2.5.2 圆与圆的位置关系

因为圆 $ O:{x}^{2}+{y}^{2}=2 $ 的圆心 $ O(0,0) $ ，半径 $ {r}_{1}=\sqrt{2} $ ，圆 $ M:{x}^{2}+{y}^{2}+2x-2y-6=0 $ 的圆心 $ M(-1,1) $ ，半径 $ {r}_{2}=2\sqrt{2} $ ，又 $ |OM|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2} $ ，所以 $ |OM|={r}_{2}-{r}_{1} $ ，所以圆 $ O $ 与圆 $ M $ 内切，故选 $ \mathrm{B} $ .

由题意,圆 $ A $ ,圆 $ B $ 的圆心分别为 $ A(-2,2) $ , $ B(0,0) $ ,则 $ \left|AB\right|=2\sqrt{2} $ .又圆 $ A $ ,圆 $ B $ 的半径分别为 $ {\rm 1,} \left|m\right| $ ,当 $ 2\sqrt{2}-1\leqslant m\leqslant 3\sqrt{2} $ 时, $ 2\sqrt{2}\leqslant \left|m\right|+1\leqslant 3\sqrt{2}+1 $ , $ 2\sqrt{2}-2\leqslant \left|m\right|-1\leqslant 3\sqrt{2}-1 $ ,则这两个圆的位置关系可能是外切或相交或内切或内含,不可能是外离.故选 $ \mathrm{C} $ .

设 $ P(x,y) $ ,则 $ {\left(x-1\right) ^ {2}}+{\left(y+1\right) ^ {2}}=16 $ ,圆 $ C $ 的圆心为 $ (1,-1) $ ，半径为4.因为 $ PA\perp PB $ ,所以 $ P $ 在以 $ AB $ 为直径的圆上（不包括 $ A $ , $ B $ 两点）,圆心为 $ (-2,3) $ ,半径为 $ \dfrac{\left|AB\right|}{2}=\sqrt{2} $ ,即 $ {\left(x+2\right) ^ {2}}+{\left(y-3\right) ^ {2}}=2 $ .因为 $ \left|4-\sqrt{2}\right| < \sqrt{{\left(-2-1\right) ^ {2}}+{\left(3+1\right) ^ {2}}}=5 < 4+\sqrt{2} $ ,所以圆 $ {\left(x-1\right) ^ {2}}+{\left(y+1\right) ^ {2}}=16 $ 与圆 $ {\left(x+2\right) ^ {2}}+{\left(y-3\right) ^ {2}}=2 $ 相交,所以点 $ P $ 的个数为2.故选 $ \mathrm{C} $ .

圆 $ {C}_{1} $ 的标准方程为 $ (x+2)^{2}+{\left(y-2 \right) ^ {2}}=1 $ ,圆心 $ {C}_{1}(-2,2) $ ,半径 $ {r}_{1}=1 $ ,圆 $ {C}_{2} $ 的圆心 $ {C}_{2}(2,5) $ ,半径 $ {r}_{2}=4 $ .因为 $ |{C}_{1}{C}_{2}|=\sqrt{{\left(-2-2\right) ^ {2}}+{\left(2-5\right) ^ {2}}}=5={r}_{1}+{r}_{2} $ ,所以两圆外切,所以圆 $ {C}_{1} $ 与圆 $ {C}_{2} $ 的公切线有3条.故选 $ \mathrm{C} $ .

由 $ {\left(x-5\right) ^ {2}}+{\left(y+7\right) ^ {2}}=16 $ ,圆心为 $ (5,-7) $ ,半径为4,设动圆圆心为 $ (x,y) $ ,若动圆与已知圆外切,则 $ \sqrt{{\left(x-5\right) ^ {2}}+{\left(y+7\right) ^ {2}}}=4+1 $ ,即 $ {\left(x-5\right) ^ {2}}+{\left(y+7\right) ^ {2}}=25 $ ；若动圆与已知圆内切,则 $ \sqrt{{\left(x-5\right) ^ {2}}+{\left(y+7\right) ^ {2}}}=4-1 $ ,即 $ {\left(x-5\right) ^ {2}}+{\left(y+7\right) ^ {2}}=9 $ .综上所述,动圆圆心的轨迹方程是 $ {\left(x-5\right) ^ {2}}+{\left(y+7\right) ^ {2}}=25 $ 或 $ {\left(x-5\right) ^ {2}}+{\left(y+7\right) ^ {2}}=9 $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

把圆 $ {C}_{1} $ 的方程化为标准方程得 $ {\left(x-\dfrac{t}{2}\right) ^ {2}}+{y}^{2}=1 $ ，则圆心 $ {C}_{1}(\dfrac{t}{2},0) $ ，半径 $ {r}_{1}=1 $ ；把圆 $ {C}_{2} $ 的方程化为标准方程得 $ {x}^{2}+{\left(y-1\right) ^ {2}}=4 $ ，则圆心 $ {C}_{2}(0,1) $ ，半径 $ {r}_{2}=2 $ .

由圆 $ {C}_{1} $ 与圆 $ {C}_{2} $ 恰有三条公切线，可知圆 $ {C}_{1} $ 与圆 $ {C}_{2} $ 相外切，

则 $ |{C}_{1}{C}_{2}|={r}_{1}+{r}_{2} $ ，即 $ \sqrt{{\left(\dfrac{t}{2}\right) ^ {2}}+1}=3 $ ，解得 $ t=±4\sqrt{2} $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

根据题意,圆 $ {x}^{2}+{y}^{2}=4 $ 的圆心坐标为 $ (0,0) $ ,半径为2,圆 $ {\left(x+2\right) ^ {2}}+{\left(y-a\right) ^ {2}}=25 $ 的圆心坐标为 $ (-2,a) $ ,半径为5.

若两圆相切,分两种情况讨论：

当两圆外切时,有 $ \sqrt{{2}^{2}+{\left(-a\right) ^ {2}}}=2+5 $ ,解得 $ a=±3\sqrt{5} $ ；

当两圆内切时,有 $ \sqrt{{2}^{2}+{\left(-a\right) ^ {2}}}=5-2 $ ,解得 $ a=±\sqrt{5} $ .

综上所述,实数 $ a $ 的值可以为 $ ±\sqrt{5} $ 或 $ ±3\sqrt{5} $ .故选 $ \mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{D} $ .

因为圆 $ {C}_{1}:{x}^{2}+{y}^{2}={r}^{2}(r > 0) $ 的圆心为 $ (0,0) $ ,半径为 $ r $ ,圆 $ {C}_{2}:{x}^{2}+{\left(y-4\right) ^ {2}}=4 $ 的圆心为 $ (0,4) $ ,半径为2,所以圆心距为4,由 $ {C}_{1} $ 与 $ {C}_{2} $ 相交得, $ \left|r-2\right| < 4 < r+2 $ ,解得 $ 2 < r < 6 $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

满足要求的直线应为圆心为 $ A $ ，半径为1和圆心为 $ B $ ，半径为2的两圆的公切线，又 $ |AB|=\sqrt{(3-1)^{2}+(1-2)^{2}}=\sqrt{5} $ ， $ 1 < \sqrt{5} < 3 $ ，所以圆 $ A $ 与圆 $ B $ 相交，所以公切线有2条．

已知圆 $ {C}_{1}：{x}^{2}+{y}^{2}-2x=0 $ ，即 $ (x-1)^{2}+{y}^{2}=1 $ ,则圆心 $ {C}_{1}(1,0) $ ,半径 $ {r}_{1}=1 $ ；圆 $ {C}_{2}：{x}^{2}+{y}^{2}+mx-4y+n=0 $ ，即 $ {\left(x+\dfrac{m}{2} \right) ^ {2}}+ (y-2)^{2}=\dfrac{{m}^{2}}{4}-n+4 $ ，则 $ \dfrac{{m}^{2}}{4}-n+4 > 0\mathrm{①} $ ,圆心 $ {C}_{2}(-\dfrac{m}{2} $ , $ 2) $ ,半径 $ {r}_{2}=\sqrt{\dfrac{{m}^{2}}{4}-n+4} $ .由题意可知两圆相交，所以 $ |\sqrt{\dfrac{{m}^{2}}{4}-n+4}-1| < \sqrt{{\left(-\dfrac{m}{2}-1\right) ^ {2}}+4} < \sqrt{\dfrac{{m}^{2}}{4}-n+4}+1\mathrm{②} $ .

两圆方程作差可得 $ (m+2)x-4y+n=0 $ ，即公共弦所在直线的方程为 $ (m+2)x-4y+n=0 $ .因为圆 $ {C}_{2} $ 平分圆 $ {C}_{1} $ 的周长，所以公共弦所在直线过点 $ {C}_{1}(1,0) $ ,故 $ m+2+n=0 $ ，即 $ m+n=-2 $ ，经检验，满足①②.故选 $ \mathrm{B} $ .

圆 $ {C}_{1} $ 与圆 $ {C}_{2} $ 的方程相减得 $ {m}^{2}x+my-7=0 $ ,即为圆 $ {C}_{1} $ 与圆 $ {C}_{2} $ 的公共弦所在直线方程,由直线 $ {m}^{2}x+my-7=0 $ 与直线 $ l $ 平行,得 $ \dfrac{{m}^{2}}{2}=\dfrac{m}{-1}\ne \dfrac{-7}{1} $ ,解得 $ m=0 $ （公共弦方程不成立,舍去）或 $ m=-2 $ ,当 $ m=-2 $ 时,圆 $ {C}_{2}:{\left(x+2\right) ^ {2}}+{\left(y-1\right) ^ {2}}=16 $ ,即圆心 $ {C}_{2}(-2,1) $ ,半径 $ {r}_{2}=4 $ ,圆 $ {C}_{1}:{x}^{2}+{y}^{2}=4 $ 的圆心 $ {C}_{1}(0,0) $ ,半径 $ {r}_{1}=2 $ , $ \left|{C}_{1}{C}_{2}\right|=\sqrt{5}\in (2,6) $ ,符合题意,所以 $ m $ 的值为 $ -2 $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

对于 $ \mathrm{A} $ ,由圆 $ {C}_{1} $ 的方程知,圆心 $ {C}_{1}(0,0) $ ,半径 $ {r}_{1}=5 $ ；

圆 $ {C}_{2} $ 的方程化成标准方程为 $ {\left(x-3\right) ^ {2}}+{\left(y+4\right) ^ {2}}=1 $ ,所以圆心 $ {C}_{2}(3,-4) $ ,半径 $ {r}_{2}=1 $ .

因为两圆圆心距 $ \left|{C}_{1}{C}_{2}\right|=\sqrt{{\left(3-0\right) ^ {2}}+{\left(-4-0\right) ^ {2}}}=5 $ ,且 $ {r}_{1}-{r}_{2} < \left|{C}_{1}{C}_{2}\right| < {r}_{1}+{r}_{2} $ ,

所以圆 $ {C}_{1} $ 与圆 $ {C}_{2} $ 相交,故 $ \mathrm{A} $ 正确.

对于 $ \mathrm{B} $ ,如图①所示,

图①

当线段 $ PQ $ 同时经过两圆圆心且点 $ P $ , $ Q $ 分别在两圆圆心两侧时, $ \left|PQ\right| $ 取得最大值,

$ {\left|PQ\right|}_{ \max }=\left|{C}_{1}{C}_{2}\right|+{r}_{1}+{r}_{2}=5+5+1=11 $ ,故 $ \mathrm{B} $ 错误.

对于 $ \mathrm{C} $ ,两圆方程作差,得两圆公共弦所在直线方程为 $ 6x-8y-49=0 $ ,

又圆心 $ {C}_{1} $ 到直线 $ 6x-8y-49=0 $ 的距离 $ d=\dfrac{\left|-49\right|}{\sqrt{{6}^{2}+{\left(-8\right) ^ {2}}}}=\dfrac{49}{10} $ ,

所以两圆的公共弦长为 $ 2\sqrt{{r}_{1}^{2}-{d}^{2}}=2\sqrt{{5}^{2}-{\left(\dfrac{49}{10}\right) ^ {2}}}=\dfrac{3\sqrt{11}}{5} $ ,故 $ \mathrm{C} $ 正确.

对于 $ \mathrm{D} $ ,如图②所示,

图②

当直线 $ PQ $ 与圆 $ {C}_{1} $ 相切时,点 $ Q $ 在圆 $ {C}_{1} $ 外,

因为 $ {\left|PQ\right|}^{2}={\left|{C}_{1}Q\right|}^{2}-{r}_{1}^{2} $ ,所以当 $ \left|{C}_{1}Q\right| $ 取得最大值时, $ \left|PQ\right| $ 取得最大值.

因为 $ \left|{C}_{1}{C}_{2}\right|=5 $ ,所以点 $ {C}_{2} $ 在圆 $ {C}_{1} $ 上,所以 $ \left|{C}_{1}Q\right| $ 的最大值为 $ {r}_{1}+{r}_{2}=6 $ ,

所以 $ \left|PQ\right| $ 的最大值为 $ \sqrt{{6}^{2}-{5}^{2}}=\sqrt{11} $ ,故 $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{D} $ .

（1）【解】圆 $ {C}_{1} $ 的方程可化为 $ {\left(x-2\right) ^ {2}}+{\left(y-3\right) ^ {2}}=4 $ ，

则圆心 $ {C}_{1}(2,3) $ ，半径为2，

由 $ {\left(3-2\right) ^ {2}}+{\left(5-3\right) ^ {2}} > 4 $ ，可知点 $ P $ 在圆 $ {C}_{1} $ 的外部，作出圆 $ {C}_{1} $ 及过点 $ P $ 的切线如图所示，

由图可知，过点 $ P $ 的切线 $ l $ 的斜率存在，设 $ l $ 的方程为 $ y-5=k(x-3) $ ，即 $ kx-y+5-3k=0 $ ，

则圆心 $ {C}_{1} $ 到直线 $ l $ 的距离为 $ \dfrac{\left|2k-3+5-3k\right|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=2 $ ，解得 $ k=0 $ 或 $ k=-\dfrac{4}{3} $ ，所以直线 $ l $ 的方程为 $ 4x+3y-27=0 $ 或 $ y=5 $ .

（2）【解】

由 $ \begin{cases}{x}^{2}+{y}^{2}-4x-6y+9=0,\\ {x}^{2}+{y}^{2}+2x-4y-4=0,\end{cases} $

两式相减得直线 $ AB $ 的方程为 $ 6x+2y-13=0 $ ，

则圆心 $ {C}_{1} $ 到直线 $ AB $ 的距离 $ d=\dfrac{\left|12+6-13\right|}{\sqrt{40}}=\dfrac{\sqrt{10}}{4} $ ，所以 $ \left|AB\right|=2\sqrt{4-{d}^{2}}=\dfrac{3\sqrt{6}}{2} $ .

设 $ P(x,y) $ ，由 $ \overrightarrow {PO}\cdot \overrightarrow {PA}=3 $ ，得 $ (-x,-y)\cdot (2-x,4-y)=3 $ ，故 $ x(x-2)+y(y-4)=3 $ ，

即 $ (x-1)^{2}+{\left(y-2 \right) ^ {2}}=8 $ ，故点 $ P $ 的轨迹为以 $ (1,2) $ 为圆心， $ 2\sqrt{2} $ 为半径的圆.

又点 $ C(5,6) $ 与圆心 $ (1,2) $ 的距离为 $ d=\sqrt{{\left(5-1\right) ^ {2}}+{\left(6-2\right) ^ {2}}}=4\sqrt{2} $ ，由于过点 $ P $ 总可以向以点 $ C(5,6) $ 为圆心的圆作两条切线，故两圆外离，所以 $ 0 < r < 4\sqrt{2}-2\sqrt{2} $ ，故 $ r $ 的取值范围为 $ (0,2\sqrt{2}) $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

设点 $ P(x,y) $ ,因为 $ O $ 为坐标原点 $ (0,0) $ , $ A(0,2) $ ,且 $ {\left|PO\right|}^{2}+{\left|PA\right|}^{2}=20 $ ,根据两点间距离公式,可得 $ {\left|PO\right|}^{2}={x}^{2}+{y}^{2} $ , $ {\left|PA\right|}^{2}={x}^{2}+{\left(y-2\right) ^ {2}} $ ,所以 $ {x}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}+{\left(y-2\right) ^ {2}}=20 $ ,展开整理,可得 $ {x}^{2}+{\left(y-1\right) ^ {2}}=9 $ ,所以点 $ P $ 的轨迹是以 $ Q(0,1) $ 为圆心, $ r=3 $ 为半径的圆.

已知圆 $ {\left(x-a\right) ^ {2}}+{\left(y-a+4\right) ^ {2}}=1 $ ,其圆心为 $ M(a,a-4) $ ,半径 $ R=1 $ .因为圆 $ {\left(x-a\right) ^ {2}}+{\left(y-a+4\right) ^ {2}}=1 $ 上存在点 $ P $ 满足条件,所以两圆有公共点.

根据两圆位置关系,两圆的圆心距 $ d=\sqrt{{\left(a-0\right) ^ {2}}+{[(a-4)-1]}^{2}}=\sqrt{{a}^{2}+{\left(a-5\right) ^ {2}}} $ .

两圆有公共点,则 $ \left|r-R\right|\leqslant d\leqslant r+R $ ,即 $ \left|3-1\right|\leqslant \sqrt{{a}^{2}+{\left(a-5\right) ^ {2}}}\leqslant 3+1 $ .对于 $ 2\leqslant \sqrt{{a}^{2}+{\left(a-5\right) ^ {2}}} $ ,两边平方得 $ 4\leqslant {a}^{2}+{\left(a-5\right) ^ {2}} $ ,展开整理得, $ 2{a}^{2}-10a+21\geqslant 0 $ ,因为 $ \mathrm{\Delta }={\left(-10\right) ^ {2}}-4×2×21=-68 < 0 $ ,函数 $ y=2{a}^{2}-10a+21 $ 的图象开口向上,所以 $ 2{a}^{2}-10a+21\geqslant 0 $ 恒成立.

对于 $ \sqrt{{a}^{2}+{\left(a-5\right) ^ {2}}}\leqslant 3+1 $ ,两边平方得 $ {a}^{2}+{\left(a-5\right) ^ {2}}\leqslant 16 $ ,解得 $ \dfrac{5-\sqrt{7}}{2}\leqslant a\leqslant \dfrac{5+\sqrt{7}}{2} $ .

综上,实数 $ a $ 的取值范围为 $ [\dfrac{5-\sqrt{7}}{2},\dfrac{5+\sqrt{7}}{2}] $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

设 $ P(x,y) $ ,由 $ \dfrac{\left|PA\right|}{\left|PO\right|}=2 $ 得 $ \dfrac{\sqrt{{\left(x+3\right) ^ {2}}+{y}^{2}}}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}=2 $ ,整理得 $ {\left(x-1\right) ^ {2}}+{y}^{2}=4 $ ,

设该圆的圆心为 $ M $ ,则 $ M(1,0) $ ,半径为2.

易知 $ C(3,4) $ ,圆 $ C $ 的半径为 $ {\rm 1,} \left|CM\right|=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5} > 3=1+2 $ ,

故圆 $ M $ 与圆 $ C $ 相离,故 $ \left|PQ\right| $ 的最小值为 $ 2\sqrt{5}-3 $ ,当且仅当 $ M $ , $ P $ , $ Q $ , $ C $ 共线且 $ P $ , $ Q $ 在线段 $ MC $ 上时取最小值,此时 $ \left|PC\right| $ 也取得最小值,最小值为 $ \left|CM\right|-2=2\sqrt{5}-2 $ ,

故 $ \left|PQ\right|+\left|PC\right| $ 的最小值为 $ 4\sqrt{5}-5 $ .

设点 $ P(m,n) $ ,因为 $ P $ 在直线 $ l:x-y-2=0 $ 上,所以满足 $ m-n-2=0 $ ,即 $ m=n+2 $ .连接 $ OM $ , $ ON $ , $ OP $ .因为 $ PM $ , $ PN $ 是圆 $ C:{x}^{2}+{y}^{2}=1 $ 的切线,切点为 $ M $ , $ N $ ,所以 $ OM\perp PM $ , $ ON\perp PN $ ,所以 $ P $ , $ M $ , $ O $ , $ N $ 四点共圆,且该圆以 $ OP $ 为直径,圆心为 $ (\dfrac{m}{2},\dfrac{n}{2}) $ ,半径为 $ \dfrac{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}{2} $ ,则该圆的标准方程为 $ {\left(x-\dfrac{m}{2}\right) ^ {2}}+{\left(y-\dfrac{n}{2}\right) ^ {2}}={\left(\dfrac{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}{2}\right) ^ {2}} $ ,展开并整理得 $ {x}^{2}-mx+{y}^{2}-ny=0 $ .圆 $ C:{x}^{2}+{y}^{2}=1 $ 与上述圆的公共弦为 $ MN $ ,将两圆方程相减,得 $ mx+ny=1 $ ,

由 $ m=n+2 $ ,代入 $ mx+ny=1 $ 得 $ (n+2)\cdot x+ny=1 $ ,整理得 $ 2x-1+n(x+y)=0 $ ,

要使该方程对任意 $ n $ 恒成立,需令 $ n $ 的系数为0且等式为0,即 $ \begin{cases}2x-1=0,\\ x+y=0,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}x=\dfrac{1}{2},\\ y=-\dfrac{1}{2},\end{cases} $ 因此,直线 $ MN $ 恒过定点 $ (\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2}) $ .

由题意知,圆 $ {C}_{1}:{x}^{2}+{y}^{2}=1 $ 的圆心为 $ {C}_{1}(0,0) $ ,半径为 $ {r}_{1}=1 $ ,圆 $ {C}_{2}:{x}^{2}+{\left(y-a\right) ^ {2}}=9 $ 的圆心为 $ {C}_{2}(0,a) $ ,半径为 $ {r}_{2}=3 $ ,因为两圆只有一个公共点,所以两圆内切或外切.当两圆外切时, $ \left|{C}_{1}{C}_{2}\right|=\left|a\right|={r}_{1}+{r}_{2}=4 $ ,则 $ a=±4 $ ;当两圆内切时, $ \left|{C}_{1}{C}_{2}\right|=\left|a\right|={r}_{2}-{r}_{1}=2 $ ,则 $ a=±2 $ .综上, $ a=±2 $ 或 $ a=±4 $ .