解得 $ a < -3 $ ，故选 $ \mathrm{A} $ .

$ 2{x}^{2}+2{y}^{2}+3kx+2ky+k=0 $ ,则 $ {x}^{2}+{y}^{2}+\dfrac{3}{2}kx+ky+\dfrac{k}{2}=0 $ ,若方程表示圆,则 $ {\left(\dfrac{3}{2}k\right) ^ {2}}+{k}^{2}-4×\dfrac{k}{2} > 0 $ ,解得 $ k < 0 $ 或 $ k > \dfrac{8}{13} $ ,即实数 $ k $ 的取值范围是 $ (-\mathrm{\infty },0)\cup (\dfrac{8}{13},+\mathrm{\infty }) $ .

【解】设点 $ M(x,y) $ 是所求曲线上任意一点，

由题意得 $ \dfrac{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}{\sqrt{{\left(x-a\right) ^ {2}}+{y}^{2}}}=k(k > 0) $ ，

化简得 $ ({k}^{2}-1){x}^{2}+({k}^{2}-1){y}^{2}-2{k}^{2}ax+{k}^{2}{a}^{2}=0 $ ，

当 $ k\ne 1 $ ，即 $ 0 < k < 1 $ 或 $ k > 1 $ 时， $ {k}^{2}-1\ne 0 $ ，所以 $ {x}^{2}+{y}^{2}+\dfrac{-2{k}^{2}a}{{k}^{2}-1}x+\dfrac{{k}^{2}{a}^{2}}{{k}^{2}-1}=0 $ .

因为 $ \dfrac{4{k}^{4}{a}^{2}}{{\left({k}^{2}-1\right) ^ {2}}}-\dfrac{4{k}^{2}{a}^{2}}{{k}^{2}-1}=\dfrac{4{k}^{2}{a}^{2}}{{\left({k}^{2}-1\right) ^ {2}}} > 0 $ ，

所以方程 $ {x}^{2}+{y}^{2}+\dfrac{-2{k}^{2}a}{{k}^{2}-1}x+\dfrac{{k}^{2}{a}^{2}}{{k}^{2}-1}=0 $ 表示以 $ (\dfrac{{k}^{2}a}{{k}^{2}-1},0) $ 为圆心， $ \left|\dfrac{ka}{{k}^{2}-1}\right| $ 为半径的圆.

当 $ k=1 $ 时，原方程可化为 $ x=\dfrac{a}{2} $ ，即表示线段 $ OA $ 的垂直平分线.