专题4 与圆有关的轨迹问题

$ \because |PA|=|PB| $ , $ \mathrm{\angle }APB={120}^{\circ } $ , $ \therefore \mathrm{\angle }ACB={120}^{\circ }.\because |CB|=2 $ ，

$ \therefore |CD|=1 $ ， $ \therefore $ 线段 $ AB $ 的中点 $ D $ 的轨迹是以 $ C $ 为圆心,1为半径的圆 $ {\rm .} \therefore $ 线段 $ AB $ 的中点 $ D $ 的轨迹方程是 $ (x-2)^{2}+{\left(y-2 \right) ^ {2}}=1 $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

圆 $ M:{\left(x+2\right) ^ {2}}+{\left(y+3\right) ^ {2}}=1 $ ,圆心 $ M(-2,-3) $ ,半径 $ r=1 $ .

因为四边形 $ APBM $ 为正方形,所以 $ \left|PM\right|=\sqrt{2} $ ,

所以动点 $ P $ 的轨迹是以点 $ M(-2,-3) $ 为圆心, $ \sqrt{2} $ 为半径的圆,

即动点 $ P $ 的轨迹方程为 $ {\left(x+2\right) ^ {2}}+{\left(y+3\right) ^ {2}}=2 $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

对于直线 $ mx+y-2m=0 $ ,即 $ m(x-2)+y=0 $ ,恒过点 $ B(2,0) $ ,对于直线 $ x-my-6=0 $ ,即 $ x-6-my=0 $ ,恒过点 $ D(6,0) $ .又 $ m×1+1×(-m)=0 $ ,所以两直线垂直,所以点 $ P $ 在以 $ BD $ 为直径的圆上,且该圆的圆心为 $ (4,0) $ ,半径为2,所以该圆的方程为 $ {\left(x-4\right) ^ {2}}+{y}^{2}=4 $ .若交点 $ P $ 与 $ B(2,0) $ 重合,则点 $ B $ 也应在另一条直线 $ x-my-6=0 $ 上,代入得 $ 2-0-6=0 $ ,即 $ -4=0 $ ,不成立,故点 $ P $ 的轨迹不包含点 $ (2,0) $ ;

若交点 $ P $ 与 $ D(6,0) $ 重合,则点 $ D $ 也应在另一条直线 $ mx+y-2m=0 $ 上,代入得 $ m=0 $ ,故点 $ P $ 的轨迹包含点 $ (6,0) $ ,所以点 $ P $ 的轨迹方程为 $ {\left(x-4\right) ^ {2}}+{y}^{2}=4(x\ne 2) $ .又易知圆 $ {x}^{2}+{y}^{2}=1 $ 和圆 $ {\left(x-4\right) ^ {2}}+{y}^{2}=4 $ 相离,两圆圆心距为4,则 $ {\left|PA\right|}_{ \min }=4-2-1=1 $ ,当 $ A(1,0) $ , $ P(2,0) $ 时取得,但由于点 $ P $ 的轨迹不包含点 $ (2,0) $ ,故该值无法取到； $ {\left|PA\right|}_{ \max }=4+2+1=7 $ ,当 $ A(-1,0) $ , $ P(6,0) $ 时取得,所以 $ \left|PA\right| $ 的取值范围是 $ (1,7] $ .故选 $ \mathrm{A} $ .

设 $ C(x,y) $ ,由 $ \left|CA\right|=\sqrt{2}\left|CB\right| $ ,得 $ \sqrt{{\left(x+2\right) ^ {2}}+{y}^{2}}=\sqrt{2}×\sqrt{{\left(x-2\right) ^ {2}}+{y}^{2}} $ ,化简整理得 $ {x}^{2}+{y}^{2}-12x+4=0 $ ,即 $ {\left(x-6\right) ^ {2}}+{y}^{2}=32 $ ,即点 $ C $ 的轨迹为以 $ (6,0) $ 为圆心， $ 4\sqrt{2} $ 为半径的圆.因为 $ \left|AB\right|=4 $ ,所以当 $ AB $ 边上高最大时, $ △ABC $ 的面积最大,所以 $ {({S}_{△ABC})}_{ \max }=\dfrac{1}{2}\left|AB\right|\cdot r=\dfrac{1}{2}×4×4\sqrt{2}=8\sqrt{2} $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

设 $ P(x,y) $ , $ \because A(1,0) $ , $ B(7,0) $ , $ \therefore \overrightarrow {PA}=(1-x,-y) $ , $ \overrightarrow {PB}=(7-x,-y) $ , $ \therefore \overrightarrow {PA}\cdot \overrightarrow {PB}=(1-x)(7-x)+(-y)(-y)={x}^{2}-8x+7+{y}^{2} $ ,即 $ {x}^{2}-8x+7+{y}^{2}=-8 $ ,化简得 $ {\left(x-4\right) ^ {2}}+{y}^{2}=1 $ ,故点 $ P $ 在以 $ (4,0) $ 为圆心,1为半径的圆上.若直线 $ tx-y+1=0 $ 上存在点 $ P $ ,使得 $ \overrightarrow {PA}\cdot \overrightarrow {PB}=-8 $ ,则直线 $ tx-y+1=0 $ 与圆 $ {\left(x-4\right) ^ {2}}+{y}^{2}=1 $ 有交点, $ \therefore $ 圆心到直线 $ tx-y+1=0 $ 的距离 $ d=\dfrac{\left|4t+1\right|}{\sqrt{{t}^{2}+1}}\leqslant 1 $ ,两边同时平方,化简得 $ 15{t}^{2}+8t\leqslant 0 $ ,解得 $ -\dfrac{8}{15}\leqslant t\leqslant 0 $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

在 $ △ABC $ 中,先由正弦定理得 $ {a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}=2\sqrt{3}bc \sin A $ ,再由余弦定理得 $ {a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}-2bc \cos A $ ,代入到 $ {a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}=2\sqrt{3}bc \sin A $ 中,整理得 $ {b}^{2}+{c}^{2}=bc( \cos A+\sqrt{3} \sin A)=2bc \sin (A+\dfrac{\mathrm{\pi }}{6}) $ ,则 $ \sin (A+\dfrac{\mathrm{\pi }}{6})=\dfrac{{b}^{2}+{c}^{2}}{2bc}\geqslant \dfrac{2bc}{2bc}=1 $ ,当且仅当 $ b=c $ 时等号成立,又由 $ \sin (A+\dfrac{\mathrm{\pi }}{6})\leqslant 1 $ ,所以 $ \sin (A+\dfrac{\mathrm{\pi }}{6})=1 $ ,此时 $ b=c $ ,

又因为 $ 0 < A < \mathrm{\pi } $ ,所以 $ A+\dfrac{\mathrm{\pi }}{6}=\dfrac{\mathrm{\pi }}{2} $ ,所以 $ A=\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ ,所以 $ △ABC $ 是等边三角形.

设 $ BC $ 边的中点为 $ O $ ,连接 $ OA $ ,以 $ BC $ 边的中点 $ O $ 为原点, $ OC $ 所在直线为 $ x $ 轴, $ OA $ 所在直线为 $ y $ 轴，建立平面直角坐标系,如图所示,

则 $ B(-3,0) $ , $ C(3,0) $ , $ A(0,3\sqrt{3}) $ ,设 $ D(x,y) $ ,

由 $ \left|DC\right|=2\left|DB\right| $ ,得 $ \sqrt{{\left(x-3\right) ^ {2}}+{y}^{2}}=2\sqrt{{\left(x+3\right) ^ {2}}+{y}^{2}} $ ,整理得 $ {\left(x+5\right) ^ {2}}+{y}^{2}=16 $ ,

所以点 $ D $ 的轨迹是以 $ T(-5,0) $ 为圆心,4为半径的圆,

又 $ {\left(0+5\right) ^ {2}}+{\left(3\sqrt{3}\right) ^ {2}} > 16 $ ,所以点 $ A $ 在圆 $ T $ 外部，所以 $ \left|AD\right| $ 的最大值为 $ \left|AT\right|+4=\sqrt{{5}^{2}+{\left(3\sqrt{3}\right) ^ {2}}}+4=4+2\sqrt{13} $ .

设点 $ M $ 的坐标为 $ (x,y) $ ，由点 $ M $ 是线段 $ PQ $ 的中点，可得 $ Q(2x-1,2y) $ .因为点 $ Q $ 在圆 $ {x}^{2}+{y}^{2}=4 $ 上，所以 $ (2x-1)^{2}+{\left(2y \right) ^ {2}}=4 $ ，即 $ {\left(x-\dfrac{1}{2}\right) ^ {2}}+{y}^{2}=1 $ .故选 $ \mathrm{A} $ .